高考数学 一轮复习讲义 两角和与差的正弦、余弦和正切公式二倍角公式 -答案

两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式课前必备知识课标要求1.经历推导两角差的余弦公式，知道两角差的余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用三角函数公式进行简单的恒等变换．知识梳理1．两角和与差的余弦C(α±β)cos(α＋β)＝__cos_αcos_β－sin_αsin_β__．cos(α－β)＝__cos_αcos_β＋sin_αsin_β__．2．两角和与差的正弦S(α±β)sin(α＋β)＝__sin_αcos_β＋cos_αsin_β__．sin(α－β)＝__sin_αcos_β－cos_αsin_β__．3．两角和与差的正切T(α±β)tan(α＋β)＝__eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)__．tan(α－β)＝__eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)__．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝__2sin_αcos_α__；cos2α＝__cos2α－sin2α__＝1－__2sin2α__＝__2cos2α__－1；tan2α＝__eq\f(2tanα,1－tan2α)__．常用结论1．辅助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).2．T(α±β)的常用变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ).tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ).课前训练1．(教材母题必修5.5.1练习T3改编)已知sin(α－eq\f(π,2))＝2sinα，则tan2α＝()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C．eq\f(16,5) D．eq\f(1,2)解析：A由sin(α－eq\f(π,2))＝－cosα＝2sinα，可得tanα＝－eq\f(1,2)，故tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(4,3).故选A.2．(2025·广东肇庆阶段练习)cos50°cos70°＋sin50°cos160°＝()A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)解析：C原式＝cos50°cos70°＋sin50°cos(90°＋70°)＝cos50°cos70°－sin50°sin70°＝cos(50°＋70°)＝cos120°＝－eq\f(1,2).故选C.3．(教材母题必修5.5.1练习T2改编)若sin(eq\f(5π,4)＋θ)＝－eq\f(3,5)，则sin2θ＝()A．eq\f(7,25) B．eq\f(1,5)C．－eq\f(1,5) D．－eq\f(7,25)解析：D由sin(eq\f(5π,4)＋θ)＝－eq\f(3,5)，可得sin(eq\f(π,4)＋θ)＝eq\f(3,5)，所以sin2θ＝－cos(2θ＋eq\f(π,2))＝2sin2(θ＋eq\f(π,4))－1＝eq\f(18,25)－1＝－eq\f(7,25).故选D.4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝()A．－3mB．－eq\f(m,3)C．eq\f(m,3) D．3m解析：A因为cos(α＋β)＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m，而tanαtanβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosαcosβ＝－m，从而sinαsinβ＝－2m，故cos(α－β)＝－3m，故选A.5．(教材母题必修复习参考题5T12)tan10°＋tan50°＋eq\r(3)tan10°tan50°＝________.解析：eq\r(3)因为tan60°＝tan(10°＋50°)＝eq\f(tan10°＋tan50°,1－tan10°tan50°)，所以tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝eq\r(3)－eq\r(3)tan10°tan50°，所以原式＝eq\r(3)－eq\r(3)tan10°tan50°＋eq\r(3)tan10°tan50°＝eq\r(3).

