§3.5　二次函数的综合应用

中考数学

§3.5二次函数的综合应用考点一抛物线与线段长、面积、角度1.(2020新疆,23,13分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),将

OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与△OAB的边分别交于M,N两点,

将△AMN以直线MN为对称轴翻折,得到△A'MN.设点P的纵坐标为m.①当△A'MN在△OAB内部时,求m的取值范围;②是否存在点P,使S△A'MN=

S△OA'B?若存在,求出满足条件的m的值;若不存在,请说明理由.

解析(1)过点A作AD⊥y轴,垂足为点D,过点B作BE⊥x轴,垂足为点E.则∠ODA=∠OEB=90°,由旋转的性质可得OA=OB,∠AOB=90°,∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°,∴∠AOD=∠BOE,

在△AOD和△BOE中,

∴△AOD≌△BOE(AAS),∴OD=OE,AD=BE,∵A(1,3),∴BE=AD=1,OD=OE=3,∴点B的坐标为(3,-1),∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),∴y=a(x-1)2+3,把B(3,-1)代入,解得a=-1,∴y=-(x-1)2+3,∴y=-x2+2x+2.(2)①抛物线的对称轴为x=1,A(1,3),P(1,m),根据翻折可知AP=A'P,则A'(1,2m-3),由B(3,-1)可求得直线OB的解析式为y=-

x,则C

,∴-

<2m-3<3,解得

<m<3.②存在.由A(1,3)和B(3,-1)可求得直线OA和AB的解析式分别为y=3x和y=-2x+5.情况一:当

<m<3时,如图所示.

M

,N

,∴MN=

-

=

=

.∴S△A'MN=S△AMN=

·MN·AP=

·

·(3-m)=

.∵C

,∴A'C=2m-

,∴S△OA'B=S△OA'C+S△BA'C=

·A'C·xC+

·A'C·(xB-xC)=

×A'C×3=

×

×3=3m-4.∵S△A'MN=

S△OA'B,∴

=

,∴m1=6+

(舍去),m2=6-

,∴m=6-

.情况二:当0≤m<

时,如图所示.

由情况一得S△A'MN=

.∵C

,∴A'C=

-2m,∴S△OA'B=S△OA'C+S△BA'C=

A'C×3=

×

×3=4-3m.∵S△A'MN=

S△OA'B,∴

=

,∴m2+1=0,无解.情况三:当-

<m<0时,如图所示.

M(-3m,m),N

,∴MN=

,∴S△A'MN=S△AMN=

·MN·AP=

·

·(3-m)=

.由情况二得S△OA'B=4-3m,∵S△A'MN=

S△OA'B,∴

=

,∴m1=

(舍去),m2=

,∴m=

.综上所述,m的值是6-

或

.解后反思本题考查了二次函数、旋转与翻折变换,综合性较强,计算能力要求较高.在分析、解决问题

时,要注意挖掘已知条件,充分利用图形变换的性质解题.(2)的②中涉及分类讨论,在处理用含m的代数式

表示点坐标、线段长度和三角形面积时要细心.2.(2020山西,23,13分)如图,抛物线y=

x2-x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A,D两点,与y轴交于点E,点D的坐标为(4,-3).(1)请直接写出A,B两点的坐标及直线l的函数表达式;(2)若点P是抛物线上的点,点P的横坐标为m(m≥0),过点P作PM⊥x轴,垂足为M,PM与直线l交于点N,当点

N是线段PM的三等分点时,求点P的坐标;(3)若点Q是y轴上的点,且∠ADQ=45°,求点Q的坐标.

解析(1)A(-2,0),B(6,0),直线l的函数表达式为y=-

x-1.

(3分)详解:令

x2-x-3=0,得x2-4x-12=0,∴(x-6)(x+2)=0,∴x1=-2,x2=6.∴A(-2,0),B(6,0).设直线l的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把A(-2,0),D(4,-3)代入得

解得

∴直线l的函数表达式为y=-

x-1.(2)如图,根据题意可知,点P与点N的坐标分别为P

,N

.

PM=

=-

m2+m+3,MN=

=

m+1.NP=

-

=-

m2+

m+2.分两种情况:①当PM=3MN时,得-

m2+m+3=3

.

(4分)解得m1=0,m2=-2(舍去).当m=0时,

m2-m-3=-3.∴点P的坐标为(0,-3).

(5分)②当PM=3NP时,得-

m2+m+3=3

.

(6分)解得m1=3,m2=-2(舍去).当m=3时,

m2-m-3=-

.∴点P的坐标为

.∴当点N是线段PM的三等分点时,点P的坐标为(0,-3)或

.

(7分)(3)∵直线y=-

x-1与y轴交于点E,∴点E的坐标为(0,-1).分两种情况:①如图,当点Q在y轴正半轴上时,记为点Q1.过点Q1作Q1H⊥直线l,垂足为H,则∠Q1HE=∠AOE=90°,∵∠Q1EH=∠AEO,∴△Q1HE∽△AOE.∴

=

.即

=

.∴Q1H=2HE.

