第01讲 函数的概念及其表示（解析版）

第二章《函数》第01讲函数的概念及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．一．函数的概念例1．（1）下列四个图像中（如图），属于函数图象的是（）

（1）

（2）

（3）

（4）A．(1)(2) B．(1)(3)(4) C．(2)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4)【答案】B【分析】根据函数定义判断选择.【详解】根据函数定义，函数图像与至多一个交点，所以（2）不满足，即属于函数图象的是(1)(3)(4)，选B.【点睛】本题考查函数定义，考查基本判别能力.（2）集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A． B．： C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义分别进行判断即可．【详解】对于C选项的对应法则是f：x→y=x，可得f（4）=∉B，不满足映射的定义，故C的对应法则不能构成映射．故C的对应f中不能构成A到B的映射．其他选项均符合映射的定义.故选C．【点睛】本题考查函数概念，给出集合A、B，要求我们找出从A中任取一个元素，在B中都有唯一一个与之对应，属于基础题．（3）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】AD【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.【详解】对于选项A，，两个函数的定义域均为，且，所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A正确；对于选项B，，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故B错误；对于选项C，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故C错误；对于选项D，，两个函数的定义域均为R，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确．故选：AD.【复习指导】：(1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．二．求函数的解析式命题点1已知函数类型求解析式例2．（1）已知是一次函数，且满足；（2）已知函数为二次函数，且，求的解析式；【答案】（1）；（2）【详解】（1）设，则所以解得：所以；（2）设，解得：（3）已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________.【答案】x2＋2x＋1【详解】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c，又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根．∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.命题点2已知求解析式例3．（1）已知f(＋1)＝x＋2，求的解析式．【答案】f(x)＝x2－1(x≥1)；【分析】可以采用换元法和凑配法，两种方法求解；【详解】(方法1)(换元法)：设t＝＋1，，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(方法2)(配凑法)：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．（2）设函数f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝x，则f(x)的表达式为()A.eq\f(1＋x,1－x)(x≠－1) B.eq\f(1＋x,x－1)(x≠－1)C.eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1) D.eq\f(2x,x＋1)(x≠－1)【答案】C【详解】令t＝eq\f(1－x,1＋x)，则x＝eq\f(1－t,1＋t)，∴f(t)＝eq\f(1－t,1＋t)，即f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1)．（3）已知，求的解析式．【答案】．【详解】由题意得：定义域为设，则

．（4）已知，求的解析式．【答案】或【分析】先对进行因式分解为为相关式子，然后借助换元法替换即可；【详解】，令，由双勾函数的性质可得或，，或命题点3方程组法求解析式例4．（1）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立,求.【答案】【分析】将代入等式得到一个新表达式，然后联立原式根据方程组思维求解即可【详解】将代入等式得出，联立，变形得：，解得（2）已知定义域为R的函数满足，则___________.【答案】【解析】由题意利用方程思想求得函数的解析式即可.【详解】因为，所以，同除以2得，两式相加可得，即.故答案为：.【点睛】求函数解析式常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．（3）已知函数的定义域为，且，则_______【答案】【解析】根据，考虑到所给式子中含有和，用代替代入，解关于与的方程组，即可求得．【详解】考虑到所给式子中含有和，故可考虑利用换元法进行求解．在，用代替，得，将代入中，可求得．故答案为：.【点睛】此题是个基础题．本题主要考查通过给定条件求函数解析式的问题．联立方程求函数解析式是求解析式的一种重要方法．（4）已知函数，，且满足，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知条件得出关于和的方程组，进而可求得的值.【详解】由于函数满足，则，解得.故选：A.【点睛】本题考查函数值的计算，建立关于和的方程组是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.【复习指导】：函数解析式的求法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f

