南昌市重点中学2026届高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析

南昌市重点中学2026届高一数学第一学期期末统考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设，且，则（）A. B.C. D.2．已知命题p：“”，则为（）A. B.C. D.3．若实数，满足，则的最小值是（）A.18 B.9C.6 D.24．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1 B.10.1C.lg10.1 D.5．若，，则的值为（）A. B.－C. D.6．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（）A. B.C. D.7．已知，则直线通过()象限A.第一、二、三 B.第一、二、四C.第一、三、四 D.第二、三、四8．已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.9．若函数的定义域为，满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，则称函数为“上的优越函数”．如果函数是“上的优越函数”，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.10．在空间直角坐标系中，已知球的球心为，且点在球的球面上，则球的半径为（）A.4 B.5C.16 D.25二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数是定义在的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是__________12．若函数是定义在上的严格增函数，且对一切x，满足，则不等式的解集为___________.13．化简________.14．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝______.15．______.16．已知函数的图像恒过定点A，若点A在一次函数的图像上，其中，则的最小值是__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(1)计算：lg25+lg2•lg50+lg22(2)已知=3，求的值18．已知函数f（x）=ln（ex+1）+ax是偶函数，g（x）=f（lnx）（e=2.71828…）（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断并证明函数g（x）在区间（0，1）上的单调性19．已知函数（1）若是定义在上的偶函数，求实数的值；（2）在（1）条件下，若，求函数的零点20．已知函数且为自然对数的底数）.（1）判断函数的奇偶性并证明(2)证明函数在是增函数(3)若不等式对一切恒成立，求满足条件的实数的取值范围21．如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，=.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】根据同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，即可得到答案；详解】，，，，故选：D2、C【解析】根据命题的否定的定义判断【详解】特称命题的否定是全称命题命题p：“”，的否定为：故选：C3、C【解析】，利用基本不等式注意等号成立条件，求最小值即可【详解】∵，，∴当且仅当，即，时取等号∴的最小值为6故选：C【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，注意应用基本不等式的前提条件：“一正二定三相等”4、A【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.5、D【解析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果.【详解】已知，，所以，即，所以，所以，所以.故选：D.6、A【解析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.【详解】因为，所以，即；由正弦定理可得，所以；当时，取到最大值.故选：A.7、A【解析】根据判断、、的正负号，即可判断直线通过的象限【详解】因为，所以，①若则，，直线通过第一、二、三象限②若则，，直线通过第一、二、三象限【点睛】本题考查直线，作为选择题8、C【解析】由题设可得，结合集合与集合、元素与集合的关系判断各选项的正误即可.【详解】由题设，，而为自然数集，则，且，所以，，故A、B、D错误，C正确.故选：C9、D【解析】由于是“上的优越函数”且函数在上单调递减，由题意得，，问题转化为与在时有2个不同的交点，结合二次函数的性质可求【详解】解：因为是“上的优越函数”且函数在上单调递减，若存在区间，使在上的值域为，由题意得，，所以，，即与在时有2个不同的交点，根据二次函数单调性质可知，即故选：D10、B【解析】根据空间中两点间距离公式,即可求得球的半径.【详解】球的球心为,且点在球的球面上,所以设球的半径为则.故选:B【点睛】本题考查了空间中两点间距离公式的简单应用,属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】先利用偶函数的性质将不等式化简为，再利用函数在上的单调性即可转化为，然后求得的范围.【详解】因为为R上偶函数，则，所以，所以，即，因为为上的减函数，，所以，解得，所以，的范围为.【点睛】1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不等式转化为与大小比较的形式：；（2）利用函数单调性将转化为自变量大小比较的形式，再求解不等式即可.

偶函数的性质：；奇函数性质：；

若在D上为增函数，对于任意，都有；若在D上为减函数，对于任意，都有.12、【解析】根据题意，将问题转化为，，再根据单调性解不等式即可得答案.【详解】解：因为函数对一切x，满足，所以，，令，则，即，所以等价于，因为函数是定义在上的严格增函数，所以，解得所以不等式的解集为故答案为：13、【解析】观察到，故可以考虑直接用辅助角公式进行运算.【详解】故答案为：.14、【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意15、【解析】首先利用乘法将五进制化为十进制，再利用“倒序取余法”将十进制化为二进制即可.【详解】，根据十进制化为二进制“倒序取余法”如下：可得.故答案为：【点睛】本题考查了进位制的转化，在求解过程中，一般都是先把其它进制转化为十进制，再用倒序取余法转化为其它进制，属于基础题.16、8【解析】可得定点，代入一次函数得，利用展开由基本不等式求解.【详解】由可得当时，，故，点A在一次函数的图像上，，即，，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值是8.故答案为：8.【点睛】本题考查基本不等式的应用，解题的关键是得出定点A，代入一次函数得出，利用“1”的妙用求解.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2；（2）9.【解析】（1）利用对数的性质及运算法则直接求解（2）利用平方公式得，x+x﹣1＝（）2﹣2＝7，x2+x﹣2＝（x+x﹣1）2﹣2＝49﹣2＝47，代入求解【详解】(1)lg25+lg2•lg50+lg22=lg52+lg2(lg5+1)+lg22=2lg5+lg2•lg5+lg2+lg22=2lg5+lg2+lg2(lg5+lg2)=2(lg5+lg2)=2；(2)由，得，即x+2+x-1=9∴x+x-1=7两边再平方得：x2+2+x-2=49，∴x2+x-2=47∴=【点睛】本题考查了有理指数幂的运算，考查了对数式化简求值，属于基础题18、（I）a=（II）答案见解析【解析】（I）由函数f（x）=ln（ex+1）+ax偶函数，可得f（-x）=f（x），解得a.（II）由（I）可得：f（x）=ln（ex+1）．g（x）=f（lnx）=ln（x+1）．利用函数单调性的定义确定函数的单调性即可.【详解】（I）∵函数f（x）=ln（ex+1）+ax是偶函数，∴f（-x）=f（x），∴ln（e-x+1）-ax=ln（ex+1）+ax，化为：（2a-1）x=0，x∈R，解得a=经过验证满足条件∴a=（II）由（I）可得：f（x）=ln（ex+1）∴g（x）=f（lnx）=ln（x+1）则函数g（x）在区间（0，1）上单调递增设，则，，，，，，∴函数g（x）在区间（0，1）上单调递增【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19、（1）；（2）有两个零点，分别为和【解析】（1）由函数为偶函数得即可求实数的值；（2），计算令，则即可.试题解析：(1)解：∵是定义在上的偶函数.∴，即故.经检验满足题意（2）依题意.则由，得，令，则解得.即.∴函数有两个零点，分别为和.20、（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】（1）定义域为，关于原点对称，又，为奇函数(2)任取,,且，则===，又在上为增函数且，，，,在上是增函数(3)由（1）知在上为奇函数且单调递增，由得由题意得，即恒成立，又．综上得的取值范围是点睛：本题是一道关于符合函数的题目，总体方法是掌握函数奇偶性和单调性的知识，属于中档题．在证明函数单调性时可以运用定义法证明，在解答函数中的不等式时，要依据函数的单调性