2023年河南豫东南联盟1月高三年级下册开学摸底考试

豫东南名校联盟2023年1月高三下学期开学摸底考试

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.已知复数Z满足Z(l-i)=|l-iL则2=()

A.1B.-+-iC.—+—iD.l+i

2222

【答案】C

【分析】根据复数模的计算以及复数的除法，即可求得答案.

【详解】由题意知复数z满足z(l-i)=|l-i|,

即=&,…正==与乌，

1-i222

故选：C

2.已知集合人=卜，=3={x|y=lgx},则Al8=()

A.(O.+a>)B.[0,+e)C.[1,+<»)D.0

【答案】A

【分析】由函数值域和定义域的求法可求得集合48,由交集定义可得结果.

【详解】x-l>0,/.y=VA-10,即4=[0,+00)；

由对数函数定义域知：8=(0,y)；/.A8=(0,y).

故选：A.

3.已知等差数列{q},前，】项和为S”，S3n=贝”().

A.200B.300C.500D.1000

【答案】C

【分析】由等差数列求和公式及S-100可得.2%+49d=20,则由整体法可求小.

【详解】设数列的首项为可，公差为d,

则5,0-S*)=306/,+15x296/-(20«1+10x19J)=100,

50x49

化简得2%+491=20,S%=50«,+d=25(24+49d)=500.

故选：C.

4.2021年，我国全年货物进出口总额391009亿元，比上年增长21.4%.其中，出口217348

亿元，增长21.2%：进M173661亿元，增长21.5%.货物进出厂顺差43687亿元，比上年增

加7344亿元.如图是我国2017-2021年货物进出口总额统计图，则下面结论中不正确的是

()

A.2020年的货物进出口总额322215亿元B.2020年的货物进出口顺差36343亿元

C.2017—2021年，货物进口总额逐年上升D.2017—2021年，货物出口总额逐年上升

【答案】C

【分析】根据2017—2021年货物进出口总额统计图，依次分析各个选项，即可得到答案.

【详解】对于A,2020年的货物进出I」总额为14物36+179279=322215亿元,故A正确:

对于B,2020年的货物进出I」顺差为179279742936=36343亿元，故B正确：

对于C,2020年的货物进口总额为142936亿元，相对于2019的货物进口总额143254亿元

下降了，故C错误：

对于D,2017-2021年，货物出口总额逐年上升，故D正确.

故选：C

5.设a为锐角，且sin(e+a卜而(1+。)=[，则()

A.ae闯B.a倡)C.aeg.f]D.atg

【答案】C

【分析】根据诱导公式及二倍角的正弦公式化简，再由函数的性质可得解.

71।.[2兀।..7t、7t、1

-+«sin—+a=sin(-+a)cosz(-+«)=-,

(o/\3)665

.•.sin(m+2a)=：<:，且a为锐角

352

n_5n兀日兀,n

—F2a>—.ct>一911.—F2a<?t,a<一,

36433

故选：c

6.如图是一个简单几何体的三视图，若"叶〃=6,则该几何体体积的最大值为()

俯视图

93

A.-B.-C.6D.3

22

【答案】D

【分析】首先由三视图，确定几何体，再利用基本不等式求体积的最大值.

【详解】根据三视图可知，几何体是如图所示的三棱锥A-BCD四个顶点为长方体的顶点,

则几何体的体积v='X,"〃?X2=L"〃?《(竺士］=3,当n.仅当〃?=〃=3时，等号成立,

323312J

7.已知在平行四边形ABC。中，AB=m,AD=2,Z4DC=120°,BE=^BCtABAE=\S^

则/〃=()

A.6B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】利用向量加减法运算，对石进行分解，再利用数W枳公式即可求解.

【详解】因为A8CD为平行四边形，所以A8=Z)C，BC=AD，又BE=：BC

=DC^DC-^DA\=\DC^DCDA,乂因为AB=，〃，AD=2,Z4DC=120°,则

\DC\--DC-DA=m:--x2x/?»xcosl20=m2+—/??=18,因为/〃>0,解得〃7=4.

11222

故选：B

8.下列结论不正确的是（）

A.若事件A与6互斥，则P（AuB）=P（A）P（6）

B.若事件A与4相互独立，则外人c8）=P（4）P（3）

c.如果x、y分别是两个独立的随机变量，那么。[x+y]=o[x]+o[y]

D.若随机变量y的方差。出]=3,则Q[2Y+1]=12

【答案】A

【分析】由已知，选项A,根据事件A与6互斥，可知夕（人B）=P（A）+P⑻;选项B,

根据事件A与8相互独立，n]•知尸（Ac3）=P（A）P（8）：选项C,根据XJ分别是两个独

立的随机变量，可得Q[x+H="x]+o[y]：选项D,由。3=3,可得

D[2F+l]=22xD[y]=12,即可作出判断.

