第01讲 平面向量的概念及线性运算（解析版）

第01讲平面向量的概念及线性运算【考试要求】理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb①向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即．②特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．③若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.①若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得存在，使得．1．(多选)下列命题正确的是()A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若a，b都为非零向量，则使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的条件是a与b反向共线D．若a＝b，b＝c，则a＝c【答案】BCD【解析】A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C项，因为eq\f(a,|a|)与eq\f(b,|b|)都是单位向量，所以只有当eq\f(a,|a|)与eq\f(b,|b|)是相反向量，即a与b是反向共线时才成立，故C正确；D项，由向量相等的定义知D正确．2．下列各式化简结果正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))【答案】B3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.【答案】－eq\f(1,3)【解析】由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))考点一平面向量的基本概念例1(1)(多选)下列说法中正确的是()A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|【答案】CD【解析】对于A，单位向量方向不同时并不相等，A错误；对于B，0的相反向量为0，B错误；对于C，|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关，C正确；对于D，相反向量是长度相等，方向相反的向量，D正确．【对点演练1】（多选题）下列说法正确的是（

）A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等【答案】ABC【分析】根据向量的有关概念进行判定即可.【详解】A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.故选：ABC.【对点演练2】下列命题中正确的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上【答案】A【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.故选：A【对点演练3】判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则；④若，则．其中，正确的命题个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】对于①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点一定相同，故正确；对于②，当是零向量时，不能说与方向相同或相反，故错；对于③，如果，则与可以不共线，所以不正确；对于④，向量不能比较大小，故不正确；故选：B．例2（2023·北京大兴·校考三模）设，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，则，所以“”是“”的必要而不充分条件.故选：B平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.【对点演练1】下列说法中错误的是（

）A．单位向量都相等 B．对于任意向量，，必有C．平行向量不一定是共线向量 D．若，满足且与同向，则【答案】ACD【详解】对于A，单位向量模都为1，方向不一定相同，故A错误；对于B，若方向相同，则，若方向相反，则，若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知.综上可知对于任意向量，必有，故B正确；对于C，平行向量就是共线向量，故C错误；对于D，两个向量不能比较大小，故D错误.故选：ACD.【对点演练2】（2023·广东揭阳·校考二模）设是单位向量，，，，则四边形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【分析】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案.【详解】解：因为，，所以，即，，所以四边形是平行四边形，因为，即，所以四边形是菱形.故选：B考点二向量的线性运算角度1向量加、减法的几何意义例2(2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2023，则|e1＋e2＋…＋e2023|的最大值是________，最小值是________．【答案】20230【解析】当单位向量e1，e2，…，e2023方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2023|＝2023；当单位向量e1，e2，…，e2023首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2023|的最小值为0.角度2线性运算例3(2023·芜湖调研)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(11,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】A【解析】由题图，得eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)).故选A.【对点演练1】设为对角线的交点，为任意一点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：在OAC中，因为是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以，即．在OBD中，因为是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以，即．所以．故选：D．【对点演练2】在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bB.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bD.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b【答案】A【解析】如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)).因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.【对点演练3】(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，则eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n【答案】B【解析】因为BD＝2DA，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－2eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故选B.【对点演练4】（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为．【答案】．【解析】在中，，，点为的中点，点为的中点，，，则角度3根据向量线性运算求参数例4(2023·大连模拟)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，P为线段DE上的动点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，则λ＋μ等于()A．1B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．2【答案】B【解析】如图所示，由题意知，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，设eq\o(DP,\s\up6(→))＝xeq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋xeq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋x(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)xeq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(1－x)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以μ＝eq\f(2,3)x，λ＝eq\f(2,3)(1－x)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3)x＋eq\f(2,3)(1－x)＝eq\f(2,3).平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．【对点演练1】在△ABC中，P是BC上一点，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则2λ＋μ＝________.【答案】eq\f(4,3)【解析】在△ABC中，eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，则λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，所以2λ＋μ＝eq\f(4,3).【对点演练2】在△ABC中，AB＝2，BC＝3eq\r(3)，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ－μ＝________.【答案】eq\f(1,3)【解析】如图.∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC.∵AB＝2，∠ABC＝30°，∴BD＝eq\r(3)＝eq\f(1,3)BC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3)，μ＝eq\f(1,3)，故λ－μ＝eq\f(1,3).考点三共线定理及其应用例5已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.【证明】(1)若m＋n＝1，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝[m＋(1－m)]eq\o(OP,\s\up6(→))，故meq\o(OP,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))，即m(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝(1－m)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，meq\o(AP,\s\up6(→))＝(1－m)eq\o(PB,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))共线，又eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))有公共点P，则A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，变形得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，即(1＋λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(λ\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OA,\s\up6(→)),1＋λ)＝eq\f(λ\o(OB,\s\up6(→)),1＋λ)＋eq\f(\o(OA,\s\up6(→)),1＋λ)，又eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，eq\f(λ,1＋λ)＋eq\f(1,1＋λ)＝1，故m＋n＝1.利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(3)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.【对点演练1】已知平面向量a，b不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，则()A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线【答案】D【解析】对于A，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，与eq\o(AB,\s\up6(→))不共线，A不正确；对于B，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))不共线，B不正确；对于C，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，则eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))不共线，C不正确；对于D，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，即eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.故选D.【对点演练2】（2023·全国·高三专题练习）已知，若M、P、Q三点共线，则（