课堂核心考点考点1两角和与差公式及应用【例1】(1)eq\f(cos15°＋sin15°,cos15°－sin15°)＝()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3)D．－eq\r(3)(2)已知α，β均为锐角，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，sin(β＋eq\f(π,3))＝eq\f(4,5)，则cos(α－eq\f(π,3))＝()A．eq\f(33,65)B．－eq\f(33,65)C．eq\f(63,65)D．eq\f(33,65)或eq\f(63,65)(3)(2024·河南三模)若sin(α－β)＝eq\f(1,6)，且tanα＝2tanβ，则sin(α＋β)＝()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,2)解析：(1)B原式＝eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝eq\f(tan45°＋tan15°,1－tan45°tan15°)＝tan(45°＋15°)＝eq\r(3)，故选B.(2)C因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，β＋eq\f(π,3)∈(eq\f(π,3)，eq\f(5π,6))，所以sin(α＋β)>0，cos(β＋eq\f(π,3))∈(－eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，因为cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，所以sin(α＋β)＝eq\f(12,13)，又因为sin(β＋eq\f(π,3))＝eq\f(4,5)，所以cos(β＋eq\f(π,3))＝－eq\f(3,5)(eq\f(3,5)舍去)，所以cos(α－eq\f(π,3))＝cos[(α＋β)－(β＋eq\f(π,3))]＝cos(α＋β)cos(β＋eq\f(π,3))＋sin(α＋β)sin(β＋eq\f(π,3))＝－eq\f(5,13)×(－eq\f(3,5))＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).故选C.(3)D因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(1,6)，又tanα＝2tanβ，即eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(2sinβ,cosβ)，则sinαcosβ＝2cosαsinβ，所以sinαcosβ＝eq\f(1,3)，cosαsinβ＝eq\f(1,6)，故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2).故选D.在三角函数的求值、化简时，注意观察函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变换．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是在角的范围内根据函数值，确定角的值，避免增解．在进行简单的三角恒等变换时，既要注意公式“正用”，又要注意公式“逆用”．变式探究1．(教材母题必修复习参考题5T15)已知cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，sinα－sinβ＝eq\f(1,3)，则cos(α－β)＝________.解析：eq\f(59,72)由cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，sinα－sinβ＝eq\f(1,3)，得(cosα－cosβ)2＝eq\f(1,4)，(sinα－sinβ)2＝eq\f(1,9)，所以cos2α＋cos2β＋sin2α＋sin2β－2(cosαcosβ＋sinα·sinβ)＝eq\f(13,36)，即2－2cos(α－β)＝eq\f(13,36)⇒cos(α－β)＝eq\f(59,72).2．(2024·江西九江三模)若2sin(α＋eq\f(π,3))＝cos(α－eq\f(π,3))，则tan(α－eq\f(π,6))＝()A．－4－eq\r(3) B．－4＋eq\r(3)C．4－eq\r(3) D．4＋eq\r(3)解析：C令β＝α－eq\f(π,6)，则α＝β＋eq\f(π,6)，所以由2sin(α＋eq\f(π,3))＝cos(α－eq\f(π,3))，得2sin(β＋eq\f(π,2))＝cos(β－eq\f(π,6))，即2cosβ＝eq\f(\r(3),2)cosβ＋eq\f(1,2)sinβ，即sinβ＝(4－eq\r(3))cosβ，得tanβ＝4－eq\r(3)，所以tan(α－eq\f(π,6))＝tanβ＝4－eq\r(3)，故选C.3．若0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，sin(eq\f(π,3)－eq\f(α,2))＝eq\f(\r(5),5)，cos(eq\f(β,2)－eq\f(π,3))＝eq\f(4,5)，则coseq\f(α－β,2)＝()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(11\r(5),25)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(7\r(5),25)解析：B因为0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，所以eq\f(π,12)<eq\f(π,3)－eq\f(α,2)<eq\f(π,3)，－eq\f(π,3)<eq\f(β,2)－eq\f(π,3)<－eq\f(π,12).因为sin(eq\f(π,3)－eq\f(α,2))＝eq\f(\r(5),5)，所以cos(eq\f(π,3)－eq\f(α,2))＝eq\f(2\r(5),5).