(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)配凑法：由已知条件f

(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f

(x)的解析式．(4)消去法（方程组法）：已知f

(x)与f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f

(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f

(x)．三．分段函数命题点1求分段函数的函数值例5．（1）已知函数，则（）A． B． C． D．5【答案】A【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.【详解】，，，故选A.【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.（2）设函数，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为时，所以；又时，，所以故选A.本题考查分段函数的意义,函数值的运算.（3）设函数,（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【详解】.故选C.命题点2分段函数与方程、不等式问题例6．（1）设函数，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：由题意得，当时，即，则，解得（舍去）；当时，即，则，解得，故选D．考点：分段函数的应用．（2）设函数，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别在和的情况下，根据解析式构造不等式，解不等式求得结果.【详解】当时，，，解得：；当时，，解得：；综上所述：的取值范围为.故选：A.（3）设函数，则不等式的解集是（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【分析】利用解析式先算出，然后分和两种情况讨论，算出对应的范围，即可得到答案【详解】解：由函数的解析式可得，当时，不等式即，即，解得，此时；当时，不等式即，解得，此时；综上可得，的取值范围是或，故选：.（4）设函数则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合函数性质分析可得或，求解即可【详解】由题意，在单调递增，且故或解得：故选：D【复习指导】：(1)分段函数的求值问题的解题思路：①求函数值：当出现f

