甘肃省2026届高三上学期12月阶段性考试 数学

甘肃省2026届高三上学期12月阶段性考试数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（

）A．1 B．2 C． D．3．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知正数满足，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．65．已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．9 B．18 C．27 D．366．小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（

）A．米 B．米 C．米 D．米7．若，则（

）A． B． C． D．8．已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（）A． B．2C． D．2二、多选题9．（多选题）已知向量，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若，则或10．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（

）A．B．图象的对称中心为C．是偶函数D．的单调递增区间为11．已知函数的定义域为，，，且，则的值可能为（）A．101 B．102C．103 D．104三、填空题12．已知是单调递减的等比数列，其前项和为，若，则．13．函数的零点个数为．14．已知为奇函数，若，则的取值范围为．四、解答题15．已知正项数列满足，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．16．已知函数的最小正周期为，且．(1)求的解析式；(2)求在上的值域；(3)设函数，若，求的最小值．17．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求的单调区间，并求的最小值．18．已知的内角的对边分别是，的面积为，且．(1)若，求锐角的值；(2)求的最小值，并求出此时的值．19．已知函数．(1)讨论的单调性．(2)已知，函数，且仅有两个零点．①求的取值范围；②证明：的两个零点之积小于1．

参考答案1．D【详解】由不等式，可得，解得，所以，因为，所以.故选：D.2．C【详解】因为，所以．故选：C3．A【详解】因为，所以，即，反之，由，得或，不能推出，故“”是“”的充分不必要条件．故选：A4．B【详解】，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，．故选：B．5．C【详解】由等差数列的性质得，则，所以.故选：C.6．D【详解】在中，，，米，在中，由正弦定理可得，所以，又因为，所以，解得米，在中，，米，所以米，故选：D.7．B【详解】．故选：B8．A【详解】已知，由正弦定理化简得：，代入得：，当且仅当“”时取等，由余弦定理可得：，，由同角三角函数关系可得：，则面积.故选：A9．AC【详解】若，可得，解得，所以A正确，B错误；若，可得，解得或，所以C正确，D错误．故选：AC.10．ACD【详解】显然，由，得，由，得，因为，所以时，则，A正确；令，得，所以图象的对称中心为，B错误；的图象向左平移个单位长度得到，显然是偶函数，C正确；令，得，所以的单调递增区间为，D正确；故选：ACD.11．BCD【详解】因，则，因，则，则，即，令，则，因，则，则的值可能为.故选：BCD12．60【详解】设递减的等比数列的公比为，，则是方程的两个根，又，解得，，解得，所以．故答案为：6013．2【详解】的定义域为，且，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，又当时，，当时，，所以函数的零点个数为2．（方法二）的定义域为，令，得，作出函数的图象，如图所示：由图可知，的图象与的图象有2个公共点，所以函数的零点个数为2．故答案为：214．【详解】因为为奇函数，所以，因，则可得，即．又等价于，易知函数在上单调递增，所以，解得．故答案为：15．(1)(2)【详解】（1）因为数列为正项数列，所以，故，又，所以，故是公比为的等比数列，又因为，，所以，解得，所以．（2），①，②，式①减去②得，．16．(1)；(2)；(3).【详解】（1）由的最小正周期，得，解得，函数，而，则，于是，解得，由，得，所以的解析式为．（2）由，得，则，所以在上的值域为.（3）由（1）知，由，得，则，解得，而，所以当时，的最小值为.17．(1)(2)单调递增区间是和，单调递减区间是；【详解】（1）当时，，，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）因为，所以．因为在处取得极值，所以，解得，则，．由，得；由，得或．所以的单调递增区间是和，单调递减区间是．因为的极小值为，且，所以的最小值为；所以．18．(1)(2)最小值为4，【详解】（1）设外接圆的半径为．因为，所以．又因为，所以．因为，所以，又角为锐角，则．（2）由（1）知．因为，由正弦定理得．因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，此时，解得，从而．19．(1)答案见解析；(2)①；②证明见解析.【详解】（1）由可知，对于方程，若，即或，①当时，有两个不等正实根，此时在上，在上，当，有两个不等负实根，此时在上，②若时，恒成立，此时在上，综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；（2）当时，，记，则，显然时，，时，，即在上单调递减，在上单调递