因为cos(eq\f(β,2)－eq\f(π,3))＝eq\f(4,5)，所以sin(eq\f(β,2)－eq\f(π,3))＝－eq\f(3,5).所以coseq\f(α－β,2)＝cos[(eq\f(β,2)－eq\f(π,3))＋(eq\f(π,3)－eq\f(α,2))]＝cos(eq\f(β,2)－eq\f(π,3))cos(eq\f(π,3)－eq\f(α,2))－sin(eq\f(β,2)－eq\f(π,3))·sin(eq\f(π,3)－eq\f(α,2))＝eq\f(4,5)×eq\f(2\r(5),5)－(－eq\f(3,5))×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(11\r(5),25).故选B.考点2二倍角公式及应用【例2】(1)已知α∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,5)，则sin(2α＋eq\f(π,3))＝()A．eq\f(\r(6),5) B．eq\f(2\r(6),5)C．eq\f(4\r(6),25) D．－eq\f(4\r(6),25)(2)(2024·辽宁一模)若tan2α＝eq\f(4,3)，则eq\f(2＋2cos2α－3sin2α,1－cos2α)＝()A．－eq\f(1,2)或2 B．－2或eq\f(1,2)C．2 D．－eq\f(1,2)(3)已知α，β均为锐角，cosα＝eq\f(2\r(7),7)，sinβ＝eq\f(3\r(3),14)，则cos2α＝________，2α－β＝________．解析：(1)C由α∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，可得α＋eq\f(π,6)∈(－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3))，又cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,5)<eq\f(1,2)＝coseq\f(π,3)，所以α＋eq\f(π,6)∈(eq\f(π,3)，eq\f(2π,3))，所以sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\r(1－(\f(1,5))2)＝eq\f(2\r(6),5)，所以sin(2α＋eq\f(π,3))＝2sin(α＋eq\f(π,6))cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4\r(6),25).故选C.(2)Ctan2α＝eq\f(4,3)⇒eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(4,3)⇒tanα＝eq\f(1,2)或－2，eq\f(2＋2cos2α－3sin2α,1－cos2α)＝eq\f(2＋2(2cos2α－1)－6sinαcosα,1－(1－2sin2α))＝eq\f(4cos2α－6sinαcosα,2sin2α)＝eq\f(2－3tanα,tan2α)，代入tanα求得值均为2.故选C.(3)eq\f(1,7)eq\f(π,3)因为cosα＝eq\f(2\r(7),7)，所以cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(1,7).又因为α，β均为锐角，sinβ＝eq\f(3\r(3),14)，所以sinα＝eq\f(\r(21),7)，cosβ＝eq\f(13,14)，因此sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(4\r(3),7)，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(13,14)－eq\f(1,7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2).因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos2α>0，所以0<2α<eq\f(π,2)，又β为锐角，所以－eq\f(π,2)<2α－β<eq\f(π,2)，又sin(2α－β)＝eq\f(\r(3),2)，所以2α－β＝eq\f(π,3).三角函数式的恒等变换要注意以下三点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”．变式探究4．已知α∈(eq\f(π,3)，eq\f(5π,6))，且sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,3)，则cos(2α－eq\f(π,6))＝()A．－eq\f(8,9) B．－eq\f(4\r(2),9)C．eq\f(4\r(2),9) D．eq\f(8,9)解析：B因为α∈(eq\f(π,3)，eq\f(5π,6))，所以α＋eq\f(π,6)∈(eq\f(π,2)，π)，则cos(α＋eq\f(π,6))＝－eq\r(1－sin2(α＋\f(π,6)))＝eq\f(－2\r(2),3)，因为2(α＋eq\f(π,6))－(2α－eq\f(π,6))＝eq\f(π,2)，所以cos(2α－eq\f(π,6))＝cos[2(α＋eq\f(π,6))－eq\f(π,2)]＝sin[2(α＋eq\f(π,6))]＝2sin(α＋eq\f(π,6))cos(α＋eq\f(π,6))＝2×eq\f(1,3)×(－eq\f(2\r(2),3))＝－eq\f(4\r(2),9)，故选B.5．已知tanα＝－3，则sin2α－2cos2α＝()A．－eq\f(1,2) B．－1C．1 D．2解析：C因为tanα＝－3，所以sin2α－2cos2α＝2sinαcosα－2cos2α＋2sin2α＝eq\f(2sinαcosα－2cos2α＋2sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(2tanα－2＋2tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(2×(－3)－2＋2×(－3)2,1＋(－3)2)＝1.