2025 小学六年级数学下册正比例关系的巩固练习课件

一、知识回顾：从定义到本质的再梳理演讲人01.02.03.04.05.目录知识回顾：从定义到本质的再梳理典型例题：从基础到变式的分层突破易错突破：学生常犯错误的深度剖析生活应用：从数学到现实的联结综合提升：分层练习，巩固与拓展并重2025小学六年级数学下册正比例关系的巩固练习课件各位老师、同学们：今天，我们将围绕“正比例关系”展开一节系统的巩固练习课。作为六年级下册“比例”单元的核心内容之一，正比例关系不仅是后续学习反比例、比例尺、用比例解决问题的重要基础，更是培养学生“变量意识”“函数思想”的启蒙载体。在前期的新授课中，我们已经理解了正比例的定义、掌握了判断方法，也尝试用图像和表达式描述过这种关系。但数学知识的内化需要“螺旋上升”的过程，尤其是对“两种相关联的量”“比值一定”这两个核心要素的深层理解，需要通过针对性的练习进一步深化。接下来，我将结合教学实践中的典型问题，从“知识回顾—典型例题—易错突破—生活应用—综合提升”五个环节，带大家完成一次扎实的巩固之旅。01知识回顾：从定义到本质的再梳理知识回顾：从定义到本质的再梳理要解决正比例关系的问题，首先需要精准把握其数学本质。让我们先通过“三问三答”回顾核心概念，为后续练习筑牢根基。1什么是正比例关系？教材中给出的定义是：“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。”这里有三个关键词需要重点标注：相关联的量：一种量的变化会直接引起另一种量的变化（如时间变化会引起路程变化，数量变化会引起总价变化）。同时变化：两种量必须“同增同减”（一个扩大，另一个也扩大；一个缩小，另一个也缩小）。比值一定：相对应的两个数的商是一个固定的常数（如速度=路程/时间，单价=总价/数量）。1什么是正比例关系？举个简单的例子：小明每分钟走60米，那么他走的时间和路程就是成正比例的量。时间从1分钟增加到2分钟，路程从60米增加到120米；时间减少到0.5分钟，路程减少到30米。这里路程÷时间=60（米/分），比值始终不变，因此是正比例关系。2如何用数学表达式表示正比例关系？如果用字母(x)和(y)表示两种相关联的量，用(k)表示它们的比值（一定），那么正比例关系可以表示为：[\frac{y}{x}=k\quad(k\text{一定})]或变形为：[y=kx]这个表达式是判断正比例关系的“数学工具”，也是后续用比例解决问题的关键依据。3正比例关系的图像有什么特征？在坐标系中，正比例关系的图像是一条经过原点的直线。例如，当(y=2x)时，图像上的点依次为(0,0)、(1,2)、(2,4)、(3,6)……将这些点连接起来，会形成一条从原点出发、向右上方延伸的直线。这条直线的陡峭程度由(k)（比值）决定：(k)越大，直线越“陡”；(k)越小，直线越“平缓”。小练习：判断以下各组量是否成正比例关系，并说明理由。（1）圆的周长和直径；（2）圆的面积和半径；（3）正方形的周长和边长。（答案：（1）成，因为周长÷直径=π（一定）；（2）不成，因为面积÷半径=πr（r变化，比值不固定）；（3）成，因为周长÷边长=4（一定）。）02典型例题：从基础到变式的分层突破典型例题：从基础到变式的分层突破掌握了核心概念后，我们需要通过不同类型的题目，检验对正比例关系的理解是否到位。以下题目覆盖了“判断关系”“图像分析”“实际应用”三大常见题型，难度逐步提升。1基础判断类：抓住“比值一定”的核心01020304例1：下表是某辆汽车行驶时的时间与路程记录：01|---------|---|---|---|---|03|时间/时|1|2|3|4|02|路程/千米|80|160|240|320|041基础判断类：抓住“比值一定”的核心表中的时间和路程是相关联的量吗？（2）写出几组路程与时间的比，求出比值，并说明比值的意义。1基础判断类：抓住“比值一定”的核心时间和路程成正比例关系吗？为什么？解析：（1）是相关联的量，因为时间变化时，路程也随之变化。（2）路程与时间的比分别为80:1=80，160:2=80，240:3=80，320:4=80，比值均为80，代表汽车的速度（千米/时）。（3）成正比例关系，因为路程和时间的比值（速度）一定。总结：判断正比例关系的关键步骤是：①确认两种量相关联；②计算几组对应数的比值；③验证比值是否一定。2图像分析类：从“形”到“数”的转化例2：下图是张老师周末骑行时路程与时间的关系图像（图略，假设图像为过原点的直线，标注点(2,30)）。（1）图像中的直线经过原点吗？这说明什么？（2）骑行2小时的路程是多少？骑行1小时的路程呢？（3）路程与时间成正比例关系吗？请用表达式说明。解析：（1）经过原点，说明当时间为0时，路程也为0（符合实际情境）。（2）从图像中可知，2小时对应的路程是30千米，因此1小时的路程是30÷2=15千米（即速度为15千米/时）。（3）成正比例关系。设时间为(t)小时，路程为(s)千米，则(s=2图像分析类：从“形”到“数”的转化15t)，符合(y=kx)的形式，比值(k=15)一定。总结：正比例图像的“过原点”特性是判断的重要依据，同时可以通过图像上的点求出(k)值，进而写出表达式。3实际应用类：用正比例解决生活问题例3：某印刷厂用同一台机器印刷书籍，5分钟印刷了100本。