2025-2026学年北师大版安徽省宿州市雪枫中学高一上学期期末数学模拟卷（含解析）

2025-2026学年高一上学期期末数学模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题58分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)设命题，，则p的否定为（）A.， B.，C.， D.，已知集合，，则的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.16若幂函数的图象过点，则不等式的解集为（）A. B.C. D.某袋中有编号为的个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（）A.B.C.D.已知，是两个不同的正数，满足，则的最小值是（）A. B. C.D.设随机事件A，B满足，，则（）．A. B. C. D.近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含量的时，的值约为（）（参考数据：）A.305 B.483 C.717 D.879已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C.D.二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．下列说法正确的是（）A.一组数据1，4，14，6，13，10，17，19分位数为5B.一组数据，3，2，5，7的中位数为3，则的取值范围是C.某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为.现用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的产品有8件，则样本容量的值为48D.在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的，且样本容量为210，则该组的频数为50已知函数，下列说法正确的是（）．A.函数的图象恒过定点B.函数在区间上单调递减C.函数在区间上的最小值为0D.若对任意恒成立，则实数的取值范围是已知对，，则下列说法中正确的是（）A.B.可以为一次函数C.D.第II卷（非选择题92分）填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．若，，…，的方差为，则，，…，的方差为________．已知函数，则关于不等式的解集是________．已知集合，集合满足：①每个集合恰有8个元素②.若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值与最小值之和为________.解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．AI正在重构养老模式，如北京天坛医院落地全球首个脑机接口临床病房，杭州某养老院引入“AI情感陪伴系统”等，某网站为此进行了调查．现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：（1）根据频率分布直方图求实数的值及样本数据的平均数；（2）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，分别用，，，，，来表示，再从这6人中随机抽取2人进行电话采访，（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设为事件“抽取的2人中至多有1人的年龄在这一组”，求事件发生的概率．大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．（1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；（2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．已知函数，.（1）求证：为奇函数；（2）解关于的不等式；（3）若恒成立，求实数的取值范围．设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数（1）若，求的“准不动点”：（2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围：（3）设函数若使得成立，求实数的取值范围.2025-2026学年高一上学期期末数学模拟卷 参考答案 选择题题号1234567891011答案CCDADBCBABCACDACD一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)设命题，，则p的否定为（）A.， B.，C.， D.，【解析】C命题，，则的否定为：，已知集合，，则的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.16【解析】C，即，等价于且，得，故；，得，故，故，其子集个数为.若幂函数的图象过点，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【解析】D设幂函数，由，得，解得，，函数在定义域上单调递增，不等式，解得，所以原不等式的解集为.某袋中有编号为的个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（）A.B.C.D.【解析】A甲先从袋中摸出一个球，有4种可能的结果，乙再从袋中摸出一个球，有4种可能的结果，如果按（甲，乙）方法得出总共的结果为：16个，甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为12个，甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是.已知，是两个不同的正数，满足，则的最小值是（）A. B. C.D.【解析】D由可得，，，则，当且仅当时取等号．设随机事件A，B满足，，则（）．A. B. C. D.【解析】B，，.近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含量的时，的值约为（）（参考数据：）A.305 B.483 C.717 D.879【解析】C因为臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，所以当臭氧含量为初始含量的时，得，计算得，化简得，所以.已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C.D.