2026届海口市第十中学数学高二上期末监测试题含解析

2026届海口市第十中学数学高二上期末监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数f（x）的导函数，若，对，且．总有，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.3．某家大型超市近10天的日客流量（单位：千人次）分别为：2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（）A.散点图 B.条形图C.茎叶图 D.扇形图4．即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日的统计数据.则下列叙述正确的是A.这天的的中位数是B.天中超过天空气质量为“优良”C.从3月4日到9日，空气质量越来越好D.这天的的平均值为5．中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为，在逆水中的速度为，则游船此次行程的平均速度V与的大小关系是（）A. B.C. D.6．已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为.点为上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线的斜率之积大于，则的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.7．△ABC两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（）A. B.（y≠0）C. D.8．曲线在处的切线如图所示，则（）A.0 B.C. D.9．某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为A.11 B.12C.13 D.1410．倾斜角为45°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝011．已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的最小值为（）A. B.C. D.12．已知，，，则下列判断正确的是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______14．已知双曲线的渐近线方程为，，分别为C的左，右焦点，若动点P在C的右支上，则的最小值是______15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足，若令且，则该椭圆离心率的取值范围为___________16．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于、两点，交C的准线于、两点.，，则C的焦点到准线的距离为____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的短轴长为2，左、右焦点分别为，，过且垂直于长轴的弦长为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A，B为椭圆C上位于x轴同侧的两点，且，共线，求四边形的面积的最大值18．（12分）如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且.（1）证明：直线的方程为.（2）设为双曲线的左焦点，证明：.19．（12分）若存在常数，使得对任意，，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界.（1）设，，试判断A、B是否为有界集合，并说明理由；（2）已知常数，若函数为有界集合，求集合的上界最小值.20．（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，并将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数（结果写成分数的形式）；（2）为了解该车间工人生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如下表：工龄x（单位：年）4681012生产速度y（单位：件/小时）4257626267根据上述数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的回归方程，并据此估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为：，21．（12分）为深入学习贯彻总书记在党史学习教育动员大会上的重要讲话精神和中共中央有关决策部署，推动教育系统围绕建党百年重大主题，深化中学在校师生理想信念教育，引导师生学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，以昂扬的状态迎接中国共产党建党周年，哈工大附中高二年级组织本年级同学开展了一场党史知识竞赛．为了解本次知识竞赛的整体情况，随机抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）求直方图中a的值，并求该次知识竞赛成绩的第50百分位数（精确到0.1）；（2）已知该样本分数在的学生中，男生占，女生占现从该样本分数在的学生中随机抽出人，求至少有人是女生的概率.22．（10分）某电脑公司为调查旗下A品牌电脑的使用情况，随机抽取200名用户，根据不同年龄段（单位：岁）统计如下表：分组频率/组距0.010.040.070.060.02（1）根据上表，试估计样本的中位数、平均数（同一组数据以该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；（2）按照年龄段从内的用户中进行分层抽样，抽取6人，再从中随机选取2人赠送小礼品，求恰有1人在内的概率