）A．1 B．2 C．4 D．－1【答案】A【分析】根据平面向量共线定理，列方程组即可求解.【详解】解：∵M、P、Q三点共线，则与共线，∴，即，得，解得.故选：A.【对点演练3】若a，b是两个不共线的向量，已知eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b，eq\o(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于()A．－1B．1C.eq\f(3,2)D．2【答案】B【解析】由题意知，eq\o(NQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＝a－(k＋1)b，因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝λeq\o(NQ,\s\up6(→))，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b，因为向量a，b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝0，,2－λk＋1＝0，))解得λ＝1，k＝1.【对点演练4】(2023·山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设xeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，yeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值为()A.3 B.4C.5 D.6【答案】A【解析】延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点，∵G为△ABC的重心，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3x)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(1,3y)eq\o(AN,\s\up6(→)).∵M，G，N三点共线，∴eq\f(1,3x)＋eq\f(1,3y)＝1，即eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3.故选A.【对点演练5】P是△ABC所在平面上一点，满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，△ABC的面积是S1，△PAB的面积是S2，则()A．S1＝4S2 B．S1＝3S2C．S1＝2S2 D．S1＝S2【答案】B【解析】∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))，∴3eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))并且方向一样，设AP与BC的距离为h，∵S△PAB＝eq\f(1,2)|eq\o(AP,\s\up6(→))|·h，S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|·h，又∵|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝3|eq\o(AP,\s\up6(→))|，∴S△PAB＝eq\f(1,3)S△ABC，S1＝3S2.【对点演练6】（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】由图象可知，因为，且三点共线，所以，即，选项A错误；，当且仅当时等号成立，B正确；，当且仅当时等号成立，C正确；，当且仅当，即时等号成立，D错误，故选：BC考点四与平面向量有关的数学文化题例6（2023·全国·高二校联考开学考试）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）.类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点M为的中点，点P是内（含边界）一点，且，则的最大值为__________.【答案】2【详解】由得：，又M为的中点，所以，所以，过A作的平行线交于点Q，当P与Q重合时，的值最大.因为M为的中点，且，所以D为的中点，此时，所以的最大值为2.故答案为：2【对点演练】五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是()A.eq\o(CH,\s\up6(→))＋eq\o(ID,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(FE,\s\up6(→))C.eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝2eq\o(HG,\s\up6(→)) D.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AJ,\s\up6(→))【答案】D【解析】A项，由图可知CH与ID相交，所以eq\o(CH,\s\up6(→))与eq\o(ID,\s\up6(→))不是相反向量，故A错误；B项，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DE,\s\up6(→))共线，eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(FE,\s\up6(→))不共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(FE,\s\up6(→))不共线，故B错误；C项，eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))≠2eq\o(HG,\s\up6(→))，故C错误；D项，连接BF，JF，由五角星的性质可得四边形ABFJ为平行四边形，根据平行四边形法则可得eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AJ,\s\up6(→))，故D正确．等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.(2)平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.例给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为120°，如图，点C在以O为圆心的圆弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上运动，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________.答案2解析法一由已知可设OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系(图略).其中A(1，0)，B，C(cosθ，sinθ)，则有eq\o(OC,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)＝x(1，0)＋y，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)＝cosθ，,\f(\r(3),2)y＝sinθ，))得x＝eq\f(\r(3),3)sinθ＋cosθ，y＝eq\f(2\r(3),3)sinθ，x＋y＝eq\f(\r(3),3)sinθ＋cosθ＋eq\f(2\r(3),3)sinθ＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sin，其中0≤θ≤eq\f(2π,3)，所以(x＋y)max＝2，当且仅当θ＝eq\f(π,3)时取得.法二如图，连接AB交OC于点D，设eq\o(OD,\s\up6(→))＝teq\o(OC,\s\up6(→))，由于eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝t(xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))).因为D，A，B三点在同一直线上，所以tx＋ty＝1，x＋y＝eq\f(1,t)，由于|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝t|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝t，当OD⊥AB时t取到最小值eq\f(1,2)，当点D与点A或点B重合时t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2.法三(等和线法)连接AB，过C作直线l∥AB，则直线l为以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))为基底的平面向量基本定理系数的等和线，显然当l与圆弧相切于C1时，定值最大，因为∠AOB＝120°，所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＋y的最大值为2.1、有下列命题：①单位向量一定相等；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；④方向相反的两个单位向量互为相反向量；⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．其中正确的命题的个数为______．A1B2C3D4【答案】C【分析】由相等向量、相反向量的知识依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确；对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确；对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误；则正确的命题个数为个.故答案为：.选C2、化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为()A．a＋4b B．－a－9bC．2a＋b D．a－3b【答案】B【解析】2(a－3b)－3(a＋b)＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.3．设a，b是平面内两个向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a＝－eq\f(1,2)b时，|a＋b|＝＝eq\f(1,2)|b|＝|a|，推不出|b|＝0；当|b|＝0时，b＝0，则|a＋b|＝|a＋0|＝|a|，故“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的必要不充分条件．4．（2023·河北·统考模拟预测）已知为所在平面内一点，且满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量的线性表示和加减法运算即可求解.【详解】如图，因为，所以是线段的四等分点，且,所以,故A,B错误；由，可得，故C正确，D错误，故选:C.5．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（