【解析】B令，由可得，即，解得或，当，即时，，当，即时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，直线与函数的图象有两个交点，又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线与函数的图象有三个交点，由图可得，所以实数的取值范围是.二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．下列说法正确的是（）A.一组数据1，4，14，6，13，10，17，19分位数为5B.一组数据，3，2，5，7的中位数为3，则的取值范围是C.某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为.现用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的产品有8件，则样本容量的值为48D.在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的，且样本容量为210，则该组的频数为50【解析】ABC对于A，将数据按照从小到大的顺序排列为1，4，6，10，13，14，17，19，该组数据共8个，，因此取第2个数和第3个数的平均数作为分位数，即，A正确；对于B，该组数据共5个，因此取按照从小到大的顺序排列后的第3个数作为中位数，将除去外的已知数据按照从小到大的顺序排列为2，3，5，7，即加入后第3个数为3，则的取值范围是，B正确；对于C，依题意，某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为，则用分层随机抽样的方法，若样本中种型号的产品有8件，那么样本中种型号的产品有16件，种型号的产品有24件，故容量为，C正确；对于D，设其他8个小矩形面积和为，则其中1个小矩形的面积为，由样本频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1可得，，解得，即该组频率为，频数为，故D错误.已知函数，下列说法正确的是（）．A.函数的图象恒过定点B.函数在区间上单调递减C.函数在区间上的最小值为0D.若对任意恒成立，则实数的取值范围是【解析】ACD代入函数解析式，成立，故A正确；当时，，又，所以，由复合函数单调性可知，时，单调递增，故B错误；当时，，所以，故C正确；当时，恒成立，所以由函数为增函数知即可，解得，故D正确.已知对，，则下列说法中正确的是（）A.B.可以为一次函数C.D.【解析】ACD对于A，令可得，即；又，可得，即A正确；对于B，假设为一次函数成立，可设为，由可得；整理可得，即，显然一次函数不会恒成立，因此假设不成立，即B错误；对于C，令，可得，即；用替换可得，所以，也即，因此C正确；对于D，由选项C中分析可知，即可得，所以函数是以6为周期的周期函数，因此；令可得，由可得；又，所以；因此，所以，即D正确.第II卷（非选择题92分）填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．若，，…，的方差为，则，，…，的方差为________．【解析】依题意，的方差为，那么的方差为.已知函数，则关于不等式的解集是________．【解析】因为，定义域为R，所以，所以为奇函数，又，因为，所以在R上单调递减，则在R上单调递增，又R上单调递减，所以在R上单调递减，因为，所以，则，即，解得，即解集为.已知集合，集合满足：①每个集合恰有8个元素②.若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值与最小值之和为________.【解析】因集合满足：①每个集合恰有8个元素②.故集合中一定分别含有8个不同数值.当集合中元素的最小值分别是6，7，8时，最大值为29，22，15时，幸运数的和最小，此时，，幸运数为；，幸运数为；幸运数为，则取得最小值为；当集合中元素的最小值分别是6，13，20时，最大值为29，28，27时，幸运数的和最大，此时，，幸运数为；，幸运数为；幸运数为，则取得最大值为.故的最大值与最小值之和为.解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．【解析】（1）当时，或；∵，∴或；（2）∵“”是“”的充分条件，∴，∵，即，∴或，∴或，而，要使得，需有或，∴或．AI正在重构养老模式，如北京天坛医院落地全球首个脑机接口临床病房，杭州某养老院引入“AI情感陪伴系统”等，某网站为此进行了调查．现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：（1）根据频率分布直方图求实数的值及样本数据的平均数；（2）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，分别用，，，，，来表示，再从这6人中随机抽取2人进行电话采访，（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设为事件“抽取的2人中至多有1人的年龄在这一组”，求事件发生的概率．【解析】（1）由频率分布直方图可知，，解得，样本数据的平均数为；（2）与两组的频率之比为1：2，现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为，，组抽取4人，记为，，，，（i）所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种，（ii）事件发生的概率．大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．（1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；（2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．【解析】（1）因为投入10万元，即，若只经销商品，则所获得的收益为万元；若只经销商品，则所获得的收益为万元.（2）设商品投入万元，则商品投入万元，可知总收益，若，则，当且仅当，即时，等号成立，所以在上的总收益最大值为16万元；若，则，可知的图象开口向下，对称轴为，则，所以在上的总收益最大值小于万元；因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元.已知函数，.（1）求证：为奇函数；（2）解关于的不等式；（3）若恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）函数，即，可得，解得或，可得的定义域为，关于原点对称，又，则为奇函数.（2）不等式，即为式，设，即，可得在上单调递减，所以由，所以，解得，所以原不等式的解集为.（3）由题意，则，解得，所以恒成立，即恒成