辽宁省抚顺市六校协作体2025-2026学年高二上学期期末联考数学试题

辽宁省抚顺市六校协作体2025-2026学年高二上学期期末联考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册至选择性必修第二册第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点到轴距离为（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根据空间直角坐标系中任意一点到轴的距离公式计算即可.【详解】因为点，所以点到轴的距离为.故选：B2.已知是双曲线的一条渐近线，则的倾斜角可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线方程求解渐近线方程，进而求解倾斜角即可.【详解】双曲线的渐近线方程为，则的倾斜角为或.故选：D3.某羽毛球比赛结束，1名教练和3名学员站成一排拍照留念，其中教练不站在两边的排法种数为（）A.8 B.12 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】求出4人随机站成一排的全排列数，然后求教练站两边的排列数，两数相减即可.【详解】1名教练和3名学员站成一排，有种站法，其中教练站两边有种站法，所以教练不站在两边的排法种数为.故选：B4.过圆上一点作圆的切线，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，从而得，写出直线的点斜式方程，再化成一般式即可.【详解】圆的圆心为，则直线的斜率，因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即，所以，则切线的斜率，所以直线的方程为，即.故选：C.5.已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】利用向量法求解即可.【详解】由题意知，所以点到平面的距离.故选：A.6.已知点关于直线对称的点恰好在轴上，则的值是（）A. B.0 C.1 D.无法确定的【答案】C【解析】【分析】本题考查的是点关于直线的对称问题，解题的核心是利用“对称轴是对称点连线的垂直平分线”这一性质，通过两个关键条件建立方程求解.【详解】因为点在轴上，故设（为实数），因为直线的斜率为−1，直线与直线垂直，故两直线的斜率乘积为.则直线的斜率为，即.因为点与点的中点为，该点在直线上，所以代入可得：通过两个关键条件建立方程:，化简可得，所以.故选：C7.设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】根据题意，由抛物线的定义代入计算，即可得到结果.【详解】由题可知的坐标为的准线的方程为，由抛物线的定义可知|MF|等于到的距离，所以的最小值为到的距离，即最小值为.故选：D8.给如图所示的六块区域，，，，，涂色，有四种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法种数是（）A.192 B.168 C.224 D.208【答案】A【解析】【分析】利用分步乘法计数：先给，，三块区域涂色，再给区域涂色，然后给区域涂色，最后给区域涂色，即可求解.【详解】第一步，给，，三块区域涂色，有种涂色方法；第二步，给区域涂色，有种涂色方法；第三步，给区域涂色，有种涂色方法；第四步，给区域涂色，有种涂色方法，综上，不同的涂色方法种数是，故A正确.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，直三棱柱的所有棱长均为1，E，F分别为的中点，则（）A.B.C.在平面上的投影向量的模长为D.在上的投影向量为【答案】AC【解析】【分析】选项A，通过向量线性运算将分解为、、，再转化为、、的线性组合，判断表达式是否正确.选项B，将与用已知向量表示，通过向量运算计算结果，判断是否符合.选项C，作垂线确定在平面上的投影向量，计算该投影向量的模长，判断是否正确.选项D，作垂线确定在上的投影向量，计算投影向量，判断是否符合.【详解】，A正确；，B错误；过作，垂足为，易知，根据直三棱柱的性质可知，因为平面，所以平面，过作，垂足为，易知，同理可得平面，即在平面上的投影向量为，，C正确；过作，垂足为，易知，过作，垂足为，易知，即在上的投影向量为，D错误.故选：AC10.下列说法正确的是（）A.将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是B.将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是C.将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是D.将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是【答案】ABD【解析】【分析】利用分步计数原理判断选项A；结合组合数的定义判断选项B；利用捆绑分组法判断选项C；由平均分组分配法判断选项D.【详解】对于A，将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数是，A选项正确；对于B，将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，则需要在6个盒子选出5个放入小球，不同的放法种数是，B选项正确；对于C，将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，将其中2个球捆绑在一起，与另两个球分别放入3个盒子中，不同的放法种数是，C选项错误对于D，将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，把6个球平均分成3组，再分别放入3个盒子中，不同的放法种数是，D选项正确.故选：ABD.11.已知曲线与直线，则下列结论正确的是（）A.若，则被曲线截得的线段长度为B.若与没有公共点，则的取值范围为C.若与的公共点有且只有一个，则的取值范围为D.若与没有公共点且上到的距离为2的点有且只有2个，则的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项，首先判断直线与曲线的位置关系，并通过直线与圆的弦长公式进行求解即可；对于B选项，利用圆心到直线的距离大于半径即可判断选项正误；对于C、D选项，通过圆心到直线的距离与半径的关系即可判断选项的正误.【详解】对于A选项，由，得，所以曲线是圆心为原点的半圆.