）A． B．0或 C．0或1 D．0或3【答案】A【分析】根据向量共线的条件,代入化简,对应系数相等【详解】因为与共线，可设，即，因为，不共线，所以所以.故选:A.6．（2023·全国·高三专题练习）已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（）A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部【答案】A【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可.【详解】∵，∴，则，则∴∴P点在AC边所在直线上．故选：A．7．在边长为1的正方形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则|a－b＋c|等于()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为四边形ABCD是边长为1的正方形，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，所以a－b＋c＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，所以|a－b＋c|＝|2eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.8．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，且eq\o(FC,\s\up6(→))＝λeq\o(FD,\s\up6(→))＋μeq\o(FE,\s\up6(→))，则λ＋μ等于()A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】∵eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝4eq\o(FO,\s\up6(→))＝4×eq\f(1,2)(eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))，∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4.二、多选题9．(多选)下列命题中，正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同【答案】BC【解析】对于A选项，0平行于任何向量，若b＝0，满足a∥b，b∥c，但不一定满足a∥c，故A错误；对于B选项，首尾顺次相接，正确；对于C选项，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正确；对于D选项，当a＋b＝0时，零向量的方向是任意的，故D错误．10、若是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量，，则下列说法正确的是（

）A． B． C．与的夹角为 D．【答案】BC【分析】根据条件可得，进而可判断ABC，然后利用向量数量积的概念可判断D.【详解】因为，，所以，故A错误，B正确，C正确；所以，故D错误.故选：BC.11．对于两个向量和，下列命题中错误的是（

）A．若，满足，且与同向，则 B．C． D．【答案】ACD【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的运算公式，逐项运算，即可求解.【详解】对于A中，向量是既有大小，又有方向的量，所以向量不能比较大小，所以A不正确；对于B中，由，又由，因为，所以成立，所以B正确；对于C中，，所以C不正确；对于D中，，所以，所以D不正确.故选：ACD.12、设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))－3eq\o(AB,\s\up6(→))，则点M，B，C三点共线C．若点M是△ABC的重心，则eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋y