第01讲 平面向量的概念及线性运算 （高效培优讲义）（解析版）

第01讲平面向量的概念及线性运算目录考情探究 2知识梳理 2探究核心考点 4考点一平面向量基本概念的综合考查 4考点二相等向量及其应用 7考点三平面向量线性运算的综合考查 8考点四平面向量共线定理与点共线问题 10考点五平行向量（共线向量）求参数 12三阶突破训练 14基础过关 14能力提升 17真题感知 20一、5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2025年全国一卷，第6题,5分向量坐标的线性运算解决几何问题坐标计算向量的模平面向量线性运算的坐标表示2024年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示向量垂直的坐标表示2023年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示向量垂直的坐标表示利用向量垂直求参数2022年新Ⅱ卷，第4题,5分平面向量线性运算的坐标表示数量积及向量夹角的坐标表示二、命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义4理解向量的线性运算性质及其几何意义【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习知识点1平面向量的定义与表示（1）向量：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．（2）向量的表示①表示工具——有向线段．有向线段包含三个要素：起点，方向，长度．②表示方法：向量可以用有向线段AB→表示，向量AB→的大小称为向量AB→的长度(或称模)，记作|AB→|.向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：知识点2平面向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(2)单位向量：长度等于1个单位的向量．(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点3平面向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则减法求a与b的相反向量−b三角形法则数乘求实数λ与向量a的积的运算（1）λa（2）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0知识点4平面向量线性运算的运算律1.向量加法的运算律（1）交换律：a+b=（2）结合律：(a+b)+2.向量减法的运算律几何意义：a−b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点定义：a−b=a+(−3.a−b与a，(1)对于任意向量a，b，都有a−b≤a−b(2)当a，b共线，且同向时，有a−b=a−b或(3)当a，b共线，且反向时，有a−b=4.数乘运算律一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立：（1）对实数加法的分配律：x+ya=x（2）对实数乘法的结合律：xya=(xy)（3）对向量加法的分配律：xa+b=知识点5平面向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ给定四点O,P,A,B，其中O,A,B为不共线的三点，且OP=xOA+yOB，则A,P,B三点共线的充要条件是考点一平面向量基本概念的综合考查典例1．下列说法错误的是（

）A．B．，是单位向量，则C．若，则D．两个相同的向量的模相等【答案】C【分析】由向量的模、单位向量、相等向量等概念对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，是单位向量，则，故B正确；对于C，若，有方向不能比较大小，故C错误；对于D，两个相同的向量长度相等，方向相同，故D正确.故选：C.典例2．（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量，，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则，不是共线向量【答案】C【分析】由向量的模长，共线，相等的性质逐项判断即可.【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错；对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错；对于C，若，由向量相等的条件可得，故C正确；对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错.故选：C．典例3．设和是两个非零向量，定义向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量数量积的运算法则和向量相等的定义即可判断.【详解】因为，所以，但向量的方向不确定，所以推不出；又根据，得到，所以可以推出，则“”是“”的必要不充分条件，故选：B．跟踪训练1．下列命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据向量的概念逐一判断.【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；对于B：向量不能比较大小，B错误；对于C：若，则方向相同，C正确；对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.故选：C.跟踪训练2．已知平面向量，，则“或”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据向量的基本概念，结合充分，必要条件，即可判断选项.【详解】若或，则，反过来，若，两个向量的方向不确定，不能推出或，所以“或”是“”的充分不必要条件.故选：A跟踪训练3．若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的加法法则计算可得结论.【详解】因为向量与方向相反，所以，.故选：A.考点二相等向量及其应用典例1．设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（

）A． B． C． D．且【答案】C【分析】根据题意，得到向量和的方向相同，结合选项，即可得到答案.【详解】由都是非零向量，且，因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以向量和的方向相同，结合选项，可得成立的充分条件为.故选：C.典例2．若在四边形中，满足，且，则四边形的形状一定是（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【答案】B【分析】根据平面向量加减法的运算及数量积的运算律即可求解．【详解】由得，，即四边形为平行四边形，又，所以，整理得，即，所以四边形为矩形，故选：B．典例3．已知向量，不共线，实数，满足，则（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】由已知结合平面向量基本定理可求，，进而求出答案.【详解】由，不共线，实数，满足，得，解得，，所以.故选：A跟踪训练1．已知四边形满足条件，且，其形状是（

）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【分析】由，分析出四边形一组对边平行且相等，又由，分析出四边形对角线相等，即可得到结果.【详解】由，可知且，则四边形为平行四边形，又由，可知四边形为矩形，故选:B.跟踪训练2．平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为A．（3，3） B．（﹣5，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，3）【答案】A【分析】利用，求得点的坐标.【详解】设D（x，y），∵点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，∴，∴（x，y﹣1）=（3，2），解得x=3，y=3，∴D点的坐标为（3，3）.故选：A.【点睛】本小题主要考查平面向量相等的知识，属于基础题.考点三平面向量线性运算的综合考查典例1．（2025·河南安阳·一模）已知平行四边形的对角线的交点为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解.【详解】在中，.故选：C典例2．纸风车体现了数学的对称美，如图是一个纸风车示意图，则（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】设，根据向量相等定义，向量数量积以及平行四边形法则可得结果.【详解】不妨设，则，与方向不一致，所以，故A错误；由题干图中所示，为钝角，所以，故B错误；结合题干及图，由向量的平行四边形法则可知，故C正确；，故D错误.故选：C.跟踪训练1．（2025·四川自贡·三模）在中，是边上的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.【详解】因为是边上的中点，所以，即.故选：A.跟踪训练2．已知半径为1的圆O的内接正十二边形的顶点依次为，，，…，，P为圆O内的任意动点（不包含边界），若，则（