照这样计算：（1）12分钟能印刷多少本？（2）印刷480本需要多少分钟？解析：首先判断印刷数量与时间是否成正比例关系：因为“照这样计算”意味着印刷速度（每分钟印刷本数）一定，即印刷数量÷时间=速度（一定），因此成正比例关系。（1）设12分钟印刷(x)本，则(\frac{100}{5}=\frac{x}{12})，解得(x=240)。（2）设印刷480本需要(y)分钟，则(\frac{100}{5}=\3实际应用类：用正比例解决生活问题frac{480}{y})，解得(y=24)。总结：用正比例解决问题的步骤是：①判断两种量是否成正比例；②设未知数，列出比例式（利用比值相等）；③解方程求解。03易错突破：学生常犯错误的深度剖析易错突破：学生常犯错误的深度剖析在教学实践中，我发现学生对正比例关系的理解容易出现以下误区。通过典型错误案例的分析，可以帮助我们更精准地规避问题。1误区一：“相关联的量”≠“正比例的量”错误案例：判断“人的身高和年龄是否成正比例”。部分学生认为“年龄增长，身高也增长”，因此成正比例。错误原因：忽略了“比值一定”这一关键条件。实际上，人在不同年龄段身高增长速度不同（如青春期增长快，成年后基本不变），身高与年龄的比值不固定，因此不成正比例。纠正方法：判断时不能仅看“同增同减”，必须验证比值是否恒定。2误区二：混淆“正比例”与“同时变化”错误案例：判断“圆的半径和周长是否成正比例”。有学生认为“半径扩大，周长也扩大”，但忘记计算比值。错误原因：虽然半径和周长同时变化，但关键是要计算周长÷半径=2π（一定），因此成正比例。这里“同时变化”是前提，“比值一定”是核心。纠正方法：用具体数值验证，例如半径2cm时周长12.56cm（12.56÷2=6.28），半径3cm时周长18.84cm（18.84÷3=6.28），比值均为2π，因此成正比例。3误区三：忽略“0”的特殊情况错误案例：判断“正方形的边长为0时，面积是否为0”是否符合正比例关系。部分学生认为“边长为0时面积为0，符合图像过原点”，但忽略了实际问题中边长不能为0的情况。01错误原因：数学上，正比例关系允许(x=0)时(y=0)，但实际问题中需考虑量的实际意义（如边长、时间等不能为负数或无意义的值）。02纠正方法：结合实际情境判断，例如“购买铅笔的数量与总价”中，数量为0时总价为0是合理的；但“树的高度与生长时间”中，时间为0时高度可能为树苗的初始高度（非0），此时图像不过原点，不成正比例。0304生活应用：从数学到现实的联结生活应用：从数学到现实的联结数学的价值在于解决实际问题。正比例关系在生活中广泛存在，通过以下案例，我们可以更深刻地体会“数学源于生活，用于生活”。1购物中的正比例：总价与数量超市中，同一商品的单价固定时，总价与购买数量成正比例。例如，苹果单价8元/千克，购买2千克总价16元，3千克24元，总价÷数量=8（一定）。2行程中的正比例：路程与时间匀速行驶时，速度固定，路程与时间成正比例。例如，高铁以300千米/时的速度行驶，1小时300千米，2小时600千米，路程÷时间=300（一定）。3工程中的正比例：工作量与时间机器匀速工作时，工作效率固定，工作量与时间成正比例。例如，一台打印机每分钟打印20页，5分钟100页，10分钟200页，工作量÷时间=20（一定）。小任务：请同学们课后观察生活，记录3个成正比例关系的例子（要求写出两种量、比值的意义），下节课分享。05综合提升：分层练习，巩固与拓展并重综合提升：分层练习，巩固与拓展并重为了全面检验学习效果，我们设计了“基础题—提高题—拓展题”三个层次的练习，难度逐步递增，满足不同学习需求。1基础题（面向全体，巩固核心）判断下列各组量是否成正比例关系，并说明理由：（1）每袋面粉的质量一定，面粉总质量和袋数；（2）一个人的体重和他的年龄；（3）正方形的边长和周长。下表是某手机充电时电量与时间的记录：|时间/分|10|20|30|40||---------|----|----|----|----||电量/%|20|40|60|80|（1）电量与时间成正比例关系吗？为什么？（2）充电50分钟，电量会达到多少？2提高题（针对中等生，强化应用）20152016在右侧编辑区输入内容某工厂加工零件，3小时加工了120个。照这样计算：正比例图像上有一点(5,25)，请写出它的表达式，并画出图像的大致形状。（2）加工560个零件需要多少小时？在右侧编辑区输入内容（1）8小时能加工多少个？3拓展题（挑战优生，深化思维）小明和小红同时从家出发去学校，小明步行速度为60米/分，小红骑自行车速度为180米/分。（1）分别写出两人路程与时间的表达式；（2）在同一坐标系中画出两人的路程-时间图像，比较图像的陡峭程度，说明原因；0201033拓展题（挑战优生，深化思维）3分钟后，两人相距多远？结语：正比例关系的本质与学习意义通过今天的巩固练习，我们再次明确：正比例关系的核心是“两种相关联的量，比值一定”。它不仅是数学中的重要概念，更是描述现实世界中“匀速变化”现象的有力工具。从购物时的总价与数量，到行程中的路程与时间，再到工程中的工作量与时间，正比例关系贯穿于生活的方方面面。希望同学们在今后的学习中，不仅能熟练判断正比例关系、解决相关问题，更能用“