第01讲 导数的概念及运算 高频考点精讲（解析版）

第01讲导数的概念及运算(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：导数的概念高频考点二：导数的运算高频考点三：导数的几何意义①求切线方程（在型）②求切线方程（过型）③已知切线方程（或斜率）求参数④导数与函数图象第四部分：高考真题感悟第一部分：知第一部分：知识点精准记忆1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.（2）平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为：.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出和②作商：对所求得的差作商，即.2、导数的概念（1）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.（2）定义法求导数步骤：求函数的增量：；求平均变化率：；求极限，得导数：.3、导数的几何意义函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.4、基本初等函数的导数公式基本初等函数导数(为常数)()()(，)5、导数的运算法则若，存在，则有（1）（2）（3）6、复合函数求导复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.（2）过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.第二部分：课第二部分：课前自我评估测试1．（2022·安徽滁州·高二期末）已知函数，为的导函数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得，，所以故选：．2．（2022·陕西渭南·高二期末（理））若函数在处的导数为2，则

(

)A．2 B．1 C． D．6【答案】B【详解】由函数在处的导数为2，得，所以，故选：B3．（2022·吉林·高二期末）曲线在点的切线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得，∴，即，∴切线方程为．故选：B4．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））下列求导运算不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D不正确.故选：D5．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）下列求导结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】A选项：，故A选项错误；B选项：，故B选项正确；C选项：，故C选项错误；D选项：，故D选项错误；故选：B6．（2022·新疆·霍城县第二中学高二期中（理））求下列函数的导数．(1)；(2)；【答案】(1)(2)（1）．（2）因为，所以第三部分：典第三部分：典型例题剖析高频考点一：导数的概念典型例题例题1．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（理））已知为可导函数，且，则_______．【答案】【详解】解：因为.故答案为：.例题2．（2022·北京顺义·高二期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（）随开窗通风换气时间（）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图分别令、、、、所对应的点为、、、、，由图可知，所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；故选：C例题3．（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）某物体作直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）满足关系式，那么该物体在时的瞬时速度是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】所以该物体在时的瞬时速度是故选：D题型归类练1．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知是函数的导函数，若，则（

）A．4 B．2 C．8 D．【答案】C【详解】解：．故选：C．2．（2022·上海·闵行中学高二期末）已知函数，则______．【答案】－1【详解】．故答案为：．3．（2022·陕西西安·高二期末（理））已知函数的导函数为，且，则____________．【答案】##【详解】，令得：，解得：故答案为：4．（2022·上海市第三女子中学高二期末）某物体的运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）满足函数关系为，则该物体在时刻时的瞬时速度为______（米/秒）．【答案】【详解】由，得，当时，，故答案为：.高频考点二：导数的运算典型例题例题1．（2022·吉林·高二期末）函数的导数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据导数的运算法则可知，.故选：B例题2．（2022·广西桂林·高二期末（文））下列关于函数求导的等式，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B．例题3．（2022·安徽·高二期末）已知函数，是的导函数，则__________.【答案】【详解】由，可得即.故答案为：.题型归类练1．（2022·福建莆田·高二期末）函数的导函数是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由得.故选：B.2．（2022·北京西城·高二期末）已知函数，为的导函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以，所以，.故选：B.3．（2022·重庆·高二期末）函数的导函数为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】.故选：D.高频考点三：导数的几何意义①求切线方程（在型）典型例题例题1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））已知函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，，，所以函数在点处的切线方程为，即.故选：A例题2．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））曲线在点处的切线方程为______．【答案】【详解】，则，则则曲线在点处的切线方程为，即故答案为：例题3．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（理））已知函数．求曲线在点处的切线方程.【答案】【详解】解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为.题型归类练1．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））曲线在处的切线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，则，当时，，，所以切线方程为，即．故选：D．2．（2022·广东广州·高二期末）函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，而，所以切线方程为：，故选：A3．（2022·山东枣庄·高二期末）已知函数，则曲线在点处的切线的方程为______．【答案】【详解】解：，则，所以曲线在点处的切线的方程为，即.故答案为：.4．（2022·江西赣州·高二期末（文））函数的图象在点处的切线方程为___________.【答案】【详解】由题意，，故，故函数的图象在点处的切线方程为，即故答案为：②求切线方程（过型）典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，若直线过点，并且与曲线相切，则直线的方程为______________．【答案】【详解】∵点不在曲线上，设切点坐标为．又∵，所以∴在处的切线方程为，∵切线过点，∴，解得，∴直线的方程为：，即直线方程为.故答案为：．例题2．（多选）（2022·广东·新会陈经纶中学高二期中）已知曲线.则曲线过点的切线方程为.（