故选C.6．已知α，β为锐角，tan(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,3)，tan(eq\f(π,12)－β)＝eq\f(1,2)，则tan(α＋2β)＝()A．－eq\f(9,13)B．－eq\f(13,9)C．eq\f(13,9)D．eq\f(9,13)解析：A因为tan(eq\f(π,6)－2β)＝tan[2(eq\f(π,12)－β)]＝eq\f(2tan(\f(π,12)－β),1－tan2(\f(π,12)－β))＝eq\f(1,1－\f(1,4))＝eq\f(4,3)，所以tan(α＋2β)＝tan[(α＋eq\f(π,6))－(eq\f(π,6)－2β)]＝eq\f(tan(α＋\f(π,6))－tan(\f(π,6)－2β),1＋tan(α＋\f(π,6))tan(\f(π,6)－2β))＝eq\f(\f(1,3)－\f(4,3),1＋\f(1,3)×\f(4,3))＝－eq\f(9,13).故选A.考点3三角公式的综合运用【例3】(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝eq\f(1,3)，cosαsinβ＝eq\f(1,6)，则cos(2α＋2β)＝()A．eq\f(7,9) B．eq\f(1,9)C．－eq\f(1,9) D．－eq\f(7,9)(2)(2024·辽宁丹东二模)已知sinα＋sin(α＋eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),3)，则cos(2α＋eq\f(π,3))＝()A．eq\f(7,9)B．－eq\f(7,9)C．eq\f(2,9)D．－eq\f(2,9)(3)已知3cos2α－4sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0，且α为锐角，则sinα＝()A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(7,9)D．eq\f(\r(7),3)解析：(1)B因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(1,3)，而cosαsinβ＝eq\f(1,6)，因此sinαcosβ＝eq\f(1,2)，则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(2,3)，所以cos(2α＋2β)＝cos[2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×(eq\f(2,3))2＝eq\f(1,9).故选B.(2)A(方法1)由sinα＋sin(α＋eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),3)，得sin[(α＋eq\f(π,6))－eq\f(π,6)]＋sin[(α＋eq\f(π,6))＋eq\f(π,6)]＝eq\f(\r(3),3)，得sin(α＋eq\f(π,6))coseq\f(π,6)－cos(α＋eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＋sin(α＋eq\f(π,6))·coseq\f(π,6)＋cos(α＋eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，得eq\r(3)sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),3)，所以sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,3)，所以cos(2α＋eq\f(π,3))＝1－2sin2(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(7,9).故选A.(方法2)将sinα＋sin(α＋eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),3)展开得sinα＋sinαcoseq\f(π,3)＋cosαsineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),3)，整理得eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＝eq\f(1,3)，即sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,3)，所以cos(2α＋eq\f(π,3))＝1－2sin2(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(7,9).故选A.(3)A由3cos2α－4sin2β＝1，及sin2β＝eq\f(1－cos2β,2)得3cos2α＋2cos2β＝3，①由3sin2α－2sin2β＝0，得(3sin2α－2sin2β)(3sin2α＋2sin2β)＝0，则9sin22α－4sin22β＝0，从而有9cos22α－4cos22β＝5，得(3cos2α－2cos2β)(3cos2α＋2cos2β)＝5，得3cos2α－2cos2β＝eq\f(5,3).②由①②解得cos2α＝eq\f(7,9)，则1－2sin2α＝eq\f(7,9)，因为α为锐角，所以sinα＝eq\f(1,3).故选A.(1)三角函数式的变形要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．变式探究7．(2025·四川绵阳阶段练习)已知x∈[0，eq\f(π,4)]，sinx＋cosx＝eq\f(3\r(5),5)，则tan(x－eq\f(3π,4))＝________．解析：3sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(3\r(5),5)，故sin(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(3\r(10),1