河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高二上学期第三次月考（1月）数学试题（解析版）

第1页/共1页卓越联盟2025-2026学年第一学期高二第三次月考数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定的方程求出直线的斜率，再求出直线的倾斜角.【详解】因为的斜率为，所以的倾斜角为．故选：A.2.数列，，，，…的通项公式可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用排除法可得结论.【详解】数列的首项为负数，排除A，C．对于B，，排除B．故D正确．故选：D.3.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即可．【详解】对于A，因为，所以，，共面，故A错误；对于B，假设，，共面，则存在实数，使得，，矛盾，即假设不成立，所以，，不共面，故B正确；对于C，因，所以，，共面，故C错误；对于D，因为，所以，，共面，故D错误．故选：B．4.圆心为，半径为4的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由圆的标准方程的定义求解.【详解】圆心为，半径为4的圆的标准方程为．故选：C.5.若数列的通项公式为，则的最小项和最大项分别为（）A， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】分，两种情况，结合数列单调性求解即可.【详解】当时，，是递减数列，则的最小项为；当时，，是递减数列，则的最大项为.故选：B.6.某体育场一角看台的座位共有十一排，从第一排到第十一排的座位数成等差数列，且前两排的座位数与后两排的座位数之和为80，则第六排的座位数为（）A.16 B.18 C.20 D.22【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用等差数列的性质即可求解.【详解】假设从第一排到第十一排的座位数成等差数列，则，所以，得．故选：C.7.已知等差数列前项和为，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式及通项公式列方程可得到一个关于的等式，整体代入的表达式中即可.【详解】设等差数列的公差为，由，得，所以．故选：B.8.已知等比数列的前项积为，，，且，则的最小值为（）A.16 B.15 C.14 D.13【答案】C【解析】【分析】由题意可得是递增数列且，由递增数列性质结合等比数列性质可判断最值.【详解】设的公比为．由，，得，则．由，得，所以是递增数列．当时，；当时，；当时，．故的最小值为14．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.长轴长为6，离心率为的椭圆的标准方程可能为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先根据已知条件求出，再根据焦点的位置分类讨论.【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为．由得,所以椭圆的标准方程可能为，．故选：AC.10.已知等差数列的各项均不为0，的前项和为，公差为，且，，则（）A. B. C.的最大值为 D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】B选项，由等差数列求和公式得到，又，故；A选项，，A正确；CD选项，得到，，故的最小值为，无最大值，C错误，D正确．【详解】B选项，由得，即，因为，所以，B正确；A选项，，则，故，A正确；CD选项，由于，故，又，所以，，即，，故的最小值为，无最大值，C错误，D正确．故选：ABD11.已知数列的前项和为，，且，则（）A. B.是等比数列C.数列的前100项和为5050 D.【答案】ACD【解析】【分析】变形得到，是公比为3的等比数列，从而得到，A选项，求出；B选项，根据等比数列的定义进行判断；C选项，，从而利用等差数列求和公式得到答案；D选项，放缩得到，由等比数列求和公式可得.【详解】由，得，则，所以，所以是首项为，公比为3的等比数列．由，得，A选项，，，所以，A正确；B选项，因为，不是常数，所以不是等比数列，B错误；C选项，因为，所以是等差数列，所以的前100项和为5050，C正确；D选项，由，得，得，所以（当且仅当时，等号成立）．故，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.向量在向量上的投影向量的坐标为________．【答案】【解析】【分析】利用公式计算即可.【详解】因为向量，向量，所以，，所以在上的投影向量的坐标为．故答案为：.13.已知数列的前项和为，且，则的通项公式为________．【答案】【解析】【分析】根据求解即可．【详解】当时，．当时，．．故答案为：．14.在数列和中，，，且不等式对任意恒成立，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最小值，进而求出的取值范围.【详解】设，则．易得函数为增函数．由，，得，，所以，故的取值范围为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）若为正项等比数列，且，，求．【答案】（1）（2）81【解析】【分析】（1）由题目列方程组求出所以.（2）结合（1）结果列方程组求出，，所以.【小问1详解】设的公差为．由得所以【小问2详解】设的公比为．由得（舍去），．所以．16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质可得底面，建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可；（2）由面面角向量法计算即可.【小问1详解】∵侧面底面，侧面底面，，底面，∵底面，，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴异面直线与所成角的余弦值为．【小问2详解】由（1）得，．设平面的法向量为，则令，则，，得平面的法向量为．易得平面的一个法向量为，∴平面与平面夹角的余弦值为．17.在数列中，．（1）求的通项公式．（2）若数列的前项和为，证明：．（3）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】(1)根据递推公式进行整理得到数列通项公式即可；(2)通过对所需要的数列的通项公式进行裂项，运用裂项相消的方法求和进行证明即可；(3)运用错位相减的方法求解即可.【小问1详解】当时，，得．当时，，，两式相减得，则．当时，符合上式，所以．【小问2详解】证明：由（1）得，所以，故．【小问3详解】由（1）得，则，，所以，所以．18.已知是双曲线的右焦点，且经过点．（1）求的标准方程．（2）已知斜率为的直线与的右支相交于A，B两点，直线，的一个方向向量分别为，，，且．（ⅰ）求．（ⅱ）判断是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）过定点．【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解；（2）（ⅰ）根据数量积的定义化简即可求出；（ⅱ）设直线，与双曲线方程联立，结合（ⅰ）可得出，再根据以及判断，进而得出定点.【小问1详解】由题意得，得，所以的标准方程为．【小问2详解】（ⅰ）因为，所以是直线的一个方向向量，因为直线的一个方向向量分别为，且，所以，则，整理得．因，所以．（ⅱ）过定点．理由如下：设，，，由，得，则，，，由（ⅰ）知，得，即，整理得，所以或．又，故当时，，不符合题意．当时，，符合题意．综上，，所以过定点．19.对于给定的闭区间，现将按如下规则构造的区间列称为的“就近隔离区间列”：（i）确定，取；（ii）确定，若与的交集为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，以此类推，直到找到，设；（iii）确定，若与的交集为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，以此类推，直到找到，设；（iv）依照（ii）（iii）的方法依次确定.已知数列满足，区间是的“就近隔离区间列”.（1）求的通项公式及.（2）证明：.（3）设是给定的正整数，求集合中的元素之和.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据给定的递推公式，结合等差中项的意义求出通项公式，再求出即可得.（2）令，利用“就近隔离区间列”的定义探求得，求出数列的通项，再比较大小即可得证.（3）按的奇偶