(8分)又∵∠Q1DH=45°,∠Q1HD=90°,∴∠HQ1D=∠Q1DH=45°.∴DH=Q1H=2HE.∴HE=ED. (9分)连接CD,∵点C的坐标为(0,-3),点D的坐标为(4,-3),∴CD⊥y轴.∴ED=

=

=2

.∴HE=2

,Q1H=4

.∴Q1E=

=

=10.∴OQ1=Q1E-OE=10-1=9,∴点Q1的坐标为(0,9). (10分)②如图,当点Q在y轴负半轴上时,记为点Q2.过点Q2作Q2G⊥直线l,垂足为G.则∠Q2GE=∠AOE=90°,

∵∠Q2EG=∠AEO,∴△Q2GE∽△AOE.∴

=

.即

=

.∴Q2G=2EG.

(11分)又∵∠Q2DG=45°,∠Q2GD=90°,∴∠DQ2G=∠Q2DG=45°.∴DG=Q2G=2EG.∴ED=EG+DG=3EG. (12分)由①可知,ED=2

.∴3EG=2

.∴EG=

.∴Q2G=

.∴EQ2=

=

=

.∴OQ2=OE+EQ2=1+

=

.∴点Q2的坐标为

.∴点Q的坐标为(0,9)或

.

(13分)方法总结与二次函数有关的解答题中涉及线段长度或最值问题时一般采用坐标法,就是以坐标系为

桥梁,通过坐标把线段转化成代数问题,通过代数运算解决问题,同时注意分类讨论思想的应用.难点突破本题第(3)问注意分类讨论.当点Q在y轴正半轴上时,记作Q1,作Q1H⊥直线l于H,构造△Q1HE

∽△AOE;当点Q在y轴负半轴上时,记作Q2,作Q2G⊥直线l于G,构造△Q2GE∽△AOE.然后根据相似比和

勾股定理进行解答.3.(2020海南,22,15分)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,0)和点B(2,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P是该抛物线上的动点,且位于y轴的左侧.①如图1,过点P作PD⊥x轴于点D,作PE⊥y轴于点E,当PD=2PE时,求PE的长;②如图2,该抛物线上是否存在点P,使得∠ACP=∠OCB?若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明

理由.解析(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,0)、B(2,0),∴

(2分)解得

(4分)∴抛物线的函数表达式为y=x2+x-6. (5分)(2)①设PE=t(t>0),则PD=2t,因为点P是抛物线上的动点且位于y轴左侧,当点P在x轴上时,点P与A重合,不合题意,故舍去,因此分为以

下两种情况讨论:i.如图1,当点P在第三象限时,点P的坐标为(-t,-2t),则t2-t-6=-2t,即t2+t-6=0, (6分)解得t1=2,t2=-3(舍去),∴PE=2. (7分)

ii.如图2,当点P在第二象限时,点P的坐标为(-t,2t),则t2-t-6=2t,即t2-3t-6=0, (8分)解得t1=

,t2=

(舍去),∴PE=

.

(9分)综上所述,PE的长为2或

.

(10分)②存在点P,使得∠ACP=∠OCB.当x=0时,y=-6,∴C(0,-6),∴OC=6.在Rt△AOC中,AC=

=

=3

,过点A作AH⊥AC,交直线CP于点H,则∠CAH=∠COB,又∠ACP=∠OCB,∴△CAH∽△COB,∴

=

=

=

,

(11分)过点H作HM⊥x轴于点M,则∠HMA=∠AOC,∵∠MAH+∠OAC=90°,∠OAC+∠OCA=90°,∴∠MAH=∠OCA,∴△HMA∽△AOC,∴

=

=

,即

=

=

,∴MH=1,MA=2. (12分)i.如图3,当点P在第三象限时,点H的坐标为(-5,-1),

图3由H(-5,-1)和C(0,-6)得直线CP的解析式为y=-x-6,于是有x2+x-6=-x-6,即x2+2x=0,解得x1=-2,x2=0(舍去),∴点P的坐标为(-2,-4).

(13分)ii.如图4,当点P在第二象限时,点H的坐标为(-1,1),

图4由H(-1,1)和C(0,-6)得直线CP的解析式为y=-7x-6,于是有x2+x-6=-7x-6,即x2+8x=0,解得x1=-8,x2=0(舍去),∴点P的坐标为(-8,50). (14分)综上所述,点P的坐标为(-2,-4)或(-8,50). (15分)解后反思对于(2)中的②,由点A,B,C的坐标易得OB∶OC=1∶3及AC的长.过点A作AH⊥AC,过点H作

HM⊥x轴于点M,分点P在第二象限和第三象限两种情况,易得△HMA∽△AOC,进而求出点H的坐标,这

样便可得到直线CP的解析式,联立直线的解析式和抛物线的解析式求出点P的坐标即可.4.(2019湖北武汉,24,12分)已知抛物线C1:y=(x-1)2-4和C2:y=x2.(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?(2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=-

x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B,请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q,连接AQ.①若AP=AQ,求点P的横坐标;②若PA=PQ,直接写出点P的横坐标;(3)如图2,△MNE的顶点M,N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME,NE与抛物线C2均有唯一公共点,

ME,NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2,设M,N两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量关系.解析(1)将C1先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到C2.或将C1先向上平移4个单位长度,再向左平移1个单位长度得到C2.(2)①如图,设直线AB与y轴交于点D,延长AQ交y轴于点D',∵C1:y=(x-1)2-4,∴A(3,0),∵直线y=-

x+b经过A(3,0),∴b=4,∴D(0,4),则易知D'(0,-4),∴直线AD'的解析式为y=

x-4,由

得x1=3,x2=

,∴xQ=

,∴xP=xQ=

,∴点P的横坐标为

.