(f

(a))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路：依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．四．函数的定义域例7．（1）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定的函数式，列出不等式组求解作答.【详解】函数有意义，则有，解得或，所以函数的定义域为.故选：C（2）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等式组，求解即可.【详解】解：由已知得，解得且，所以函数的定义域为，故选：B.（3）已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解.【详解】因为函数的定义域是，所以，所以所以函数的定义域为，要使有意义，则需要，解得，所以的定义域是.故选：D.（4）已知函数f(x)的定义域是[1，5]，求函数f(x2＋1)的定义域.（5）已知函数f(2x2－1)的定义域是[1，5]，求f(x)的定义域.【答案】（4）[－2，2]；（5）[1，49].【分析】（4）由f(x)的定义域是[1，5]得函数f(x2＋1)有1≤x2＋1≤5，解出即为定义域；（5）函数f(2x2－1)的定义域是[1，5]，有x在[1，5]求出2x2－1的范围即为f(x)的定义域.【详解】(4)由f(x)定义域为[1，5]，知f(x2＋1)中需1≤x2＋1≤5，解得－2≤x≤2.∴f(x2＋1)的定义域为[－2，2].(5)由f(2x2－1)定义域为[1，5]，得1≤x2≤25，1≤2x2－1≤49，故f(x)定义域为[1，49].点睛：求解定义域问题即为求解函数中自变量的取值集合，对于复合函数依然如此，对于函数和而言，求解定义域依旧是各自函数中的取值集合，特别注意两函数中和的范围一样，即可以根据一个函数的定义域求解括号中整体的范围，再去求解另一个函数的定义域即可.【复习指导】：(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等．(2)求函数定义域应注意的问题①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．=3\*GB3③求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．(3)求抽象函数的定义域的策略①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．五．函数的值域例8．求下列函数的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.【分析】（1）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；（2）直接利用二次函数性质求分母取值范围，再求y的取值范围即得结果；（3）先求定义域，再利用函数单调性求函数取值范围即可；（4）变形得，即可得解；（5）利用二次函数的单调性逐步求值域即可；（6）令，则，将函数变形为，利用二次函数的性质计算可得；（7）求出函数定义域，平方后利用二次函数的性质求值域即可；（8）直接利用二次函数的单调性逐步求值域即可；（9）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；（10）先进行换元，再利用对勾函数单调性求解值域即可.【详解】解：（1）分式函数，定义域为，故，所有，故值域为；（2）函数中，分母，则，故值域为；（3）函数中，令得，易见函数和都是减函数，故函数在时是递减的，故时，故值域为；（4），故值域为且；（5），而，，，，即，故值域为；（6）函数，定义域为，令，所以，所以，对称轴方程为，所以时，函数，故值域为；（7）由题意得，解得，则，故，，，由y的非负性知，，故函数的值域为；（8）函数，定义域为，，故，即值域为；（9）函数，定义域为，故，所有，故值域为；（10）函数，令，则由知，，，根据对勾函数在递减，在递增,可知时，，故值域为.【点睛】方法点睛：求函数值域常见方法：（1）单调性法：判断函数单调性，利用单调性求值域（包括常见一次函数、二次函数、分式函数、对勾函数等）；（2）换元法：将复杂函数通过换元法转化到常见函数上，结合图象和单调性求解值域；（3）判别式法：分式函数分子分母的最高次幂为二次时，可整理成关于函数值y的二次方程，方程有解，判别式大于等于零，即解得y的取值范围，得到值域.【复习指导】：求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法；(7)导数法．六．定义域与值域的应用例9．（1）已知函数y＝eq\r(x2＋ax－1＋2a)的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．【详解】令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝eq\r(t)的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y|y＝g(x)}，即函数对应的一元二次方程的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0，即a2－8a＋4≥0，解得a≥4＋2eq\r(3)或a≤4－2eq\r(3)，∴a的取值范围是{a|a≥4＋2eq\r(3)或a≤4－2eq\r(3)}．（2）若函数f(x)＝ln(ax－1)在(2，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为________．【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))【详解】要使函数f(x)＝ln(ax－1)有意义，则ax－1>0，即ax－1>0在(2，＋∞)上恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,2a－1≥0，))解得a≥eq\f(1,2).（3）已知函数f(x)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝________.【答案】3【详解】f(x)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1，x∈[1，b]且b>1，则f(1)＝1，f(b)＝eq\f(1,2)(b－1)2＋1，∵f(x)在[1，b]上为增函数，∴函数f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)b－12＋1)).由已知得eq\f(1,2)(b－1)2＋1＝b，解得b＝3或b＝1(舍).（4）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：由题意知在上恒成立，因二次项的系数是参数，所以分和两种情况，再利用二次函数的性质即开口方向和判别式的符号，列出式子求解，最后求并集即可．详解：∵函数的定义域为，∴在上恒成立，①当时，有在上恒成立，故符合条件；②当时，由，解得，综上，实数的取值范围是．故选B.点睛：本题的考点是对数函数的定义域，考查了含有参数的不等式恒成立问题，由于含有参数需要进行分类讨论，易漏二次项系数为零这种情况，当二次项系数不为零时利用二次函数的性质列出等价条件求解．（5）函数的定义域为,则的取值范围为______.【答案】.【分析】函数的定义域为实数集即的解集为R，即无解，令判别式小于0即可.【详解】由函数的定义域为，得无解，，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查等价转化的能力、考查二次方程解的个数取决于判别式，解题时要认真审题，理清条件和要求解的量之间的关系，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生化简计算的能力，是基础题.【复习指导】：已知函数的定义域、值域求参数问题，可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程(组)、不等式(组)，然后求解．1．对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（）个A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据函数的定义，可知不能有剩余且每个只能对应唯一的一个，由此可判断出结果.【详解】第一个图形中，有剩余元素，所以不能构成从到的函数第二个图形中，存在对应两个不同的，所以不能构成从到的函数第三个图形中，在时，对应两个不同的，所以不能构成从到的函数第四个图形中，每个都有唯一确定的与之对应，所以可以构成从到的函数综上所述，共有个图形不能构成从到的函数本题正确选项：【点睛】本题考查函数的基本定义，关键是明确函数是一种特殊的映射，每个都有唯一确定的与之对应，属于基础题.2．下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义判断即可.【详解】对A，由得是函数关系；对B，由，得是函数关系；对C，由，得，此时值不唯一，不是函数关系；对D，由，得是函数关系，故选：C3．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【详解】对应关系若能构成从到的函数，须满足：对中的任意一个数，通过对应关系在中都有唯一的数与之对应，①中，当时，，故①不能构成函数；②中，当时，，故②不能构成函数；③中，当时，，故③不能构成函数；④中，当时，，当时，，当时，，故④能构成函数.故选D.4．设函数对的一切实数均有，则等于（）A．2016 B．-2016 C．-2017 D．2017【答案】B【分析】将换成再构造一个等式，然后消去，得到的解析式，最后可求得．【详解】①②①②得，故选：．【点睛】本题考查求解析式的一种特殊方法：方程组法．如已知，求，则由已知得，把和作为未知数，列出方程组可解出．如已知也可以用这种方法求解析式．5．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（

）A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋3【答案】B【分析】用代替原方程中的，构造方程，解方程组的方法求解.【详解】用代替原方程中的得：f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，∴消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，.故选：B6．设，则A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：，．故C正确．考点：复合函数求值．7．已知，若，则（

