2026年中考数学解密之二次根式

2026年菁优中考数学解密之二次根式一．选择题（共10小题）1．（2025•长沙）下列运算正确的是（）A．2a+a2＝2a3 B．6a2b÷a＝6b C．（ab）7＝a7b7 D．192．（2025•德阳模拟）下列计算正确的是（）A．53-23=3 C．3+3=63．（2025•长沙模拟）下列计算中，结果错误的是（）A．2+3=5 C．6÷2=34．（2025•重庆模拟）估计15A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间5．（2025•泸州三模）下列各数中，无理数是（）A．0 B．(1+C．(3D．16．（2025•宁远县二模）计算18-A．10 B．52 C．6 D．7．（2025•北京校级二模）下列算式中正确的有（）（1）9=±3；（2）±9=3；（3）3(-3)3A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．（2025•滨州一模）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为a，b，c，三角形的面积为S，则S=14[a2b2-(a2+b2A．112 B．11 C．211 D9．（2025•凉州区模拟）下列计算正确的是（）A．18+2=25 C．18×2=36 10．（2025•市南区校级模拟）下列计算，结果正确的是（）A．2×3=6 BC．3+4=7二．填空题（共10小题）11．（2025•盐山县校级模拟）若50+2=2(a+1)，则a的值为12．（2025•东光县二模）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[3]=1，现对72进行如下操作：72→第1次[72]=8→第2次[8]=213．（2025•哈尔滨校级四模）观察下列等式：1×3+1=4=2，2×4+1=9=3，3×5+114．（2025•连云港校级二模）已知y=x2-9+9-x2x-3+7，则3x15．（2025•合肥校级二模）计算(25+1)(25-1)的结果等于16．（2025•阿城区二模）我们规定：对于任意的正数m，n的“※”运算为：m※n=m(m-n)，计算2※8的结果为17．（2025•南通）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S=14[a2b2-(a2+b2-c22)2].若18．（2025•花山区校级三模）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p-a)(p-b)(p-c)．若一个三角形的三边长分别为3，3，4，其面积S介于两个连续整数n和n+1之间，则n的值为19．（2025•连城县模拟）已知a，b，c为正整数且满足a-b=b-c+c-b，则a，b，c的大小关系为20．（2025•南关区校级三模）裕固族工匠用银片制作饰品，其中有一个长方形银片的面积为6cm2，长为22cm，则该长方形银片的宽为三．解答题（共5小题）21．（2025•晋中二模）（1）计算：(1（2）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：习题1：计算：1a解：1=1…第一步＝1+a（a﹣1）…第二步＝1+a2﹣1…第三步＝a2．…第四步习题2：解方程：1x解：方程两边同乘（x2﹣1），得x2-1x1+x（x+1）＝x2﹣1，…第二步x＝﹣2．…第三步检验：当x＝﹣2时，x2﹣1≠0，…第四步∴原方程的解是x＝﹣2．…第五步①习题1的解答过程是从第步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第步开始出现错误的；②从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．22．（2025•蜀山区校级三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：1+1特例2：2+1特例3：3+1特例4：4+16=（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为：．（3）应用运算规律：①化简：2024+12026×4052=②若a+1b=111b（a，b均为正整数），则a+b＝23．（2025•五华区校级模拟）计算：|-324．（2025•韶关模拟）阅读下列解题过程：12+11314+3…解答下列各题①110+9=②观察下面的解题过程，请直接写出式子1n-n-1=③利用这一规律计算：（12+1+13+25．（2025•深圳模拟）某班“数学兴趣小组”在学完一次函数后，对函数y=2(x-1)2（1）列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…7m31﹣1﹣3﹣1135…表格中：m＝；（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；（3）观察图象：①y=2(x-1)2-3的图象关于②直线y＝n与y=2(x-1)2-3的图象有两个交点，n的取值范围是③当﹣1＜x＜4时，y的取值范围．（4）进一步研究：若点M（x1，y1），N（x2，y2）是函数y=2(x-t)2-3图象上任意两点，若对于1＜x1＜2，2＜x2＜3，都有y1＜y2，则t的取值范围是