当时，易得与相交，因为到的距离为，所以被曲线截得的线段长度为，A正确.对于B选项，若与没有公共点，则到的距离为，B正确.对于C选项，当与相切时，.由，得.当与相交时，，得.故的取值范围为，C错误.对于D选项，当与没有公共点且上到的距离为2的点有且只有2个时，且点到的距离为，得（当时，与有公共点，舍去），D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则满足的所有的和为___________.【答案】5【解析】【分析】利用组合数的性质解组合数方程即可.【详解】由组合数的性质可得，解得，又，则或，解得或，故满足的所有的和为.故答案为：513.已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与的左支交于A，B两点，且周长的最小值为8a，则的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】首先得到的周长的表达式为，分析出当时，取得最小值，进而得到的关系，即可求出离心率.【详解】的周长为.因为周长的最小值为8a，所以可得的最小值为.因为直线过点，所以当时，取得最小值.令，得，则，解得.故的离心率为.故答案为：14.某操场的正前方有两根高度均为、相距6m的旗杆AB，CD（两根旗杆都与地面垂直）.有一条10m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部B，D处，中间某处系在地面的点，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内，假定这条绳子的长度没有改变，则__________m.【答案】【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义可以得到其标准方程，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为，所以的轨迹是焦点为B，D，长轴长为10，短轴长为的椭圆.如图，以直线BD为轴，BD的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.易得该椭圆的方程为.当时，，得，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）已知圆，求圆与圆的公共弦的方程以及公共弦的长.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先求出线段的中垂线方程，然后再与直线联立可求得圆心，再求出半径，即可求解；（2）将圆与圆的方程相减，得公共弦的方程为，再利用垂径定理可求公共弦的弦长.【小问1详解】由题可知直线的斜率为，线段的中点坐标为，线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上，又圆心在直线上，由，得，所以圆心，又，所以圆的方程为.【小问2详解】将圆与圆的方程相减，得公共弦的方程为，所以圆心到直线的距离，又圆的半径，所以由圆的弦长公式得.故公共弦的方程为；公共弦的长为.16.如图，已知四边形是直角梯形，，平面，，是的中点.（1）证明：（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）以为原点，AD，AB，AS所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法证明即可；（2）结合（1）建立的空间直角坐标系，利用坐标法求解直线与平面所成角即可.【小问1详解】以为原点，AD，AB，AS所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则，.，则，所以.【小问2详解】在平面中，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以.设直线与平面所成角为，所以所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知.（1）若，求的值.（2）已知展开式的所有二项式系数之和为256.（i）若，求的值；（ii）若，且，求的取值范围.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）通过赋值法，结合已知条件列方程，求解的值.（2）（i）先由二项式系数之和的性质求出，再利用二项展开式的通项公式写出的表达式，列方程求解的值.（ii）根据是展开式中最大的系数，列出不等式，解不等式得到的取值范围.小问1详解】令，则，令，则，所以，故.【小问2详解】由二项式系数之和为，得，解得.（i）为展开式中的系数，即.计算，故，得，即.（ii）当时，展开式中第项的系数为（）.计算相邻两项系数的比值：，，要使（），需为系数序列的最大值，满足：①.序列递增到：对，，即，此时对，，故，满足.②.序列递减自：对，，即，此时对，，故，满足.综上所述，的取值范围是.18.已知动圆经过点，且与直线相切，记圆的圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程.（2）已知过点的直线与交于A，B两点.（i）若，求的方程；（ii）证明：点在以AB为直径的圆外.【答案】（1）；（2）（i）或；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义写出抛物线方程；（2）（i）设，联立抛物线并应用韦达定理和抛物线的定义及弦长列方程求参数值，即可得直线方程；（ii）由题设，应用向量数量积的坐标表示，代入韦达公式判断是否成立，即可证.【小问1详解】动点到的距离等于到直线的距离，则是焦点为，准线为的抛物线，所以的方程为.【小问2详解】由题意知的斜率不为0，设，由，得，则，（i）由，得，所以，即的方程为或.（ii），因为，所以，则，故点在以AB为直径的圆外.19.如图1，分别是椭圆的左、右焦点，过点作直线，与交于，两点，且的周长为，.（1）求的方程；（2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为.（i）若直线的斜率为，求；（ii）求三棱锥体积的最大值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根据焦点三角形的周长与椭圆的定义即可求解；（2）（i）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系得到，，的值，然后利用空间向量的加法法则将向量表示成，