）A．5 B． C．2 D．2或【答案】B【分析】根据题意将两部分范围确定，分别代入函数，即可解出的值，再代入求解即可.【详解】解：根据题意，当时函数在上单调递增，当时函数在上单调递增，若，，则必有，即，则，即，则，解得或（舍去），，故选：B.8．已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．【详解】解：，当时，，所以或；当时，，所以，所以不等式的解集是，，，故选：A．9．设函数f(x)=若，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由于的范围不确定，故应分和两种情况求解.【详解】当时，，由得，所以，可得：，当时，，由得，所以，即，即，综上可知：或.故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式的关键是对的范围讨论，分情况解，属于中档题.10．已知函数则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据在R上单调递增可求解.【详解】易得函数在R上单调递增，则由可得，解得，故不等式的解集为.故选：A．11．已知函数，则使得成立的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】当时有成立；当时有成立，故的取值范围可求.【详解】当时为增函数，故时有成立所以；当时，故时有成立，所以综上所述：故选：D12．已知函数若f(x0)>3，则x0的取值范围是()A．(8，＋∞) B．(－∞，0)∪(8，＋∞)C．(0,8) D．(－∞，0)∪(0,8)【答案】A【详解】依题意，得或即或所以x0∈∅，或x0>8，故选A.13．已知函数，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由可得出，然后再分、两种情况解不等式，即可得解.【详解】若，则，解得，此时，；若，则，可得，解得.综上，.若，由可得，可得，解得，此时；若，由可得，可得，解得，此时，.综上，满足的的取值范围为.故选：D.【点睛】思路点睛：涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量的取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量的取值确定但分段函数中含有参数时，只需根据自变量的情况直接代入相应解析式求解.14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.故选：C.15．已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由的定义域为得，进而，求得即可.【详解】∵的定义域为，∴，∴，在中，解得，所以函数的定义域为．故选：B16．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用配方法求出函数的最小值，结合二次函数的单调性、函数的定义域和值域进行求解即可.【详解】，当时，；当或时，.因此当时，函数在区间上的最小值为，最大值为，所以，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查了已知二次函数的定义域和值域求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.17．函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：利用二次函数的性质即可得出答案.解析：，对称轴为，抛物线开口向上，，当时，，距离对称轴远，当时，，.故选：D.点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论18．函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A．[0，4] B．[4，6] C．[2，6] D．[2，4]【答案】D【分析】因为函数的图象开口朝上，由，结合二次函数的图象和性质可得的取值范围.【详解】函数的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线，故，函数的定义域为,值域为，所以，即的取值范围是,故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数的定义域与值域，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力.19．函数的值域为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】令，则，再根据二次函数的性质求出的最大值，进而可得的范围，再计算的范围即可求解.【详解】令，则且又因为，所以，所以，即函数的值域为，故选：B.20．函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，可得，求出函数的对称轴，由二次函数的性质可得函数的值域.【详解】解：令，可得，可得函数的对称轴为：，故函数在上单调递增，当时，，故函数的值域为，故选：B.【点睛】本题主要考查函数的值域，解题的关键是利用换元法进行换元，根据指数函数的值域与二次函数的性质进行求解.21．已知函数，（），则它的值域为（

）A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0）【答案】D【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解.【详解】由题意，函数设，则，可得故的值域为.故选：D.22．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题得，即求.【详解】∵，又函数的值域为R，则，解得．故选：C．23．已知函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于，进而得，即函数的值域是【详解】解：因为,所以所以函数的值域是故选：B24．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求对数型函数的定义域化简集合，再化简集合，利用交集的概念，即可求出结果.【详解】解:因为，，所以.故选：D25．已知函数则函数的值域为（

）A．R B． C． D．【答案】B【分析】先分别求出和时的值域，再求各段值域的并集，即可得到答案.【详解】当时，，由基本不等式可得：（当且仅当，即时等号成立）所以，即函数的取值范围为；当时，，因为当时，取得最大值1，所以函数的取值范围为.综上，函数的值域为。故选：B.26．设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解出集合、，然后利用集合的交集运算可求出.【详解】解不等式，得或，所以，.当时，；当时，，.因此，，故选C.【点睛】本题考查集合的交集运算，要明确集合的对象类型以及集合的含义，解出集合是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.27．函数值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据反比例函数的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，故选：D28．已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据二次函数的性质求出在上的值域为，利用一次函数的单调性求出在上的值域为，由题意可得，再根据集合的包含关系即可求解.【详解】，，，，在上的值域为，又在上单调递增，在上的值域为，由题意可得，，解得.故选：D【点睛】该题考查了二次函数的性质、由函数的单调性求值域、集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题目.29．(多选)下列各组函数是同一个函数的是()A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1B．f(x)＝x－1，g(x)＝eq\f(x2－1,x＋1)C．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0))D．f(x)＝eq\r(－x3)，g(x)＝xeq\r(－x)【答案】AC30．（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（