【详解】由已知，

选项A,若事件A弓A互斥，则P（4A）=P（A）+P（"）,故该选项错误।

选项B，若事件A与8相互独立，则尸（AC8）=P（A）P（B）,故该选项正确；

选项c,若X、Y分别是两个独立•的随机变量，那么以x+y]=o[x]+o[y],故该选项正确；

选项D,若随机变量y的方差D[y]=3,则。[2y+l]=22xD[y]=4x3=12,故该选项正确：

故选：A.

9.已知函数，Q）=cosx+ar2-l.awR,若对于任意的实数「恒有〃幻之0,则实数。的取

值范围是（）

A.（i,+o5）B.（；,+8）C.[一;,+8）D.（*）

【答案】A

【分析】由己知可将题目转化为cosx+G—i",即加21-COSXNO,显然“20,运用参

.X

sin—

数分离和二倍角公式可得2a22,求出右边函数的范围，即可得解.

x

<2)

【详解】对于任意的实数*恒有/*)20,R|Jcosx+ar2-1>0，

即aF21-cosx20,显然。之0,

当x=0时，显然成立：由偶函数的性质,只要考虑x>0的情况即可,

.x

2sin2sin

当x>0时，.l-cosx_2,BP2a>2

a—;=;x

<2>

sin/¥

由A>0,则j=/>0,则题目转化为2a之

令g(£)=sin1,f>0,求导g")=cosf-l«0,

故函数&Q)在(0,+R)上单调递减，.•.8(/)<g(O)-O,B|Jsinr</,

sinV

A—<1,即2<1,所以2a21,解得“之不

tX

<2，

所以实数。的取值范围是耳,+8)

故选：A

10.设@)"=1匿2。，2"=噢?(")=5,则“、b、c的大小关系是()

A.h<a<cB.c<b<a

C.a<h<cD.h<c<a

【答案】B

【分析】利用零点存在定理计算出“、〃的取值范围，利用对数函数的单调性可得出c<0,

即可得出。、/八。的大小关系.

【详解】构造函数/(x)=log/-因为函数丁=1鸣工、？=在(0,+8)上均为增

函数,

IQ

所以，函数/(x)为(o,y)上的增函数，k/(i)=-1<0,/(2)=^>O,

因为『(")=o，由零点存在定理可知1<“<2；

构造函数g(x)=2'-k)g；x,因为函数)，=21y=7°g广在(0,y)上均为增函数,

（#2匕<0,

所以，函数g(x)为(0,y)上的增函数，Mg册人皿

因为g®=°，由零点存在定理可知

因为（；）=5,则c=log：5<logj=0,因此，c<A<a.

故选：B.

II.已知圆M:X2+)，2—6X=0,过点(1.2)的直线4,被该圆M截得的弦

长依次为外，%，…，4,若4，%，…，””是公差为;的等差数列，则〃的最大值是()

A.10B.IIC.12D.13

【答案】D

【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出”的最大值

【详解】解：由题意

在圆M:/+y2—6.D中

A/:(x-3)2+y2=9

圆心M(3,0),半径为3,

过点人(1,2)的直线心4,…被该圆M截得的弦长依次为q,%,

过圆心作弦的垂线,交圆于DE两点，如下图所示:

由几何知识得，当M4/8C忖，

8。为最短弦长：OE为最长花长，为6.

y

此时，

宜线OE的解析式为：y=-A+3

直线3C的解析式为：y=x+1

...13-0+11ch

圆心到弦8。所在直线的距离：AM卜而用1=2,2

连接

必

由勾股定理得，

|M=j32—(2j2)'=l

.•.|陷=2|人同=2,

工最短弦长4=2,

•••丹，如，…，%是公差为g的等差数列

・•.设4=2+；(〃-1)=(〃+：

•.•最长弦长为6

解得：〃二13

故选：D.

•)

12.已知点A是椭圆、+)；=1的上顶点，0K分别是椭圆左右焦点，直线)，=依+"。>0)

符三角形4片工分割为面积相等两部分，则的取值范围是()

A.(0,1)B.1一41)

。［。1-丁丘"口D.［「铲11以1

【答案】B

【分析】由题意，A(0,l).£(-1,0),5(1,0),先求出直线y=or+b(a>0)与x轴的交点

为例卜1,0),由一，<0,可得点M在射线0£上.再求出直浅y=at+b(〃>0)和八行的

□N的坐标，分一种情况讨论：①若点M和点百重合，求得b=g；②若点M在点。和

点6之间，求得!<方<:：③若点M在点6的左侧，求得1-也<〃<」.求并集即可得〃

的取值范围.

