高考数学 第七章　§7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系

§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系分值：90分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.若直线上有两个点在平面外，则()A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内C.直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内2.下列说法正确的是()A.空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面B.若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面C.和两条异面直线都相交的两直线是异面直线D.若两直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面3.下列推理错误的是()A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β=ABC.A∈l，l⊂α⇒A∈αD.若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线4.在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P()A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.可能在直线AC上，也可能在BD上D.不在直线AC上，也不在直线BD上5.已知平面α∩平面β=l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l=M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A.直线CM B.直线BMC.直线AB D.直线BC6.安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体ABCD-A1B1C1D1.已知该正方体中，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过D1，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线AD1所成的角为()A.π3 B.π6 C.π二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.给出以下四个命题，其中错误的是()A.不共面的四点中，其中任意三点不共线B.若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面C.若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面D.依次首尾相接的四条线段必共面8.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E，F分别是棱PD，PA的中点，下列说法正确的有()A.多面体ABF-DCE是三棱柱B.直线BF与PC互为异面直线C.平面ADP与平面BCP的交线平行于EFD.四棱锥P-ABCD和四棱锥P-BCEF的体积之比为8∶3三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点.若α∩β=l，m⊂α，n⊂β，m∩n=P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为.10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有对.四、解答题(共27分)11.(13分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点.(1)求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值；(7分)(2)求三棱锥A1-D1EF的体积.(6分)12.(14分)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点.(1)若D1E与CM相交于点K，求证：D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；(4分)(2)若AB=2，AA1=4，∠BAD=π3，求点D1到平面FBD的距离.(10分13题5分，14题6分，共11分13.(2025·绵阳模拟)在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，BC=25，CD=2，沿对角线BD将△CBD折起，所得四面体ABCD外接球的表面积为24π，则异面直线AB与CD所成的角为()A.30° B.45° C.60° D.90°14.(多选)(2025·常州模拟)如图，在正四面体ABCD中，已知AB=2，O为棱AB的中点.现将等腰Rt△EAB绕其斜边AB旋转一周(假设△EAB可以穿过正四面体内部)，则在旋转过程中，下列结论正确的是()A.△EAB绕斜边AB旋转一周形成的旋转体体积为πB.O，C，D，E四点共面C.点E到CD的最近距离为3-1D.异面直线CD与AE所成角的范围为π答案精析1.D2.D3.D[由A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，根据基本事实2可得l⊂α，故A正确；由A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，根据基本事实3可得α∩β=AB，故B正确；由A∈l，l⊂α可得A∈α，故C正确；由于平面α和平面β位置不确定，则直线a与直线b位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故D错误.]4.B[因为EF∩HG=P，E，F，G，H四点分别是AB，BC，CD，DA上的点，所以EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，所以P既在平面ABC内，又在平面ACD内，所以P在平面ABC和平面ACD的交线上，又平面ABC∩平面ACD=AC，所以P∈AC.]5.B[已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC⊂γ.