江苏省镇江市第一中学、镇江中学等第一批次学校2026届高三上学期1月学情调研（四校联考）数学试题（含答案）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省镇江市第一中学、镇江中学等第一批次学校2026届高三上学期1月学情调研（四校联考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=xxx−3<A．0,1,2,3 B．02．已知i为虚数单位，复数z=1+i⋅A．−i B．i C．−13．已知fx=cosx+φ，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．数列an是各项均为正数的等比数列，数列bn是等差数列，且A．a3+aC．a3+a5．若a=2，b=1，c=3，且A．1 B．2 C．3 D．36．已知△ABC的内角A，B，C满足1A．sinA+B=C．a2+c27．已知函数f(x)=e−x−eA．a<1 B．a<2 C．8．已知O为坐标原点，F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点M−p2A．x=−2C．x=−1二、多选题9．已知logb2026>A．0.2a<0.2C．lnb+a>ln10．某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（

）A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有54B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有138种不同的方案．11．如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长AB=2

A．动点P的轨迹长度为πB．当B1P//平面A1C1DC．直线C1P与底面AD．二面角P−A三、填空题12．已知二项式x+2x5，其展开式中13．已知圆C：x−a−22+y−3a2=16，定直线l经过点14．设函数fx和gx的定义域为D，若存在非零实数c∈D，使得fc+gc=①fx=x，gx=x2；②f其中具有性质P的是.（填序号）四、解答题15．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c(1)求角B的大小；(2)求cosA16．如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=BC

(1)证明：平面PAC⊥(2)若M为PD上的一点，点P到平面ACM的距离为217．正项数列an的前n项和Sn满足：(1)求数列an的通项公式a(2)令bn=n18．在直角坐标系xOy中，动点Q到直线l:x=−4的距离与到点F(1)求曲线C的方程；(2)P是直线l上一点，过点P作曲线C的两条切线PA、PB，切点为A、B，求tan∠APB的最大值．19．已知函数fx(1)令gx=x(2)令hx=f（i）求a的取值范围：（ii）若方程xex−alnx+x=答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江苏省镇江市第一中学、镇江中学等第一批次学校2026届高三上学期1月学情调研（四校联考）数学试题》参考答案题号12345678910答案DCCBDBDAACBCD题号11答案AC1．D【分析】解不等式xx−3【详解】解：因为xx−3所以A=x0故选:D.2．C【分析】利用复数乘法求出复数z，进而求出z即可作答.【详解】依题意，z=1+所以z的虚部是−1故选：C3．C【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】若f1+f所以cos1+φ则cosφ=0当k为奇数时，fx当k为偶数时，fx故充分性满足；若fx是奇函数，则f−x即f1所以“f1+f故选：C4．B【详解】分析：先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出a5、b6，然后表示出a3详解：∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，∵a5=b6，∴a1qa3+a7=a1q2b4+b8=2（b1a3+a7﹣2a5=a1q2+a1q6﹣2a1q4=a1q2（q所以a3+故选B．点睛：本题主要考查了等比数列的性质．比较两数大小一般采取做差的方法．属于基础题．5．D【分析】根据数量积的运算律求出a+【详解】解：因为a=2，b=所以a+所以a+所以a⋅当且仅当a+b与c同向时取等号，因此a⋅故选：D．6．B【分析】利用二倍角公式化简得sinAcosB=cosA1【详解】由题意有：1−所以sinA所以cosA=sin由sinA+B=cosA=sinπ由2A=π又因为A+B+C=π，所以又0<B<故选：B.7．D【分析】构造g(【详解】令g(∴g(−x又y=∴g(由f(a)+f(∴g(a)<−g故选：D.8．A【分析】根据抛物线的定义结合几何关系确定出∠PMQ的大小，然后根据△PO【详解】由题知C的准线过点M，如图，过点P作C的准线的垂线，垂足为Q，由抛物线的定义可知|PQ|=|∴在Rt△PQM中，∠由△POM的面积为4，得12×∴128p3+p2=16故选：A．9．AC【分析】由对数函数性质得1<b<a，然后根据不等式的性质判断【详解】由logb2026>∴1<b<a由1<b<a得令fx=x所以fx=x又∵1<b即lnb由a+∵a∴a+m故选：AC10．BCD【分析】利用计数原理，结合分组思想，排列组合思想即可逐项求解．【详解】A：这五人每人任选一门学科，则不同的选法有45B：根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人，我们把这五人分成四组共有C52=根据分步计数乘法原理可知：有10×C：若数学学科必须安排两人，则有C52=根据分步计数乘法原理可知：有10×D：“每人安排一门学科，每门学科至少一人”的总方案数为240（同选项B），需排除“A负责语文”或“B负责数学”的情况，用容斥原理计算：情况1：A负责语文A固定在语文，剩余4人分配到4科（每科至少1人），分2种子情况：①语文为“2人组”（A+1人）：选1人加入语文（C41②语文为“1人组”（仅A）：先B、C、D、E分为三组（2，1，1），有C42种方法，再将三组分到数学、英语、物理，有A3情况1总方案数：24+情况2：B负责数学与“情况1”对称，总方案数同样为60．情况3：A负责语文且B负责数学（重复减去的部分）A在语文、B在数学，剩余3人分配到4科（每科至少1人），分2种子情况：①语文或数学为“2人组”：剩余3人选2人分配到英语和物理（A32），最后1人去语文或数学（A2②英语或物理为“2人组”：3人分成两组（2，1），有C31种分法，两组分配到英语和物理，有A22种分法，故方案数为故情况3总方案数：12+根据容斥原理，不符合条件的方案数为：60+因此，符合条件的方案数为：240−故选：BCD．11．AC【分析】选项A根据A1P与BB1所成角为30°求出AP=1，从而确定动点P的轨迹并求出长度；选项B利用等体积法即可求得；选项C根据直线与平面所成角的定义找到直线【详解】正四棱柱AB对于A选项，因为AA1∥BB1且A1P与BB1所成角为30°又∵P在底面ABCD内，对于B选项，当B1P//平面A1C1D时，B1到平面AVD在△A1C1D设B1到平面A1C1D解得h=对于C选项，连接CP，则线段CP为线段C1P在底面ABCD的投影，故直线C由选项A可知，当P为正方形ABCD中心时，CP最短为1，此时tan∠