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B2、C【解析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，故A不正确；对，，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以，故B不正确；，表示点与点连线的斜率，由图可知，所以C正确，同理，由图可知，故D不正确.故选：C3、A【解析】根据数据的特征以及各统计图表的特征分析即可；【详解】解：茎叶图、条形图、扇形图均能将数据描述出来，并且能够体现出数据的变化趋势；散点图表示因变量随自变量而变化的大致趋势，故用来描述该超市近10天的日客流量不是很合适；故选：A4、C【解析】这12天的AQI指数值的中位数是，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的指数值的平均值为110，故D不正确.故选C5、A【解析】求出平均速度V，进而结合基本不等式求得答案.【详解】易知，设奥运公园码头到漕运码头之间的距离为1，则游船顺流而下的时间为，逆流而上的时间为，则平均速度，由基本不等式可得，而，当且仅当时，两个不等式都取得“=”，而根据题意，于是.故选：A.6、A【解析】设，求得，得到，求得，结合，即可求解.【详解】由椭圆的方程，可得，设，则，由，因为四条直线的斜率之积大于，即，所以，则离心率，又因为椭圆离心率，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：A.7、D【解析】根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.【详解】因为，所以，所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，所以顶点C的轨迹方程是，故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.8、C【解析】由图示求出直线方程，然后求出，，即可求解.【详解】由直线经过，，可求出直线方程为：∵在处的切线∴，∴故选：C【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：.9、B【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人考点：系统抽样10、B【解析】由题意，，所以，即，故选B11、B【解析】不妨设，由题意，可得，构造函数，则在上单调递增，从而有在上恒成立，分离参数转化为最值即可求解.【详解】解：由题意，不妨设，因为对任意两个不等的正实数，，都有，所以，即，构造函数，则，所以在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，当时，因为，所以，所以，实数的最小值为.故选：B.12、A【解析】根据对数函数的单调性，以及根式的运算，确定的大小关系，则问题得解.【详解】因为，即；又，故.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2020【解析】先证得，利用倒序相加法求得表达式值.【详解】解：由题意可知，令S=则S=两式相加得，故填：【点睛】本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题，解题关键是找到的规律14、【解析】首先根据双曲线的渐近线方程和焦点坐标，求出双曲线的标准方程；设，根据双曲线的定义可知，从而利用基本不等式即可求出的最小值.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，，所以，即，所以双曲线方程为.设，则，且，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.故答案为：.15、【解析】由得为矩形，则，故，结合正弦函数即可求得范围【详解】由已知可得，且四边形为矩形所以，又因为，所以得离心率因为，所以，可得，从而故答案为：16、2【解析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.【详解】解：设抛物线为y2＝2px，如图：，又，解得，设圆的半径为，，解得：p＝2，即C的焦点到准线的距离为：2.故答案为：2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）2【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.（2）延长，交椭圆C于点．设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据对称性求得四边形的面积的表达式，利用换元法，结合基本不等式求得四边形的面积的最大值.【小问1详解】由题可知，即，因为过且垂直于长轴的弦长为1，所以，所以所以椭圆C的标准方程为【小问2详解】因为，共线，所以延长，交椭圆C于点．设，由（1）可知，可设直线的方程为联立，消去x可得，所以，由对称性可知设与间的距离为d，则四边形的面积令，则．因为，当且仅当时取等号，所以，即四边形的面积的最大值为2【点睛】在椭圆、双曲线、抛物线中，求三角形、四边形面积的最值问题，求解策略是：首先结合弦长公式、点到直线距离公式等求得面积的表达式；然后利用基本不等式、二次函数的性质等知识来求得最值.18、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式进行表达出A的横坐标与纵坐标，进而表达出直线的方程，化简即为结果；（2）再第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明出结论.【小问1详解】显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，则，化简得.因为方程有两个相等实根，故切点A的横坐标，得，则，故，则，即.【小问2详解】同理可得，又与均过，所以.故，，，又因为，所以，则，，故，故.【点睛】圆锥曲线中证明角度相关的问题，往往需要转化为斜率或向量进行求解.19、（1）A不是有界集合，B是有界集合，理由见解析（2）【解析】（1）解不等式求得集合A；由，根据指数函数的性质求得集合B，由此可得结论；（2）由函数，得出函数单调递减，即有，分和两种情况讨论，求得集合的上界，再由集合的上界函数的单调性可求得集合的上界的最小值.【小问1详解】解：由得，即，，对任意一个，都有一个，故不是有界集合；，，，，是有界集合，上界为1；【小问2详解】解：，因为，所以函数单调递减，，因为函数为有界集合，所以分两种情况讨论：当，即时，集合的上界，当时，不等式为；当时，不等式为；当时，不等式为，即时，集合的上界，当，即时，集合的上界，同上解不等式得的解为，即时，集合的上界，综上得时，集合的上界；时，集合的上界.时，集合的上界是一个减函数，所以此时，时，集合的上界是增函数，所以，所以集合的上界最小值为；20、（1）（2）80件/小时【解析】（1）先利用等差数列的通项公式和频率分布直方图各矩形的面积之和为1求出各组频率，再利用频率分布直方图求中位数；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回归直线方程，再进行预测其生产速度.【小问1详解】解：设前4组的频率分别为，，，，公差为，由频率分布直方图，得，即，解得，则，，所以中位数为.【小问2详解】解：由题意，得，，由所给公式，得，，所以回归直线方程为，则当时，，即估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度为80件/小时.2