②点P的横坐标为-

.详解:由

得x1=-

,x2=3,故B

.设点P的横坐标为a

,∵点P在线段AB上,∴点P的坐标为

,∵点Q在抛物线C1上,∴点Q的坐标为(a,a2-2a-3).∴PQ2=

,又∵PA=PQ,∴PA2=(a-3)2+

=

,∴(a-3)2=(a-3)(a+1)(a-3)

,又∵a≠3,∴(a+1)

=1,∴

(a+4)=0,∴a1=-

,a2=-4(舍),∴点P的横坐标为-

.(3)∵C2:y=x2,∴M(m,m2),N(n,n2),设直线ME的解析式为y=kx+t,∵M(m,m2),∴t=m2-km,由

得x2-kx+km-m2=0,依题意有Δ=k2-4(km-m2)=0,∴k=2m,∴直线ME的解析式为y=2mx-m2,同理,直线NE的解析式为y=2nx-n2,由

得E

,∵M(m,m2),N(n,n2),∴直线MN的解析式为y=(m+n)x-mn,过E作EF∥y轴交MN于点F,则F

,∴EF=

-mn=

(m-n)2,∴S△MNE=

(m-n)·

(m-n)2=

(m-n)3=2,∴m-n=2.∴m与n的数量关系为m-n=2.

5.(2019吉林,26,10分)如图,抛物线y=(x-1)2+k与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(0,-

3),P为抛物线上一点,横坐标为m,且m>0.(1)求此抛物线的解析式;(2)当点P位于x轴下方时,求△ABP面积的最大值;(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h.①求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围;②当h=9时,直接写出△BCP的面积.

解析(1)把(0,-3)代入y=(x-1)2+k,得-3=(0-1)2+k,解得k=-4.所以此抛物线的解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.(2)令y=0,得(x-1)2-4=0,解得x1=-1,x2=3.所以A(-1,0),B(3,0),所以AB=4.解法一:由(1)知,抛物线顶点坐标为(1,-4).由题意知,当点P位于抛物线顶点时,△ABP的面积取得最大值,最大值为

×4×4=8.解法二:由题意,得P(m,m2-2m-3),所以S△ABP=

×4×(-m2+2m+3)=-2m2+4m+6=-2(m-1)2+8.所以当m=1时,S△ABP有最大值8.(3)①当0<m≤1时,h=-3-(m2-2m-3)=-m2+2m;当1<m≤2时,h=-3-(-4)=1;当m>2时,h=m2-2m-3-(-4)=m2-2m+1.②△BCP的面积为6.提示:当h=9时,即m2-2m+1=9,解得m1=4,m2=-2(舍).所以点P的坐标为(4,5),可求得△BCP的面积为6.6.(2019贵州贵阳,24,12分)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线

x=1对称,点A的坐标为(-1,0).(1)求二次函数的表达式;(2)连接BC,若点P在y轴上时,BP和BC的夹角为15°,求线段CP的长度;(3)当a≤x≤a+1时,二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a的值.

(备用图)解析(1)∵二次函数图象的对称轴是直线x=1,∴-

=1,∴b=-2,将(-1,0)代入y=x2-2x+c中,解得c=-3.∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3.(2)∵A(-1,0),抛物线的对称轴是直线x=1,∴B(3,0),又∵当x=0时,y=-3,∴C(0,-3),∴OB=OC,∴∠OBC=45°.①当点P在点C上方P1的位置时,如图,∵∠P1BC=15°,∴∠P1BO=30°,在Rt△P1BO中,OP1=OBtan30°=

,∴CP1=3-

.②当点P在点C下方P2的位置时,如图,∵∠P2BC=15°,∴∠P2BO=60°,在Rt△P2BO中,OP2=OBtan60°=3

,∴CP2=3

-3.综上所述,CP的长为3-

或3

-3.

(3)①当a+1<1,即a<0时,y随x增大而减小,当x=a+1时,y=x2-2x-3取最小值2a,∴2a=(a+1)2-2(a+1)-3,解得a1=1+

,a2=1-

,∵a<0,∴a=1-

.②当a≤1≤a+1,即0≤a≤1时,当x=1时,y=x2-2x-3取最小值-4,即2a=-4,a=-2,∵0≤a≤1,∴a=-2不合题意,舍去.③当a>1时,y随x增大而增大,当x=a时,y=x2-2x-3取最小值2a,∴2a=a2-2a-3,解得a1=2+

,a2=2-

,∵a>1,∴a=2+

.综上,a=1-

或a=2+

.思路分析(1)先根据对称轴方程得出b的值,然后代入点A的坐标,求出c的值,即得二次函数解析式;(2)分点P在点C上方和下方两种情况,先求出∠OBP的度数,再利用三角函数求出OP的长,从而得出CP的

长度;(3)分a+1<1,a≤1≤a+1,a>1三种情况讨论,结合二次函数的性质求解可得.解题关键本题是二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运

用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用.考点二抛物线与特殊三角形、特殊四边形1.(2020湖北武汉,24,12分)将抛物线C:y=(x-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1,再将抛物线C1向左平

移2个单位长度得到抛物线C2.(1)直接写出抛物线C1,C2的解析式;(2)如图1,点A在抛物线C1(对称轴l右侧)上,点B在对称轴l上,△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,求