对于D选项，当P在线段AB上时，AP=因为△A1C1D是等腰三角形，所以取A1C1中点过P作PM∥A1C1交BC于点M，分别连接A1P,C1M，则A1P在四边形A1PMC1中，A1P=C由选项B知，OD在△DON所以∠D故选：AC.

12．10【分析】根据二项式定理写出通项，利用赋值法，可得答案.【详解】二项式x+2x令5−3r2=1，则故答案为：10.13．4【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由题意可得圆心C到直线l的距离为定值，进而求出直线方程，最后根据弦长公式即可求出定值.【详解】圆心C坐标为a−2，令x=a−2，y=所以圆心C在直线y=因为直线l被圆C截得的弦长始终为定值，结合弦长公式可知，圆心到直线l的距离为定值.因此直线l应与圆心轨迹直线平行.又直线l经过点A2,0，所以直线l方程为：y所以圆心C到直线l的距离等于两平行线的距离d0所以定直线l被圆C截得的弦长始终为定值d=故答案为：4.14．①【分析】对①，由f-1+g-1=0即可判断；对②，由指数函数的性质数形结合即可分析求解；对③，求fx=【详解】对于①：函数fx=x和gx=x所以函数fx和gx在R上具有性质对于②：函数fx=2如图，函数y=2-x与y=-2-x所以只存在一个实数x=0使得f0+g0=0，所以函数对于③：fx=2令f'x=2xln2所以该点处切线方程为y=32又23所以43<2ln2所以该切线在y轴上的截距为32所以该切线在直线y=32x上方，所以直线y又直线y=32x与所以不存在实数x，使得fx+gx=0，则函数fx故答案为：①15．(1)B(2)(【分析】（1）应用同角三角函数关系计算化简，再结合正弦定理和余弦定理计算求解；（2）先应用诱导公式再应用两角和公式计算结合正弦函数值域求解.【详解】（1）因为cos2所以1−所以sin2由正弦定理，得b2=a因为B∈所以B=（2）cosA+===sin因为△ABC为锐角三角形，且B所以C∈π6,所以cosA+cos16．(1)证明见解析(2)25【分析】（1）取AD中点N，连接CN，利用平行四边形的判定和性质得AB（2）分别取AC,AD中点O,G，连接【详解】（1）在梯形ABCD中，取AD中点

∵BC//AD，BC=A∴CN=∵PA⊥CD，PA∩AC∵CD⊂平面ACD，∴（2）分别取AC,AD中点∵PA=PC，O又平面PAC⊥平面ACD，平面PAC∴PO⊥∵O,G分别为AC,AD则以O为坐标原点，OA,O

则P0,0,1，A3,∴DP=3,−2,1设DM=λ设平面ACM的法向量则AC⋅n=−23x=∴点P到平面ACM的距离解得：λ=12∵平面ACD⊥z轴，∴平面∴cosm,∴二面角M−AC17．（1）an【详解】（1）因为数列an的前n项和Sn满足：所以当n=1时，即S解得S1=2因为数列an所以S1因为Sn所以Sn解得Sn=n因为数列an所以Sn当n≥2时，有解得an当n=1时，a所以数列的通项公式an=2n（2）因为bn所以b=1所以数列bn的前n项和TT==当n∈有564所以Tn18．(1)x(2)4【分析】（1）设动点Q的坐标为x,y，根据题意得到（2）设切线方程y=kx+4+t，联立方程组，由Δ=0，得出方程12【详解】（1）解：设动点Q的坐标为x,因为动点Q到直线l:x=−4可得x+4x即所求曲线C的方程为x2（2）解：根据题意，设点P−4,t，显然，过联立方程组y=kx由Δ=64k设两条切线的斜率分别为k1，k2，则则tan∠AP所以tan∠AP

19．(1)gx单调递减区间为（0，2），单调递增区间为2,+(2)（i）a>【分析】（1）先求得gx，然后利用导数求得g（2）（i）先求得h′x，对a进行分类讨论，结合函数的单调性以及零点存在性定理求得（ii）转换方程xex−alnx+【详解】（1）因为f′所以gx=则g′x=x−2x所以gx单调递减区间为（0，2），单调递增区间为2极小值为g2（2）（i）hx因为h′①当a≤0时，h′②当a>0时，