）A．与表示同一函数B．函数的图象与直线的交点最多有1个C．与是同一函数D．若，则【答案】BC【分析】根据同一函数的判定方法，可判定AC；根据函数的概念，可判定B；根据函数的解析式，求得，进而求得的值，可判定D.【详解】对于A，函数的定义域为，函数定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；对于B，若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个；若函数在处没有定义，则的图象与直线没有交点，故B正确；对于C，函数与的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故C正确；对于D，由，可得，所以，故D错误；故选：BC31．若函数满足条件，则的最小值为__________．【答案】【分析】由题可求函数的解析式，再利用均值不等式即得.【详解】∵函数满足条件，所以可得，∴，∴，当且仅当即，时取等号.故答案为：32．已知函数，若，则______．【答案】，或【分析】根据分段函数分别求满足的的值即可.【详解】解：函数，故当时，，即，解得或；当时，，解得.综上，，或.故答案为：，或.33．已知，函数，若，则__________．【答案】【分析】根据定义域选择合适的表达式代入求值【详解】，解得故答案为：34．函数的定义域为______________．【答案】【分析】换元，得出，求出的范围，由此可得出的取值范围，即可得出函数的定义域.【详解】换元，得出，解得（舍去）或，即，解得.因此，函数的定义域为，故答案为.【点睛】本题考查函数定义域的求解，解题的关键利用换元法将指数不等式转化为二次不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.35．设函数则满足的x的取值范围是____________.【答案】【详解】由题意得：当时，恒成立，即；当时，恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.36．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__________.【答案】【分析】对的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f(a)≥－2，再对a的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.【详解】当时，f(f(a))≤2即为，，解得，所以；当时，f(f(a))≤2即为，因为恒成立，所以满足题意.所以f(a)≥－2，则或，解得.故答案为：【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题.37．已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.【详解】当时，，解得，于是得：，当时，，解得，于是得，所以的解集为．故答案为：38．函数的定义域为_____________.【答案】【详解】根据二次根式与对数函数有意义的条件可得，解之可得，，时，不等式解集为，故的定义域为，故答案为.39．函数的定义域为，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】函数的定义域为，等价于恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可得答案【详解】函数的定义域为，等价于恒成立，当时，显然成立；当时，由，得．综上，实数的取值范围为．故答案为：40．函数的定义域，则实数的值为________【答案】3【解析】根据具体函数的定义域建立不等式组，由已知可得答案.【详解】由题意，函数有意义，满足，即，又由函数的定义域为，，解得．故答案为：3.【点睛】本题考查由具体函数的定义域求参数的值，属于基础题.41．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．【答案】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出ax＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a的取值范围．【详解】解：函数f（x）＝lg（ax）的定义域为R，∴ax＞0恒成立，∴ax恒成立，设y，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．42．函数的值域是______________（用区间表示）【答案】【分析】根据二次函数、一次函数的性质，分别求解时和时，函数的值域，综合即可得答案.【详解】当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线，所以，当时，，为单调递减函数，所以，综上：，即的值域为.故答案为：43．函数的值域是___________.【答案】【分析】因为设，即求在上的值域.【详解】因为，设,,在上单调递增,所以故答案为：.【点睛】本题考查指数函数的性质，二次函数的值域，考查换元法,属于中档题.44．已知函数，则________；若当时，，则的最大值是_________.【答案】

【分析】先算内层，再求；画出大致图象，确定变化范围，可求的最大值.【详解】，则；由分段函数画出大致图象，如图：若当时，，则可令解得，则，令，解得或（舍去，）则，，则，则的最大值是故答案为：；45．（1）若二次函数满足，，求.（2）若对任意实数，均有，求.（3）已知，求的解析式；（4）已知，求的解析式.【答案】（1）；（2）；（3），；（4），.【分析】（1）根据题意设，进而待定系数法求解