2026年菁优中考数学解密之二次根式参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CDABBDBBDD一．选择题（共10小题）1．（2025•长沙）下列运算正确的是（）A．2a+a2＝2a3 B．6a2b÷a＝6b C．（ab）7＝a7b7 D．19【考点】二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；整式的除法．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】利用二次根式的加减法，合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式法则逐项判断即可．【解答】解：2a与a2不是同类项，无法合并，则A不符合题意，6a2b÷a＝6ab，则B不符合题意，（ab）7＝a7b7，则C符合题意，19与6不是同类二次根式，无法合并，则D不符合题意，故选：C．【点评】本题考查二次根式的加减法，合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．2．（2025•德阳模拟）下列计算正确的是（）A．53-23=3 C．3+3=6【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】D【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则求解判断即可．【解答】解：A、53B、2×C、3+D、36故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式的加减乘除计算，熟知相关计算法则是解题的关键．3．（2025•长沙模拟）下列计算中，结果错误的是（）A．2+3=5 C．6÷2=3【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题；二次根式；运算能力．【答案】A【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法和乘方法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、2与3不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；B、53-23=33，故C、6÷2=D、（-2）2＝2，故D故选：A．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．（2025•重庆模拟）估计15A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间【考点】二次根式的混合运算；估算无理数的大小．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】先根据二次根式的混合运算法则化简，然后再运用“夹逼法”估算即可．【解答】解：原式==9=3+3∵1＜∴1＜∴4＜3+3＜5故选：B．【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算、无理数的估算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键．5．（2025•泸州三模）下列各数中，无理数是（）A．0 B．(1+C．(3D．1【考点】二次根式的混合运算；无理数．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据二次根式混合运算的法则将各式计算出来再进行判断即可．【解答】解：A、0是有理数，不符合题意；B、原式＝（1+52+1-52C、(3D、15故选：B．【点评】本题主要考查无理数的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．6．（2025•宁远县二模）计算18-A．10 B．52 C．6 D．【考点】二次根式的混合运算；分母有理化．【专题】二次根式；运算能力．【答案】D【分析】利用二次根式乘法法则计算，化简后合并即可得到结果．【解答】解：原式＝32-22故选：D．【点评】此题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．7．（2025•北京校级二模）下列算式中正确的有（）（1）9=±3；（2）±9=3；（3）3(-3)3A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】二次根式的性质与化简；平方根；立方根．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据立方根与平方根定义和二次根式的性质，计算各个算式，然后判断即可．【解答】解：∵（1）9=3∴计算正确的是：（3），共1个，故选：B．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握立方根与平方根定义和二次根式的性质．8．（2025•滨州一模）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为a，b，c，三角形的面积为S，则S=14[a2b2-(a2+b2A．112 B．11 C．211 D【考点】二次根式的应用．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】依据题意，根据所给公式，然后代入数据计算可以判断得解．【解答】解：由题意，∵在△ABC中，AB=10，AC=6，∴S△ABC==1=11故选：B．【点评】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意代入数值计算是关键．9．（2025•凉州区模拟）下列计算正确的是（）A．18+2=25 C．18×2=36 【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】D【分析】根据二次根式的运算法则，逐一进行计算判断即可．【解答】解：A、18+B、18-C、18×D、18÷故选：D．【点评】本题考查二次根式的运算．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．10．（2025•市南区校级模拟）下列计算，结果正确的是（）A．2×3=6 BC．3+4=7【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法．【专题】二次根式；运算能力．【答案】D【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算判断即可．