广西玉林市八校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题

2025年秋季期12月份玉林市八校联合调研测试高二数学试卷（考试时间：150分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．保特卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.空间向量的模长为（）A.3 B.4 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】借助空间向量模长定义计算即可得.【详解】.故选：C.2.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量共面定理一一验证选项结合基底的概念判定选项即可.【详解】对于A，若共面，则有，即，则该方程无解，故不共面；对于B，若共面，则有，即，显然无解，故不共面；对于C，若共面，则有，显然该等式不成立，故不共面；对于D，易知，即共面故选：D3.已知等差数列的公差为.若成等比数列，则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式表示相关项，再利用等比中项进行求解.【详解】设等差数列的首项为，则，因为成等比数列，所以，解得故选:B.4.过点的直线与圆相切，则直线在轴上的截距为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直线与圆相切，得到切线方程，令直线方程中可得答案.【详解】当直线与x轴垂直时，则与圆不相切，当直线与x轴不垂直时，设直线方程为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所以直线方程为，当时，.故选：D.【点睛】本题的易错点在于要分斜率是否存在进行讨论.5.已知，则（）A.504 B.1008 C.2016 D.4032【答案】D【解析】【分析】根据数列的递推式，变形为，采用累乘法，求得答案.【详解】由可得：，故，故选：D.6.在棱长为2的正方体，中，、分别是、的中点，则点到截面的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式进行计算.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，则，故设平面的法向量为，所以点到截面的距离为.故选：B7.已知数列的通项公式为，前n项和为．则取得最小值时的值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】由得到，即可求解.【详解】由得，由得，所以当或时，，所以取得最小值时，．故选：C.8.已知双曲线的右顶点为，左焦点为，动点在上.当时，有，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先判断在左支上，求得，由，可得，再由，，和的关系，化简可得答案．【详解】如图，由动点在上，当时，，可得在左支上，令，可得，解得，即有，则，即，可得，即.故选：D.二、多项选择题（每题全对得6分，部分选对得部分分，错选得0分，共18分.）9.已知向量，则下列运算结果正确的是（）A.B.C.D.的单位向量是【答案】ABC【解析】【分析】由空间向量的坐标运算代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】由可得，，故AB正确，，故C正确，的单位向量是，故D错误；故选：ABC10.下列说法中，正确的有（）A.直线可以表示过点所有直线B.直线在轴上的截距是C.直线的倾斜角为D.过点并且倾斜角为的直线方程【答案】BD【解析】【分析】对于AD，通过斜率不存在的直线方程可判断，对于B由可判断，对于C，由斜率可得倾斜角，即可判断.【详解】对于A，不含这条直线，错误；对于B，令，得，即直线在轴上的截距是，正确；对于C，直线斜率为，可知倾斜角为，错误；对于D，过点并且倾斜角为的直线方程，正确，故选：BD11.已知数列满足，则下列结论正确的是（）A.为等比数列B.C.的前项和D.的前项和【答案】ACD【解析】【分析】根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式，判断数列单调性，根据分组求和法，裂项求和法，求出数列前项和；逐一判断各选项正误，求出结果.【详解】由得，化简得，即，所以，因为，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，A正确；由是以2为首项，以2为公比的等比数列，可得，求得，，可知恒正，且随着的增大而增大，所以随着的增大而减小，所以B错误；由可得，所以C正确；由，得，所以D正确；故选：ACD.三、填空题（每小题5分，共15分.请把答案写在答题卡上.）12.圆和圆的公共弦所在的直线方程为_________________．【答案】【解析】【分析】两圆方程作差，即可得出答案.【详解】两圆方程作差，整理可得，.所以，两圆公共弦所在的直线方程为.故答案为：.13.已知点是椭圆上一点，是其左右焦点，且，则三角形面积为_________【答案】【解析】【分析】由椭圆方程可得，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果.【详解】由椭圆方程知：，，则；由椭圆定义知：，由余弦定理得：，，解得：，.故答案为：.14.已知直线过抛物线的焦点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为________.【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程先确定其焦点坐标，由两直线的位置关系得出方程，再由直线与圆的位置关系、弦长公式计算即可.【详解】由抛物线知其焦点，又与直线垂直，则的斜率为，所以的方程为，即，整理圆的方程为，即圆心为，半径为，根据点到直线的距离公式得圆心到的距离，所以该圆与相交所得的弦长为.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝.（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程.【答案】（1）x＋y－3＝0（2）圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40【解析】【分析】（1）求出AB中点坐标和直线CD的斜率，即得直线CD的方程；（2）设圆心P（a，b），求出的值，即得圆P的方程.【详解】（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）.所以.则直线CD的方程为y－2＝－（x－1），所以直线CD的方程为x＋y－3＝0.（2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，所以（a＋1）2＋b2＝40.②由①②解得或所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）.所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40.【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.已知抛物线过点（a为正数），焦点为F，且．（1）求抛物线C的方程；（2）求过点P且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根据点P在抛物线上得，然后根据焦半径公式得，解方程即可求解.（2）设直线的方程为，与抛物线联立，按照和两种情况分类讨论，根据判别式法求解斜率，即可求解直线方程.【小问1详解】由抛物线经过点，可得，即，又，可得，解得，故抛物线C的标准方程为；【小问2详解】由（1）知点P的坐标为，当斜率不存在时，直线与抛物线有两个交点，不符合题意，则由题知过点P且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线斜率一定存在，所以设直线l斜率为k，则直线的方程为，联立，消去可得，当时，直线方程为，符合题意；当时，，解得，此时直线方程为，综上，直线l的方程为或.17.如图，在正方体中，E为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；[方法二]:空间向量坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，则.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：几何法延长到，使得，连接，交于，又∵，∴四边形平行四边形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,连接，作,垂足为,连接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直线平面,又∵直线平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为2，则,,∴,∴,∴,即直线与平面所成角的正弦值为.[方法二]：向量法接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.[方法三]：几何法+体积法如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．因为，所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．设正方体的棱长为2，在中，易得，可得．由，得，整理得．所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，在中，，，所以，易得．由，得，解得，设直线与平面所成的角为，所以．【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.18.已知数列的前项和为，若，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由与的关系求数列的通项公式；（2）利用“错位相减法”求数列的前项的和.【小问1详解】当时，.当时，，用代替，可得：.两式相减得：，又，所以是以3为首项3为公比的等比数列，所以.【小问2详解】，所以：两式相减得：，所以：.19.已知椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设分别为椭圆的左、右焦点，不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，如果直线、、的斜率依次成等差数列，求焦点到直线的距离的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）由已知条件算出的值，得出椭圆C的方程；（2）设，，直线的方程为，代入椭圆方程中，消去得，由韦达定理求出的值，利用直线、、的斜率依次成等差数列，得到，从而，即，化简得，由点到直线的距离，求出的表达式，通过借助函数的单调性，求出的范围．试题解析（1）