点A的坐标;(3)如图2,直线y=kx(k≠0,k为常数)与抛物线C2交于E,F两点,M为线段EF的中点;直线y=-

x与抛物线C2交于G,H两点,N为线段GH的中点.求证:直线MN经过一个定点.解析(1)抛物线C1:y=(x-2)2-6,抛物线C2:y=x2-6.(2)如图1,设点A(m,n),则n=m2-4m-2.当点A在x轴上方时,过点A作AP⊥x轴,过点B作BQ⊥AP,垂足分别为P,Q.∵△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,∴△ABQ≌△OAP.∴BQ=AP=n,AQ=OP=m,∴m=n+2.联立

解得

或

(不合题意,舍去).∴A(5,3).如图,当点A在x轴下方时,同理求得A(4,-2).综上,点A的坐标是(5,3)或(4,-2).

(3)证明:由

消去y,得x2-kx-6=0,∴xE+xF=k.∵M为线段EF的中点,∴将EM沿EF方向平移与MF重合,∴xM-xE=xF-xM,∴xM=

(xE+xF)=

.∴点M的坐标是

.同理得点N的坐标是

.设MN的解析式为y=ax+b,则

解得

∴MN的解析式为y=

x+2.∴当x=0,k为任意不等于0的实数时,总有y=2,即直线MN过定点(0,2).思路分析(1)根据平移的规律可求C1,C2的解析式.(2)先设A(m,n),再分两种情况:①点A在x轴上方时,过

点A作AP⊥x轴,过点B作BQ⊥AP,垂足分别为P,Q,先利用△OAB是等腰直角三角形证明△ABQ≌△OAP,

由此推出m=n+2,与n=m2-4m-2联立,解出m,n,即得A点坐标;②点A在x轴下方时,同①可求出另一个A点坐

标.(3)根据直线y=kx(k≠0,k为常数)与抛物线C2交于E,F两点,联立两个解析式,得到关于x的一元二次方

程,根据根与系数的关系求出点M的横坐标,进而求出纵坐标,同理求出点N的坐标,再用待定系数法求出

直线MN的解析式,从而证明直线MN过定点即可.解题关键抓住△OAB是等腰直角三角形证明△ABQ≌△OAP,并由此推出m、n之间的关系是求出点A

的关键.易错警示只考虑点A在x轴的上方而忽略点A在x轴的下方这种情况是解答本题易犯的错误.2.(2020黑龙江齐齐哈尔,24,14分)在平面直角坐标系中,抛物线y=

x2+bx+c经过点A(-4,0),点M为抛物线的顶点,点B在y轴上,且OA=OB,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图①.(1)求抛物线的解析式;(2)直线AB的函数解析式为

,点M的坐标为

,cos∠ABO=

;连接OC,若过点O的

直线交线段AC于点P,将△AOC的面积分成1∶2的两部分,则点P的坐标为

;(3)在y轴上找一点Q,使得△AMQ的周长最小.具体作法如图②,作点A关于y轴的对称点A',连接MA'交y轴

于点Q,连接AM、AQ,此时△AMQ的周长最小.请求出点Q的坐标;(4)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出

点N的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)由已知,得

∴b=2,c=0.∴y=

x2+2x.(2)∵OA=OB,∴OB=4,则B(0,4),设直线AB的解析式为y=kx+m(k≠0),把A(-4,0),B(0,4)代入可得

解得

∴直线AB的解析式为y=x+4.由(1)可知y=

x2+2x,则y=

(x+2)2-2,∴M的坐标为(-2,-2),∵OA=OB=4,∠AOB=90°,∴∠ABO=45°,∴cos∠ABO=cos45°=

.∵OP将△AOC的面积分成1∶2两部分,∴S△APO∶S△ACO=1∶3或S△APO∶S△ACO=2∶3,∵△APO与△ACO有公共底边AO,且点C的坐标为(2,6),∴

=

或

=

.∴yP=2或yP=4.∵点P在直线AB上,∴x=-2或x=0.∴点P的坐标为(-2,2)或(0,4).(3)设直线MA'的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),将A'(4,0)和M(-2,-2)代入,得

∴k1=

,b1=-

.∴y=

x-

.把x=0代入,得y=-

.∴Q

.(4)存在,N1(-2,6),N2(6,6),N3(-6,-6).详解:由平行四边形的对边平行且相等的性质,可通过平移已知顶点来找到点N.①A到C的平移变换与O到N的平移变换是一致的,即先向上平移6个单位,再向右平移6个单位,因此点O

平移后得到N(6,6);②C到A的平移变换与O到N的平移变换是一致的,即先向下平移6个单位,再向左平移6个单位,因此点O

平移后得到N(-6,-6);③O到A的平移变换与C到N的平移变换是一致的,即向左平移4个单位,因此C(2,6)平移后得到N(-2,6).3.(2020重庆A卷,25,10分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其

中A(-3,-4),B(0,-1).(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连接PA,PB,求△PAB面积的最大值;(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),平移后的抛物线与原抛物线相交

于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四

边形为菱形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

备用图解析(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,-4),点B(0,-1),∴

解这个方程组,得

∴该抛物线的函数表达式为y=x2+4x-1. (3分)(2)设直线AB的函数表达式为y=kx+m(k≠0).将点A(-3,-4),点B(0,-1)代入函数表达式,得

解这个方程组,得

∴直线AB的函数表达式为y=x-1.如图1所示,过点P作PQ⊥x轴交AB于点Q.设P(t,t2+4t-1)(-3<t<0),则Q(t,t-1).∴PQ=(t-1)-(t2+4t-1)=-t2-3t.∴S△PAB=

PQ·|xA-xB|=

(-t2-3t)×3=-

t2-

t.∵-

=-

,-3<-

<0,∴当t=-

时,S△PAB有最大值,最大值为S△PAB=

=

.∴△PAB面积的最大值为

.