【详解】解：因为点A是椭圆］+)，2=1的上顶点，月，巴分别是椭圆左右焦点，

所以。2=2，b2=1f从而有C*=02-6=1,

所以4(0,1),6(-L0),6(1,0),

由题意，三角形A£工的面积为鸟.04=1,

设直线)，=at+。(«>0)与x轴的交点为M［-，,。)，由直线y=ax+b(6/>0)将三角形A耳鸟

分割为面积相等的两部分，可得〃>0,所以-2<。，故点M在射线。匕上.

a

设直线)=冰+匕和A鸟的交点为N,则由,；：；：；“可得点N的坐标为(m，喏).

①若点M和点耳重合，如图:

把6、N两点的坐标代入直线产”+b,求得a=〃=g.

②若点M在点。和点£之间，如图:

由题意可得三角形NMF?的面积等于g,即:•“八•%=；,

乙乙

即;x（l+21q=；,可得”=4>0,求得

2\a）。+121-2/?2

口七1,1

故石—<.

，乙

③若点M在点尺的左侧，

设直线尸奴+》和的的交点为p,则由［="：'求得点/）的坐标为（r,n

此时，由题意可得，三角形4PN的面积等于〜即g(l--与|=g，

即।一与FF1化简可得2(1-力『=2-||.

2a+\a-i2y11

由于此时；＞＞＞心0,所以2(1-〃)2=炉-1卜］一4.

两边开方可得应(i-〃)=所以化简可得力＞1一等，

故有1一也

23

综上，力的取值范围应是

故选：B.

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.与函数/(力=6标-1在点(0,0)处具有相同切线的一-个函数的解析式是.

【答案】g(x)=3e'—3(答案不唯一)

【分析】先求出"x)=e"-l在点(0,0)处的切线为尸3x,再构造g(x)=3e'-3,经检验满

足要求.

t详解】/'(力=女叫故r(0)=3e0=3,

则函数/(工)=/-1在点(0⑼处的切线为y=3”，

不妨令g(x)=3e；3,g(O)=3e0-3=O,故(0,0)在g(x)=3e-3上，

g，(x)=3e"故/(0)=%。=3,则函数g(x)=3eX-3在点(0,0)处的切线为y=3x,满足要

求.

故答案为：g(x)=3c'-3

14.杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人很名参加了A8,C三个项目

的志愿者工作，每个项目需I名或2名志愿者，若甲不能参加A项目，乙不能参加8、C项

目，那么共有种不同的志愿者选拔方案.

【答案】10

［分析］由题意可得乙一定参加A项目，再分A项目只有一个人和A项目有2人两种情况讨

论，再根据分组分配问题即可得出答案按.

【详解】解：由题意可得乙一定参加A项目，

若A项目只有一个人时，即为乙，

则先将甲、丙、丁分为两组，有C；种，

再将两组分配到3,C两个项目，有A；和I

则有C;A；=6种不同的志愿者选拔方案，

若A项目有2人时，又甲不能参加A项目，

则只能从丙、丁中选1人和乙组队到A项目,有C；种,

再将剩下的2人分配到RC两个项目，有A；种，

则有=4种不同的志愿者选拔方案，

综上，共有6+4=10种不同的志愿者选拔方案.

故答案为：10.

15.在•.工8C中，内角A,B,。的对边分别为“，b,c,8c边的中点为。，线段4。的

中点为E,且八£.8。=/,则上"=____________.

tanC

【答案】-|

【分析】由向量的代数运算和数量积公式，可得^-/=4万,再利用同角三角函数的关系

及正余弦定理角化边，由巴吧=，+"：-：计算即可.

tanCa^+c-b-

【详解】8。边的中点为。，线段的中点为E,.,.4E=；AO=；（AB+AC）,又

BC=AC-AB^

4E-/?C=^（4/?+4C）（4C-4«）=^4C2-/A«2）=^（/>2-C2）=«2,即从_/=4/,

由同角三角函数的关系及正余弦定理，有：

sinBa2+b2-c2

〔an3cos8_sin3cosC）?（由/+Z/—c?_a?+4/_5

tanCsinCsinCcos8ca'+c2-b~a2+c2-b2a2-4a23'

cosC2ac

故答案为：-g

16.四楼台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为3的正方形，四条侧枝的长均为

母,则该四棱台的体积为.