【解答】解：根据二次根式的运算法则逐项计算判断如下：A.2×B．16÷C．3，D．32故选：D．【点评】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2025•盐山县校级模拟）若50+2=2(a+1)，则a的值为【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】5．【分析】先将50化简，再合并同类二次根式得到2（a+1）＝62，再利用二次根式的除法法则运算得到a+1＝6，然后解一次方程即可．【解答】解：∵50+∴52+2=2即2（a+1）＝62，∴a+1=62解得a＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．12．（2025•东光县二模）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[3]=1，现对72进行如下操作：72→第1次[72]=8→第2次[8]=2【考点】二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】256．【分析】根据题中的操作顺序，对256进行运算，结合二次根式的估算，要想确定只需进行4次操作后变为1的所有正整数，关键是确定第三次操作后数的大小不能大于4，第二次操作时根号内的数不大于16，而一次操作时正整数必须不大于256，据此即可解答．【解答】解：∵，，∴只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最小的是256，故答案为：256．【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小的知识，正确理解新定义的运算法则是解题的关键．13．（2025•哈尔滨校级四模）观察下列等式：1×3+1=4=2，2×4+1=9=3，3×5+1【考点】二次根式的乘除法．【专题】二次根式；运算能力．【答案】10×12+1=【分析】观察所给的等式，得到第n个式子为n(n+2)+1=【解答】解：根据所给的等式可知：第n个式子为n(n+2)+1=∴第10个式子为10×12+1=故答案为：10×12+1=【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握该知识点是关键．14．（2025•连云港校级二模）已知y=x2-9+9-x2x-3+7，则3x【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】﹣2．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x2﹣9≥0，9﹣x2≥0，根据二次根式有意义的条件可得x﹣3≠0，解可得x的值，进而得到y的值，然后再代入未知数的值求出3x+y即可．【解答】解：由题意得x2解得：x＝﹣3，则y＝7，∴3x+y＝3×（﹣3）+7＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式有意义的条件是分母不为零．15．（2025•合肥校级二模）计算(25+1)(25-1)的结果等于【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】24．【分析】利用平方差公式求解即可．【解答】解：原式＝（25）2﹣12＝25﹣1＝24，故答案为：24．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式和二次根式的性质．16．（2025•阿城区二模）我们规定：对于任意的正数m，n的“※”运算为：m※n=m(m-n)，计算2※8的结果为22【考点】二次根式的混合运算．【专题】新定义；运算能力．【答案】22-4【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：2※8=2（2-＝22＝22-4故答案为：22-4【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练的进行计算是解题的关键．17．（2025•南通）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S=14[a2b2-(a2+b2-c22)2].若【考点】二次根式的应用．【专题】计算题；二次根式；三角形；几何直观；运算能力．【答案】2．【分析】利用给出的三角形的面积公式计算即可．【解答】解：由题意得a2＝8，b2＝9，c2＝1，∴a2b2＝72，a2+∴S=1故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的知识，掌握二次根式计算方法是解题关键．18．（2025•花山区校级三模）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p-a)(p-b)(p-c)．若一个三角形的三边长分别为3，3，4，其面积S介于两个连续整数n和n+1之间，则n的值为4【考点】二次根式的应用．【专题】二次根式；运算能力；应用意识．【答案】4．【分析】依据题意，先计算出三角形的面积为20，再估算20的取值范围即可得出结果．【解答】解：由题意，可得P=4+3+3∴S==5×1×2×2=20∵16＜∴4＜∴n＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握其计算方法是解题的关键．19．（2025•连城县模拟）已知a，b，c为正整数且满足a-b=b-c+c-b，则a，b，c的大小关系为a＝b【考点】二次根式有意义的条件；实数大小比较．【专题】二次根式；运算能力．【答案】a＝b＝c．【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得答案．【解答】解：∵a，b，c为正整数且满足a-b=∴a﹣b≥0，b﹣c≥0，c﹣b≥0，∴a≥b≥c，c≥b∴b＝c，∴a-b=0+0＝0∴a＝b，∴a＝b＝c，故答案为：a＝b＝c．