(6分)

图1图2(3)如图2所示,满足条件的点E的坐标为(1,-3),(-3,-4+

),(-3,-4-

),(-1,2).

(10分)详解:由(1)可知原抛物线解析式为y=x2+4x-1=(x+2)2-5.∴将抛物线向右平移2个单位长度后的抛物线的解析式为y=x2-5.联立

解得

∴点C(-1,-4).∵点D是原抛物线对称轴上一点,E是平面直角坐标系内一点,∴设D(-2,m),E(s,t).当BC为菱形的边时,将点C向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度可得点B,同样点D(或E)向右

平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度可得点E(或D).∴

①或

②当点D在点E下方时,则BE=BC,即s2+(t+1)2=12+32.③联立①③可得s=-1,t=2或-4(舍去).∴点E(-1,2).当点D在点E上方时,则BD=BC,即(-2)2+(m+1)2=12+32.④联立②④得s=-3,t=-4±

.∴点E(-3,-4+

)或E(-3,-4-

).当BC是菱形的对角线时,则

⑤∵BD=BE,∴22+(m+1)2=s2+(t+1)2.⑥联立⑤⑥得s=1,t=-3.∴点E(1,-3).综上,点E的坐标为(-1,2)或(-3,-4+

)或(-3,-4-

)或(1,-3).解题关键此题第(2)问关键在于利用P点坐标中的参量t表示出三角形PAB的面积,再用二次函数求最

值的方法求最大值即可.4.(2019甘肃兰州,28,12分)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,动点M从

点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,

连接AC.设运动的时间为t秒.(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;(2)连接BD,当t=

时,求△DNB的面积;(3)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标;(4)当t=

时,在直线MN上存在一点Q,使得∠AQC+∠OAC=90°,求点Q的坐标.解析(1)将A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2中,得

解得

∴二次函数的表达式为y=-

x2+

x+2.(2)∵t=

,∴AM=3,又∵OA=1,∴OM=2,设直线BC的解析式为y=kx+n(k≠0),将C,B点的坐标代入,得

解得

∴直线BC的解析式为y=-

x+2.将x=2分别代入y=-

x2+

x+2和y=-

x+2中,得D(2,3),N(2,1),∴DN=2.∴S△DNB=

×2×2=2.

(3)由题意得BM=5-2t,M(2t-1,0),设P(2t-1,m),则PC2=(2t-1)2+(m-2)2,PB2=(2t-5)2+m2,∵PB=PC,∴(2t-5)2+m2=(2t-1)2+(m-2)2,∴m=4t-5,∴P(2t-1,4t-5),∵PC⊥PB,∴

·

=-1,∴t=1或t=2,经检验t=1或t=2为上述方程的解.∴M(1,0)或M(3,0),∴D(1,3)或D(3,2).(4)当t=

时,AM=

×2=

,∴M

,由(1)知抛物线的对称轴方程是x=

,如图所示,在Rt△OAC中,AC=

=

,在Rt△OBC中,BC=

=

,又AB=5,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,又∠AOC=90°,∴∠ACO=∠ABC,要使∠AQC+∠OAC=90°,只需∠AQC=∠ABC,则点Q在以AB为直径的圆上,且在直线MN

上,又点M为圆心,∴MQ=

,∴Q

或Q

.5.(2019山西,23,13分)如图,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.点D是抛物线上一

个动点,设点D的横坐标为m(1<m<4).连接AC,BC,DB,DC.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的

时,求m的值;(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,

D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

解析(1)∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0),∴

(1分)解得

(2分)∴抛物线的函数表达式为y=-

x2+

x+6.

(3分)(2)作直线DE⊥x轴于点E,交BC于点G.作CF⊥DE,垂足为点F.

∵点A的坐标为(-2,0),∴OA=2.由x=0,得y=6.∴点C的坐标为(0,6),∴OC=6.∴S△AOC=

OA·OC=

×2×6=6.

(4分)∵S△BCD=

S△AOC,∴S△BCD=

×6=

.设直线BC的函数表达式为y=kx+n(k≠0).由B,C两点的坐标得

解得

∴直线BC的函数表达式为y=-

x+6.

(5分)∴点G的坐标为

.∴DG=-

m2+

m+6-

=-

m2+3m.

(6分)∵点B的坐标为(4,0),∴OB=4.∴S△BCD=S△CDG+S△BDG=

DG·CF+

DG·BE=

DG·(CF+BE)=

DG·BO=

×4=-

m2+6m.(7分)∴-

m2+6m=

.

(8分)解得m1=1(舍去),m2=3,∴m的值是3.

