模拟卷05（新高考Ⅰ卷专用）-（解析版）

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考=1\*ROMANI卷）黄金卷05（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据根式的性质化简集合，即可根据交集的定义求解.【详解】由题，得，故，进而，故选：A2．设，其中为虚数单位.则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再求出，令求出相应的的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为，所以.令，即，解得或，所以推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，由数量积的运算律可得，再由投影向量的定义代入计算，即可得到结果.【详解】由，得，即，由已知得，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A4．已知数列是等比数列，记数列an的前项和为，且，则（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】根据数列是等比数列，可知数列为等差数列，由等差数列的性质求解即可.【详解】则为常数，所以为常数，知数列为等差数列，由，知，又，所以公差，故.故选：A5．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解.【详解】圆的圆心为，半径，双曲线的渐近线方程为，即，因为，所以圆心到双曲线的渐近线的距离，所以，即，所以，即该双曲线的离心率为.故选：D.6．已知，且，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用同角三角函数的基本关系结合正切的和角公式计算即可.【详解】由可得，所以，因为，所以，解之得.故选：D7．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先甲最后一个出场或甲在中间出场分类讨论求出方法数，再求出此时运动员丙第一个出场的方法数，然后由概率公式计算．【详解】“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中间出场，方法数为，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”，即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为，因此所求概率为．故选：A．8．已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求导，分析函数的单调性，画出函数草图，数形结合可求的取值范围.【详解】由，有，当时，f'x<0，当时，f'x>0，单调递增，，又时，，如图可知之间存在三个不相等的实数，，，使成立.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在正三棱台中，，，且等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（

）A．正三棱台的高为B．正三棱台的体积为C．与平面所成角的正切值为1D．正三棱台外接球的表面积为【答案】BCD【分析】将正棱台补全为一个正棱锥，结合正棱台、正棱锥的结构特征求台体的高、体积及侧棱与底面夹角正切值，由确定棱台外接球球心位置，建立等量关系求半径，进而求外接球表面积.【详解】将正棱台补全为一个正棱锥，如下图示，其中分别为上下底面的中心，为的中点，易知，则为等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角，所以，而，则，根据棱台上下底面相似，知，即，故，A错；由，，所以，B对；由图知：为与平面所成角，则，C对；若为正三棱台外接球的球心，则其半径，即，令，则，可得，所以，故外接球表面积为，D对.故选：BCD10．已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（

）A．的面积为B．的离心率为C．点到轴的距离为D．【答案】ACD【分析】根据中位线及椭圆的定义，利用等边三角可求出PF1，，再由余弦定理可得关系，即可判断B，再由三角形面积公式判断A，利用等面积法判断C，由角平分线定理求出即可判断D.【详解】如图，设，，延长交于点.

由题意知，为的中点，则为的中点，又，所以是等边三角形，则化简得即在中，由余弦定理得，所以，即.因为，所以，，所以，，故B错误.的面积为，故A正确.设点到轴的距离为，所以，则，故C正确.因为是的平分线，所以，所以，则，故D正确.故选：ACD11．定义在R上的函数满足，，.若，记函数的最大值与最小值分别为、，则下列说法正确的是（

）A．为的一个周期 B．C．若，则 D．在上单调递增【答案】ABC【分析】结合已知求得为的一个周期，从而A正确；将等式两侧对应函数分别求导，得，即可判断B正确；利用中心对称性质求值判断C正确；根据函数的性质判断D错误.【详解】由，将x替换成，得．因为，由上面两个式子，．将x替换成，，所以．所以，所以为的一个周期，A正确；将等式两侧对应函数分别求导，得，即成立，B正确；满足，即函数图象关于点中心对称，函数的最大值和最小值点一定存在关于点中心对称的对应关系，所以，解得，C正确；已知条件中函数没有单调性，无法判断在上是否单调递增，D错误.故选：ABC．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．的展开式中的系数为.【答案】【分析】分取1，取和取，取两种情况讨论即可.【详解】当取1，取，的系数为；当取，取时，得的系数为：.所以的系数为：.故答案为：13．已知函数与函数在公共点处的切线相同，则实数m的值为.【答案】0【分析】设函数与的公共点为，由题意得，可求出的值，由即可求出的值.【详解】设函数与的公共点为，则有，则，解得或（舍去），所以，所以，解得.故答案为：0.14．如图的“心形”曲线恰好是半圆，半圆，曲线组合而成的，则曲线所围成的“心形”区域的面积等于.【答案】【分析】先求出两个半圆面的面积，再求曲线与、轴围成的区域的面积，根据对称性得出与、轴围成的区域的面积，即可得解.【详解】设，线段的中点为，如图，因为曲线关于点对称，所以可将曲线与轴、轴围成的区域割补为直角三角形的区域，于是曲线与轴、轴围成的区域的面积就是直角三角形的面积，即；根据对称性，可得曲线与、轴围成的区域的面积为，又曲线所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为，所以曲线所围成的“心形”区域的面积等于.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用焦点坐标和离心率可求得椭圆方程；（2）分别讨论直线斜率是否存在，联立直线和抛物线方程利用焦点弦公式可得，即得直线方程.【详解】（1）抛物线的焦点坐标为1,0，所以椭圆中，因为椭圆的离心率为，即，…………2分所以，，所以椭圆方程为………6分（2）当直线斜率不存在时，易知此时，不合题意；…7分所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为y=kx-1联立得，…9分设，则，…………………10分根据焦点弦公式可得，…………………11分解得，，所以直线方程为或…………13分16．（15分）在六面体中，平面，，且底面为菱形.(1)证明：平面.(2)若，，.求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）先证，，再根据线面垂直的判定定理证明平面.（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的三角函数.【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以.…2分又平面ABCD，平面ABCD，所以.…4分因为，平面，所以平面.………6分（2）由题意得，.…………………7分以菱形的中心为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，.所以，.……………8分设平面的法向量为，则，令，得.……………10分易知平面的一个法向量为，………11分则，……………13分所以平面与平面所成二面角的正弦值为.…15分17．（15分）已知数列an满足，.(1)求数列an(2)设，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用递推公式作差计算即可求得通项公式；（2）利用（1）的结论及裂项相消法求和，再利用数列的单调性计算范围即可证明.【详解】（1）已知，当时，；……………2分当时，，……………4分则，……………6分显然时，，满足上式，综上，；………7分（2）由上知:，……………9分故，……………11分易知单调递增，……………12分时，，……………13分又，即，证毕.……………15分18．（17分）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发.(1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率；(2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立.①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差；②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值.【答案】(1)(2)①分布列见详解，期望，方差；②【分析】（1）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案；（2）①根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望和方差；②根据二项式定理即可求得最大项.【详解】（1）设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，，“两个粒子通过号门后进入室都为上旋状态”，则，，……………2分……………3分则.……………4分（2）①返回室的粒子个数的可能性为，，，，……………5分服从二项分布：……………6分，，，，，……………8分所以期望，……………9分方差；……………10分②的可能取值为，此时，……………11分个粒子返回室的概率为，……………13分则……………14分故，所以，……………16分当时，取最大值.……………17分19．设是定义域为的函数，当时，.(1)已知在区间上严格减，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格减函数；(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；(3)已知，且对任意，当时，有，证明：.【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）结合（1），利用极值的定义进行求解即可；（3）利用题目条件，代入，分和两种情况进行讨论即可证明.【详解】（1）不妨设，在区间上严格减，对任意，有，……………1分又，……………3分函数在区间上是严格减函数；……………4分（2）由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增，当在区间上严格减时，在区间上是严格减，……………5分又当时，