）A．13 B．12 C．11 D．10【答案】B【分析】根据向量线性运算可得答案.【详解】易知，由得，故．故选：B.考点四平面向量共线定理与点共线问题典例1．已知，，（和不共线），则三点共线（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的线性运算与共线定理即可得出结论.【详解】，所以共线，即三点共线，故A正确；，，，不共线，故B错误；，，，不共线，故C错误；，，，不共线，故D错误；故选：A典例2．若、是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于．【答案】/【分析】求出向量，由题意可得，则存在实数，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得的值.【详解】由题意可得，因为、、三点共线，则，则存在实数，使得，即，因为、是两个不共线的向量，所以，，解得.故答案为：.跟踪训练1．）已知，，，则共线的三点为（

）A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D【答案】D【分析】A选项，设，则，无解，不满足共线定理，A错误；BC选项，方法同A，得到BC错误；D选项，计算出，D正确.【详解】A选项，，，令，则，无解，不满足共线定理，A错误；B选项，，，令，则，无解，不满足共线定理，B错误；C选项，，，令，则，无解，，不满足共线定理，C错误；D选项，，故三点共线，D正确．故选：D跟踪训练2．已知非零向量，不共线，若，，，且A，C，D三点共线，则．【答案】【分析】根据三点共线，则对应向量共线，则存在非零实数x，使得，即可求得参数.【详解】因为A，C，D三点共线，故可得，则存在非零实数x，使得．又，，故可得．又非零向量，不共线，故可得，，解得，．故答案为：.跟踪训练3．已知向量三点共线，则.【答案】/【分析】由点共线可得，再利用两角和的正切公式即可求得结果.【详解】因为三点共线，所以，所以，可得故答案为：考点五平行向量（共线向量）求参数典例1．（2025·广东广州·三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（

）A． B．2 C．6 D．【答案】A【分析】由向量共线得到，求解即可.【详解】因为与共线，所以，解得：，故选：A典例2．若向量，不共线，且向量，同向共线，则（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【分析】由平面向量的基本定理及向量共线条件得求参数，再由向量同向共线求解.【详解】因为向量，共线，所以，解得或，当时，向量与方向相反，不满足，当时，向量与方向相同，满足，故.故选：B跟踪训练1．已知、不共线，向量，，且，则.【答案】【分析】设，其中，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解之即可.【详解】因为，所以，使得成立，即.因为、不共线，所以，所以，.故答案为：.跟踪训练2．已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的共线性质建立方程，求解参数即可.【详解】因为，为不共线向量，且，为共线向量，所以，而，，则，故，解得，故D正确.故选：D.一、单选题1．（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（

）A．从点O出发，朝北偏西方向移动B．从点O出发，朝北偏西方向移动C．从点O出发，朝北偏西方向移动2kmD．从点O出发，朝北偏西方向移动2km【答案】C【分析】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出即可.【详解】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得，设，因为，所以四边形OACB为菱形，则，则为正三角形，所以，故向量表示从点O出发，朝北偏西方向移动2km.故选：C2．（2025·吉林·二模）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合重心性质与向量运算化简可得.【详解】如图，连接，因为点O为的重心，则为的三等分点，且，所以，故选：A.3．（2025·黑龙江·一模）如图，在正六边形中，点满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用表示，即可得答案.【详解】由题设及正六边形的结构特征知，，且，，又，所以.故选：B4．（2025·广东惠州·三模）把函数的图象按向量平移，得到的图象，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由向量的概念确定函数图象平移方向，进而写出的解析式.【详解】由题意.故选：A5．（2025·广东茂名·二模）已知向量不共线，且，则实数（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可．【详解】因为向量不共线，且，设，即，所以，解得．故选：D．6．（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（

）A．2 B． C．0 D．1【答案】A【分析】根据向量的减法运算求出，再由共线向量定理求解即可.【详解】，，因为与共线，，故选：A．7．（2025·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】根据向量的线性运算，即可求解.【详解】，所以，即，即,即.故选：D一、单选题8．（2025·广东深圳·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】在四边形中，若，则四边形为平行四边形，若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形，四边形是正方形时，必有，即有，故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.故选：B.9．（2025·湖北·模拟预测）已知，，是同一个平面内的三个向量，则“”是“”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】取特例可判断充分性，利用共线向量的性质及向量数量积的运算可判断必要性.【详解】当时，，可以是任意向量，因此是不充分条件；当时，若，显然成立；当，因为，所以，因此，，因此成立.故“”是“”的必要条件.故选：C10．（2025·湖北·模拟预测）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由及即可求解.【详解】因为点是线段的中点,所以，又，所以，所以，故选：C11．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组.【详解】因，则，故，因三点共线，故设，则，因，则，解得．故选：D．二、多选题12．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设是两个非零向量，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．在方向上的投影向量的模为【答案】ACD【分析】对于A，根据条件，利用