(9分)(3)存在,M1(8,0),M2(0,0),M3(

,0),M4(-

,0).(13分)提示:以BD为边时,有3种情况,由点D的坐标可得N点的纵坐标为±

,令二次函数的值等于

或-

,分别求出N2,N3,N4的坐标,进而求出M2,M3,M4的坐标,以BD为对角线时,有1种情况,采用中点坐标公式求得M1的

坐标.考点三抛物线与全等三角形、相似三角形1.(2020陕西,24,10分)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(-2,-3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的

对称轴为直线l.(1)求该抛物线的表达式;(2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与△

AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标.

解析(1)由题意,得

解之,得

∴y=x2+2x-3. (3分)(2)由(1)可得,对称轴l为直线x=-1.令y=0,则x2+2x-3=0.解之,得x1=-3,x2=1.∴A(-3,0),B(1,0).令x=0,则y=-3.∴C(0,-3).∴OA=OC=3. (6分)∵∠PDE=∠AOC=90°,∴当PD=DE=3时,△PDE与△AOC全等.设P(m,n),当点P在l右侧时,m-(-1)=3.∴m=2.∴n=22+2×2-3=5.∴P(2,5).∴E(-1,2)或E(-1,8). (9分)当点P在l左侧时,由抛物线的对称性可知,P(-4,5)也满足条件.相应的点E的坐标同上.∴满足条件的点P,点E的坐标为P(2,5)或P(-4,5),E(-1,2)或E(-1,8).

(10分)疑难突破(1)求抛物线的表达式,可利用待定系数法列方程组解答.(2)由题意及图象可知△AOC为直角

三角形,通过计算得知OA=OC=3,因此△AOC为等腰直角三角形,所以以P、D、E为顶点的三角形与△

AOC全等,即PD=DE=3时满足条件,所以对P点位置进行分类讨论(点P在l右侧和左侧),可以结合抛物线

的对称性进行说明.2.(2020四川成都,28,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,

与y轴交于点C(0,-2).(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,点D为第四象限抛物线上一点,连接AD,BC交于点E,连接BD,记△BDE的面积为S1,△ABE的面积

为S2,求

的最大值;(3)如图2,连接AC,BC,过点O作直线l∥BC,点P,Q分别为直线l和抛物线上的点.试探究:在第一象限是否存

在这样的点P,Q,使△PQB∽△CAB.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

图1图2解析(1)解法一:将(4,0),(0,-2),(-1,0)分别代入y=ax2+bx+c,得

解得

∴抛物线的函数表达式为y=

x2-

x-2.解法二:∵A(-1,0),B(4,0)在抛物线上,∴-

=

=

.∴b=-3a.∵C(0,-2)在抛物线上,∴c=-2,∴y=ax2-3ax-2,将(-1,0)代入y=ax2-3ax-2,得a=

,∴抛物线的函数表达式为y=

x2-

x-2.(2)过点B作AD边上的高BH,过点D作DG⊥x轴于点G,交BC于点F,过点A作AK⊥x轴,交BC的延长线于点K,

∴

=

=

=

.∵B(4,0),C(0,-2),∴直线BC的表达式为y=

x-2,当x=-1时,y=-

,∴AK=

.设D

(0<m<4),∴F

,∴DF=-

m2+2m,∴

=

=-

m2+

m=-

(m-2)2+

,∵0<m<4,∴当m=2时,

取最大值

.(3)存在.由(2)可得直线l的表达式为y=

x,设P

(m>0).①当点P在直线BQ右侧时,如图,过P作PN⊥x轴,过Q作QM⊥NP交NP的延长线于M,

则∠QMP=∠PNB=90°,易知∠QPB=∠ACB=90°,∴∠QPM+∠MQP=90°,∠QPM+∠BPN=90°,∴∠MQP=∠NPB,∴△QPM∽△PBN,∴

=

=

.∵△PQB∽△CAB,∴

=

=

=

,∴MP=

BN=

m-2,MQ=

NP=

,∴Q

.将Q的坐标代入y=

x2-

x-2中,得m=

(m=0舍去),∴P

.②当点P在直线BQ左侧时,由①的方法同理可得Q

,此时P

.综上,在第一象限存在符合条件的点P,Q,所有符合条件的点P的坐标为

,

.3.(2019陕西,24,10分)在平面直角坐标系中,已知抛物线L:y=ax2+(c-a)x+c经过点A(-3,0)和点B(0,-6),L关于

原点O对称的抛物线为L'.(1)求抛物线L的表达式;(2)点P在抛物线L'上,且位于第一象限,过点P作PD⊥y轴,垂足为D.若△POD与△AOB相似,求符合条件的

点P的坐标.解析(1)由题意,得

解之,得

∴L:y=-x2-5x-6. (2分)(2)∵点A、B在L'上的对应点分别为A'(3,0)、B'(0,6),∴设抛物线L'的表达式为y=x2+bx+6.将A'(3,0)代入y=x2+bx+6,得b=-5.∴抛物线L'的表达式为y=x2-5x+6. (4分)∵A(-3,0),B(0,-6),∴AO=3,OB=6.设P(m,m2-5m+6)(m>0).∵PD⊥y轴,∴点D的坐标为(0,m2-5m+6).∴PD=m,OD=m2-5m+6.∵Rt△POD与Rt△AOB相似,∴

=

或

=

.

(6分)①当

=

,即

=

时,解之,得m1=1,m2=6.∴P1(1,2),P2(6,12).②当

=

,即

=

时,解之,得m3=

,m4=4.∴P3

,P4(4,2).∵P1、P2、P3、P4均在第一象限,∴符合条件的点P的坐标为(1,2)或(6,12)或

或(4,2).