又AC∩l=M，则M∈γ，又平面α∩平面β=l，则l⊂α，l⊂β，又因为AC∩l=M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ=BM.]6.A[如图所示，在平面AA1D1D中，连接D1E与DA的延长线交于点H，则HA=AD，在平面CC1D1D中，连接D1F与DC的延长线交于点G，则GC=CD，则GH为平面D1EF与平面ABCD的交线l，且GH∥AC，而在等边△ACD1中AC与AD1所成的角为π故l与直线AD1所成的角为π3.7.BCD[反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A正确；如图1，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B错误；如图2，a，b共面，a，c共面，但b，c异面，故C错误；如图3，a，b，c，d四条线段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误.]图1图2图38.BCD[对于A，多面体ABF-DCE中，由直线AF∩DE=P，得平面ABF与平面DCE不平行，显然多面体ABF-DCE中不存在平行的两个面，则该多面体不是三棱柱，A错误；对于B，由E，F分别是棱PD，PA的中点，得EF∥AD∥BC，BF⊂平面BCEF，C∈平面BCEF，P∉平面BCEF，C∉BF，因此直线BF与PC互为异面直线，B正确；对于C，由AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，则AD∥平面PBC，令平面PBC∩平面PAD=l，而AD⊂平面PAD，则l∥AD∥EF，C正确；对于D，连接AC，CF，令四棱锥P-ABCD的体积为V，由E，F分别是棱PD，PA的中点，得V三棱锥P-BCF=V三棱锥B-PCF=12V三棱锥B-PCA=12V三棱锥P-ABC=14V，V三棱锥P-CEF=V三棱锥C-PEF=14V三棱锥C-PDA=14V三棱锥P-ADC=18V，因此四棱锥P-BCEF的体积V四棱锥P-BCEF=V三棱锥P-BCF+V三棱锥P-CEF=39.P∈l10.3解析画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF).故共有3对.11.解(1)如图，设BB1的中点为H，连接HF，EH，A1H，因为F是CC1的中点，所以A1D1∥CB∥HF，A1D1=CB=HF，因此四边形A1D1FH是平行四边形，所以D1F∥A1H，D1F=A1H，因此∠EA1H是异面直线A1E与D1F所成的角或其补角，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是AB的中点，所以A1E=A1H=22+EH=12+由余弦定理可知，cos∠EA1H=A1E2+所以异面直线A1E与D1F所成角的余弦值为45(2)因为A1D1∥HF，HF⊄平面A1D1E，A1D1⊂平面A1D1E，所以HF∥平面A1D1E，因此点H，F到平面A1D1E的距离相等，即V三棱锥A1-D1V三棱锥D1-A1EH==13×2×22所以三棱锥A1-D1EF的体积为1.12.(1)证明∵D1E与CM相交于点K，∴K∈D1E，K∈CM，而D1E⊂平面ADD1A1，CM⊂平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，∴K∈AD，∴D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K.(2)解∵四边形ABCD为菱形，AB=2，∴BC=CD=2，而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD，∴CC1⊥底面ABCD，又∵F是CC1的中点，CC1=4，∴CF=2，∴BF=DF=22，又∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=∴BD=AB=2，∴S△FBD=12×2×(22)连接D1F，D1B(图略)，设点D1到平面FBD的距离为h，点B到平面DD1F的距离为d，则d=2sinπ3=又∵V三棱锥D∴13×S△FBD×h=13×∴13×7×h=13×1解得h=4217.即点D1到平面FBD的距离为13.D[取BC中点O1，AD中点O2，BD中点F，则O1为△BCD外心，O2为△ABD外心，O1F∥CD，O2F∥AB，因为AB=CD=2，则O1F=O2F=1，翻折后，过O1作直线垂直于平面BCD，过O2作直线垂直于平面ABD，两直线的交点O即为四面体ABCD的外接球球心，设外接球的半径为r，由题意可得4πr2=24π，可得r=6即OA=OC=6，且O1C=O2A=则由勾股定理可得OO1=OO2=1，由O1F=O2F=1得四边形OO1FO2为菱形，由OO2⊥平面ABD，O2F⊂平面ABD，可得OO2⊥O2F，所以四边形OO1FO2为正方形，∠O1FO2=90°，由O1F∥CD，O2F∥AB可得异面直线AB与CD所成的角为∠O1FO2=90°.]14.BD[对于A，因为AB=2，所以等腰Rt△EAB的直角边为2，斜边的高为1旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1，所以形成的旋转体的体积V=2×13×π×12×1=2π3，对于B，在正四面体ABCD中，各个侧面都是等边三角形，因为O为棱AB的中点，所以DO⊥AB，CO⊥AB，又DO∩CO=O，且DO，CO⊂平面DOC，所以AO⊥平面DOC，又AO⊥OE，OE与平面DOC有公共点O，所以OE在平面DOC内，所以O，C，D，E四点共面，故B正确；对于C