）A． B． C． D．【答案】AB【详解】解：设切点为，则，所以，所以切线方程为，因为切线过点（1，3），所以，即，即，解得或，所以切线方程为或，故选：AB例题3．（2022·陕西西安·高二期末（理））若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】C【详解】解：设切点为，由，所以，所以，所以切线方程为，即，因为切线过点，所以，解得或，所以过点作曲线的切线可以作2条，故选：C题型归类练1．（2022·河南信阳·高二期末（文））以点为切点的曲线的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】，，所以切线的斜率为，切线方程为，即，与x轴y轴的交点坐标分别为（0，1），（1，0），所围成的面积；故选：A.2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））曲线的一条切线经过点，则该切线的斜率为________．【答案】【详解】解：因为，所以，设切点为，则，所以，解得，所以，即切线的斜率为；故答案为：3．（2022·广东茂名·高二期中）已知直线l为函数的切线，且经过原点，则直线l的方程为__________.【答案】【详解】解：设切点坐标为，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为又直线l过点，所以，整理得，解得，所以，直线l的斜率，所以直线l的方程为，故答案为：.4．（2022·湖南·高二课时练习）求曲线过点的切线方程.【答案】【详解】设切点为．由已知，时，，所以切线方程是，切线过点，则，解得，所以切线方程为，即③已知切线方程（或斜率）求参数典型例题例题1．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数在点处的切线方程为，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【详解】由，则，所以解得：，，所以.故选：D.例题2．（2022·天津河北·高二期中）若曲线在点处的切线的斜率为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意得：，所以，解得.故选：A.例题3．（2022·广东茂名·高二期中）已知曲线在点处的切线的斜率为，则当时，点的坐标为（

）A． B． C．或 D．【答案】C【详解】因为，，所以，所以，则点P的坐标为或.故选：C.题型归类练1．（2022·河南·高二期中（文））已知函数，.若曲线在处的切线与直线平行，则实数a的值为(

)A．1 B．2 C． D．【答案】A【详解】∵，∴，∵曲线在处的切线与直线平行，∴．故选：A﹒2．（2022·天津市梅江中学高二期中）若曲线在点处的切线方程为，则（

）A．2 B．0 C． D．【答案】A【详解】由得，又曲线在点处的切线方程为，故当时，又点在上，则，故．故选：A．3．（2022·浙江省兰溪市第三中学高二开学考试）已知曲线的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为___________；【答案】2【详解】由题意，，令有，解得故答案为：24．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______.【答案】－1【详解】，则，则，解得．故答案为：－1．④导数与函数图象典型例题例题1．（2022·北京市八一中学高二期中）如图所示，是函数的图象与其在点处的切线，则等于（

）A．－2 B．0 C．2 D．4【答案】B【详解】由题意，切线经过点，可得切线的斜率为，即，又由切线方程为，令，可得，即，所以.故选：B.例题2．（2022·北京八十中高二期中）如图，函数的图像在点处的切线方程是，则（）A．-2 B．3 C．2 D．-3【答案】B【详解】解：因为函数的图像在点P处的切线方程是，所以，所以，故选：B.例题3．（2022·广东·鹤山市鹤华中学高二期中）曲线在处的切线如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由图可知切线斜率为，∴.故选：C.题型归类练1．（2022·重庆一中高二阶段练习）如图，函数的图像在点处的切线方程是，则（

）A． B．1 C．2 D．0【答案】C【详解】解：当时，，所以，因为函数的图像在点处的切线方程是，所以，所以，故选：C2．（2022·全国·高二课时练习）已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′（3）＝（

）A．－1 B．0C．2 D．4【答案】B【详解】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于，∴，∵，∴，∴，又由题图可知f（3）＝1，所以.故选：B3．（2022·山东日照·高二期末）如图所示，函数的图像在点P处的切线方程是，则的值为（

）A．0 B．1 C．-1 D．2【答案】A【详解】因为切线方程为：，故，且，故故选：A4．（多选）（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）如图，是可导函数，直线l：是曲线在处的切线，令，其中是的导函数，则(

)A． B． C． D．【答案】ACD【详解】由图可知，f(3)＝1，故A正确；(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B错误；，则，故C正确；，，故D正确.故选：ACD.5．（2022·陕西西安·高二期末（理））如图，已知直线l是曲线在点处的切线，则的值为___________.【答案】##2.5【详解】依题意得，根