(10分)思路分析(1)把点A和点B的坐标代入抛物线解析式,求出a,c的值即可求得抛物线的解析式;(2)首先求

出抛物线L'的解析式,设点P的坐标为(m,m2-5m+6)(m>0),得点D的坐标为(0,m2-5m+6),根据Rt△POD与Rt

△AOB相似,分两种情况列出比例式,求出m的值,进而得出点P的坐标.4.(2019新疆,23,13分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)将(1)中的抛物线向下平移

个单位长度,再向左平移h(h>0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点D'在△ABC内,求h的取值范围;(3)点P为线段BC上一动点(点P不与点B,C重合),过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q,当△PQC与

△ABC相似时,求△PQC的面积.解析(1)把A(-1,0),B(4,0),C(0,4)代入y=ax2+bx+c中,得

解得

∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4. (3分)∵y=-

+4=-

+

,∴顶点D的坐标是

.

(4分)(2)将抛物线y=-

+

向下平移

个单位长度,再向左平移h(h>0)个单位长度得抛物线y'=

+

.∴新抛物线的顶点D'的坐标是

.

(6分)由题意得,直线BC的解析式为y=-x+4,直线AC的解析式为y=4x+4,当顶点

在直线BC上时,

=-

+4,解得h=0.当顶点

在直线AC上时,

=4

+4,解得h=

.∵新抛物线的顶点D'在△ABC内,∴h的取值范围是0<h<

.

(8分)(3)如图,设直线PQ交x轴于点M.

∵B(4,0),C(0,4),∴OB=OC=4.∵∠BOC=90°,∴∠OBC=∠OCB=45°,∵PQ⊥x轴,∴∠PMB=90°,∴∠CPQ=∠BPM=∠OBC=45°.∵A(-1,0),B(4,0),C(0,4),∴AB=5,BC=4

.设P(m,-m+4),则Q(m,-m2+3m+4),∴PQ=-m2+4m,CP=

m.

(9分)由题易得,∠BAC>45°,∠ACB>45°,∴点P与点B是对应点.①当△ABC∽△CPQ时,

=

,∴

=

.∴m=0(舍)或m=

.∴PQ=

,∴S△PQC=

×

×

=

.

(11分)②当△ABC∽△QPC时,

=

,∴

=

,∴m=0(舍)或m=

.∴PQ=

,∴S△PQC=

×

×

=

.综上所述,△PQC的面积为

或

.

(13分)考点四二次函数在实际生活(生产)中的应用1.(2020山西,9,3分)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2

+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地

面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为 ()A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20.5m答案

C

由已知可得v0=20m/s,h0=1.5m,则h=-5t2+20t+1.5(t>0),其图象的对称轴方程为t=-

=2,图象开口向下,∴当t=2时,h最大,为-5×22+20×2+1.5=21.5,故选C.2.(2020辽宁营口,24,12分)某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,

当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市场行情,现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降

低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元),每

天的销售量为y(瓶).(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元?解析(1)y=80+20×

,

(3分)∴y=-40x+880(x≥16). (4分)(2)设每天的销售利润为w元, (5分)w=(-40x+880)(x-16) (7分)=-40(x-19)2+360. (8分)∵a=-40<0,∴二次函数图象开口向下,∴w有最大值. (10分)∴x=19时,w最大,此时w最大值=360. (11分)答:当销售单价为19元时,每天的销售利润最大,最大利润为360元. (12分)易错警示在解决第(2)问时,要检验x的取值是否在取值范围内,如果不在,要结合函数的增减性进行判

断.3.(2020内蒙古呼和浩特,24,12分)已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品(生产条件要求0.1<t≤

1),且每小时可获得利润60

元.(1)某人将每小时获得的利润设为y元,发现t=1时,y=180,所以得出结论:每小时获得的利润最少是180元.

他是依据什么得出该结论的?用你所学数学知识帮他进行分析说明;(2)若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产,则1天(按8小时计算)可生产该产品多少千

克?(3)要使生产680千克该产品获得的利润最大,问:该厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.解析(1)依据一次函数和反比例函数的性质得出结论.由已知得y=60

,当t=1时,y=180,∵当0.1<t≤1时,

随t的增大而减小,-3t也随t的增大而减小,∴-3t+

的值随t的增大而减小,∴y=60

随t的增大而减小,∴当t=1时,y有最小值,为180,∴他的结论正确.(2)由题意可得60

×2=1800,整理得-3t2-14t+5=0,解得t=

或t=-5(舍),经检验,t=

是原方程的解且符合题意.故该厂以

小时/千克的速度匀速生产产品,则1天(按8小时计算)可生产该产品8÷

=24千克.(3)由题意知生产680千克该产品,需要680t小时,设生产680千克该产品获得的利润为w元,则w=680t·60

,整理得w=40800(-3t2+t+5),当t=

时,w取最大值,为207400.故该厂应该选取

小时/千克的生产速度,最大利润为207400元.4.(2019湖北武汉,22,10分)某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)

的一次函数.其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:售价x(元/件)506080周销售量y(件)1008040周销售利润w(元)100016001600注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);②该商品进价是

元/件;当售价是

元/件时,周销售利润最大,最大利润是

元;(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件.该商店在

今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.解析(1)①设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),依题意有