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，实数的大小比较，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．20．（2025•南关区校级三模）裕固族工匠用银片制作饰品，其中有一个长方形银片的面积为6cm2，长为22cm，则该长方形银片的宽为32【考点】二次根式的应用．【专题】二次根式；运算能力；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】依据题意，由长方形银片的面积为6cm2，长为22cm，则该长方形银片的宽为：6÷2【解答】解：由题意，∵长方形银片的面积为6cm2，长为2∴该长方形银片的宽为：6÷22=3故答案为：32【点评】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．三．解答题（共5小题）21．（2025•晋中二模）（1）计算：(1（2）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：习题1：计算：1a解：1=1…第一步＝1+a（a﹣1）…第二步＝1+a2﹣1…第三步＝a2．…第四步习题2：解方程：1x解：方程两边同乘（x2﹣1），得x2-1x1+x（x+1）＝x2﹣1，…第二步x＝﹣2．…第三步检验：当x＝﹣2时，x2﹣1≠0，…第四步∴原方程的解是x＝﹣2．…第五步①习题1的解答过程是从第一步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第二步开始出现错误的；②从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．【考点】二次根式的混合运算；解分式方程；完全平方公式；分式的加减法；负整数指数幂．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）33（2）①一；二；②习题1：1=1=1+习题2：方程两边同乘（x2﹣1），得1+x（x﹣1）＝x2﹣1．1+x2﹣x＝x2﹣11﹣x＝﹣1﹣x＝﹣2x＝2．经检验，当x＝2时，x2﹣1≠0．∴原分式方程的解是x＝2．【分析】（1）利用负整数指数幂，去绝对值，完全平方差公式的运算法则进行求解即可；（2）①根据解分式方程和分式加法计算的步骤一步步检查即可．②按照解分式方程和分式加法计算的步骤进行计算即可．【解答】解：（1）(=3+2-3=3+2-=33（2）①习题1的解答过程是从第一步开始出现错误的，习题2的解答过程是从第二步开始出现错误的；故答案为：一；二；②习题1：1=1=1+习题2：方程两边同乘（x2﹣1），得1+x（x﹣1）＝x2﹣1，1+x2﹣x＝x2﹣1，1﹣x＝﹣1，﹣x＝﹣2，x＝2．经检验，当x＝2时，x2﹣1≠0．∴原分式方程的解是x＝2．【点评】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，去绝对值，完全平方差公式，解分式方程和分式加法，计算分式加减法时第一步是通分，解分式方程的第一步是去分母，去分母时要给方程左右两边的每一项都要乘最简公分母，这是解题的关键．22．（2025•蜀山区校级三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：1+1特例2：2+1特例3：3+1特例4：4+16=51（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为：n+1n+2=（n+1）1n+2（（3）应用运算规律：①化简：2024+12026×4052=②若a+1b=111b（a，b均为正整数），则a+b＝【考点】二次根式的混合运算；规律型：数字的变化类．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）516（2）n+1n+2=（n+1）1（3）20252；（4）22．【分析】（1）根据二次根式的性质和乘法法则，按照前面的特例变形得到特例4；（2）根据前面特例中数据与序号数的关系写出第n个式子；（3）先根据（2）中的规律变形前面的二次根式，然后根据二次根式的乘法法则运算；（4）利用特例中数据与序号数的关系先确定a的值，然后确定b的值，最后计算它们的和．【解答】解：（1）4+16=故答案为：516（2）第n个式子可以表示为：n+1n+2=（n+1）1故答案为：n+1n+2=（n+1（3）原式＝202512026×4052=2025故答案为：20252；（4）∵a+1b=111b∴a＝11﹣1＝10，∴b＝10+2＝12，∴a+b＝10+12＝22．故答案为：22．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．23．（2025•五华区校级模拟）计算：|-3【考点】二次根式的混合运算；实数的运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】12．【分析】先根据绝对值的性质，零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再算加减即可．【解答】解：原式=3+9+1-【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，实数的运算，熟知运算法则是解题的关键．24．（2025•韶关模拟）阅读下列解题过程：12+11314+3…解答下列各题①110+9=10②观察下面的解题过程，请直接写出式子1n-n-1=③利用这一规律计算：（12+1+13+【考点】二次根式的混合运算；规律型：数字的变化类；平方差公式；分母有理化．【专题】二次根式；运算能力．【答案】①10-3②n+③2020．【分析】①把分子分母都乘以（10-②利用分母有理化计算即可；③先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．【解答】解：①原式=10-故答案为10-3②1n故答案为n+③原式＝（2-1+3-2＝（2021-1）（2