解得

∴y与x的函数关系式是y=-2x+200.②40;70;1800.进价是50-(1000÷100)=40元/件.w=(-2x+200)(x-40)=-2(x-70)2+1800,∴当售价为70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1800元.(2)依题意有w=(-2x+200)(x-40-m)=-2x2+(2m+280)x-8000-200m=-2

+

m2-60m+1800,∵m>0,∴

>70,∵-2<0,∴抛物线开口向下,∵x≤65,∴w随x的增大而增大,∴当x=65时,w有最大值,为(-2×65+200)(65-40-m),∴(-2×65+200)(65-40-m)=1400,∴m=5.∴若周销售最大利润是1400元,则m的值为5.5.(2019四川成都,26,8分)随着5G技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区

销售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正

整数)个销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系.(1)求y与x之间的关系式;(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x的关系可以用p=

x+

来描述.根据以上信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元?

解析(1)设y=kx+b(k≠0),把(1,7000)和(5,5000)代入,得

解得

∴y与x之间的关系式为y=-500x+7500.(2)设第x个销售周期的销售收入为w万元,则w=p·y=

(-500x+7500)=-250(x-7)2+16000.∵-250<0,∴当x=7时,w有最大值,此时y=-500×7+7500=4000.答:第7个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格是4000元.方法总结用待定系数法可以求得函数解析式,用配方法可以求得二次函数的最值.考点一抛物线与线段长、面积、角度教师专用题组1.(2020云南,23,12分)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点C的坐

标为(0,-3).点P为抛物线y=x2+bx+c上的一个动点.过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.(1)求b、c的值;(2)设点F在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上,当△ACF的周长最小时,直接写出点F的坐标;(3)在第一象限,是否存在点P,使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍?若存在,求出点P所有

的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)将A(-1,0),C(0,-3)分别代入y=x2+bx+c,得

(1分)解得

∴b=-2,c=-3. (3分)(2)点F的坐标为(1,-2). (7分)提示:设抛物线的对称轴与x轴交于点G,因为AC的长为定值,所以当AF+CF的长最小时,△ACF的周长最

小,由(1)易得G(1,0),B(3,0),点A关于直线FG的对称点为点B,当点B、C、F在一条直线上时,AF+CF的长

最小.∵OC∥GF,∴△BGF∽△BOC,∴

=

,∴GF=2,∴F(1,-2).(3)存在满足要求的点P,且点P的坐标为(5,12).由(1)知b=-2,c=-3,∴y=x2-2x-3.令y=0,得0=x2-2x-3,解得x1=-1,x2=3,∵A(-1,0),∴B(3,0).设直线BC的解析式为y=kx+m(k≠0),把B(3,0),C(0,-3)代入y=kx+m,得

解得

∴直线BC的解析式为y=x-3.

设P(n,n2-2n-3),根据题意得n>3,E(n,n-3),D(n,0),PE=n2-3n,DE=n-3.

(9分)∵点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍,∴以BE为底的△BEP的面积是以BE为底的△BED面积的5倍,即S△BEP=5S△BED.∵S△BEP=

PE·BD,S△BED=

DE·BD,∴

PE·BD=5×

DE·BD,∴PE=5DE. (11分)∴n2-3n=5(n-3),即(n-3)(n-5)=0,解得n=3或n=5.∵n>3,∴n=5,∴y=52-2×5-3=12,∴点P的坐标为(5,12). (12分)思路分析(1)用待定系数法可求出b、c的值;(2)运用轴对称及三角形相似可求得点F的坐标;(3)求出直

线BC的解析式,设出点P,点E的坐标,再分别表示线段PE,DE的长,将题中的距离关系转化为三角形的面

积关系,可得S△BEP=5S△BED,进而得出PE=5DE,解方程求出点P的坐标.2.(2020云南昆明,22,8分)如图,两条抛物线y1=-x2+4,y2=-

x2+bx+c相交于A,B两点,点A在x轴负半轴上,且为抛物线y2的最高点.(1)求抛物线y2的解析式和点B的坐标;(2)点C是抛物线y1上A,B之间的一点,过点C作x轴的垂线交抛物线y2于点D,当线段CD取最大值时,求S△BCD.

解析(1)解法一:当y1=0时,即-x2+4=0,解得x=±2,∵点A在x轴负半轴上,∴A(-2,0), (1分)∵y2=-

x2+bx+c的最高点为A(-2,0),∴

解得

(2分)∴抛物线y2的解析式为y2=-

x2-

x-

.

(3分)当y1=y2时,即-x2+4=-

x2-

x-

,解得x1=3,x2=-2(舍去). (4分)∴当x=3时,y=-32+4=-5,∴B(3,-5). (5分)解法二:当y1=0时,即-x2+4=0,解得x=±2,∵点A在x轴负半轴上,∴A(-2,0), (1分)∵y2=-

x2+bx+c的最高点为A(-2,0),∴抛物线y2的解析式为y2=-

(x+2)2,即y2=-

x2-

x-

.

(3分)当y1=y2时,即-x2+4=-

x2-

x-

,解得x1=3,x2=-2(舍去). (4分)∴当x=3时,y=-32+4=-5,∴B(3,-5). (5分)(2)如图,设点C(m,-m2+4),则点D

,∵点C是抛物线y1上A,B之间的一点,∴-2<m<3,∴CD=-m2