【答案】12也##瞿#

66

【分析】如图，过用作BflBD,垂足为E,求出忸£|、忸闺，利用相似三角形的性质求

出\PO\,结合锥体的体枳公式分别求出四棱锥P-ABCR和P—ABCO的体枳即可.

【详解】如图，该四棱台为ABC。—

四棱锥P—ABC。的高PO交8。于。，交居。于。1,

由题意知，|町=3及,忸Qj=2及，过与作BflBD,垂足为E,

则阳=四*&!=与乂网=应，所以忸闽=小阿卜国考,

W闻」pal

在四棱铢P-4BCQ中,\AB\~\PB\*\PB\"\PO\

爵I

忐焉=■!，而|。。卜忸闽二手，

所

以

询

解得俨q|=而,

所以四棱锥AUG。的体积为皿4^・Pah竽，

四棱锥尸-ABCD的体积为Vi=1Si•(|叫I+|qo|)=半，

所以四楼台"CO-A禺C〃的体枳为匕*—Lf=竽一孚=竽.

故答案为：1±&.

6

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步躲.第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.已知数列4=(gj,d+2=31ogq”(〃€N)数列｛q,｝满足c“

⑴求数列｛，｝的通项公式：

（2）求数列上｝的前〃项和5“.

【答案】（1也=3〃-2

⑵--容

【分析】（I）苜先求108；4=”,再代入即可求数列他｝的通项公式；

（2）由（1）可知％=氏/”=（3〃-再利用错位相减法求和.

【详解】（1）

.•.log4=〃

2

又用+2=31og当=3H

.,也=3"-2.

（2）由（1）知"=3"-2,q=（£），

A”=呢）+4x（；）+7x（；）++（3/I-5）X（；）+（3〃-2）X（£]②,

18.某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛.比赛规

则如下：在A,B两个不同的地点投篮.先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分：

再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0

分.小明同学准备参赛，他目前的水平是在4处投篮投中的概率为〃，在3处投篮投中的概

3

率为1.假设小明同学每次投篮的结果相互独立.

（1）若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为求p；

（2）若〃记小明同学一次比赛结束时的得分为X,求X的分布列及数列期望.

4

【答案】（1）〃=^

4

（2）分布列见解析；七（X）=3.06

【分析】（1）将小明同学恰好投中2次分成三种情况，分别求得概率相加与已知概率相等构

造等式.解方程即可求出〃的值：

（2）首先由题意可得得分X的可能取值分别为5,3,2.1，0,分别计算每种情况的概

率即可求得X的分布列，最后根据数学期望的计算公式求解X的数学期望即可.

【详解】（1）设小明在A处投篮为事件A,在8处投篮分别为凡生

己知小明同学恰好投中2次，分三种情况

A中刀中刀不中:

A中用不中中；

A不中。中打中;

3223,、3394

•'.其概率为：p.-.—+p._.-+(1-=—,解得：P=~-

DJJ，JNA/

（2）由题意可得得分X的可能取值分别为5,3,2,1，0

P(X=5)=-x-x-=—；

'7455100

，八•,、I33332323459

FIX=3)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=——=—

',45545545510020

…4322123

'745510()25

D/vn132123123

'745545510025

综上所述可得X的分布列为

X53210

279331

rD

10020252525

306

E(X)=5x2L+3X曳+2X旦+1X卫+OX2==3.06

100100100100100Too

19.已知直四棱柱A8CO—AB©。中，底面48co为菱形，E为线段8Q上一点.

(1)证明：AE，平面6CQ：

(2)若44=3,48=2,/8八。=60,则当点£在何处时，CE与平面BCQ所成角的正弦值为

的

7,

【答案】(1)证明见解析；

(2)详见解析；

【分析】(1)先证明平面44。，平面8G。，进而证明4E#平面8G。：

(2)以。为原点建立空间直角坐标系,利用向量表示CE与平面5G。所成角的正弦值为1,

]3

进而求得点E位置为贴=:%q或RE=：R4

44

【详解】(1)直四桢柱ABC。-ABC"中

四边形AB|G。为平行四边形，则AB"G。

又AB^a平面BCQ,GOu"面8G。，则A4〃平面3G。

四边形A4G。为平行四边形，则AQJ/AG

又入。（Z平面8C|。，8GU平面BC\D,则AQ〃平面BCP

又入。u平面ABQ,A81U平面人BQ,4〃c4g=A

则平面A瓦平面8CQ,又AEu平面A瓦2

则AE/平面8CQ

（2）取A3中点M,连接。朋

又直四棱柱八8。。-4/©。1中，底而48。为菱形，ZBAD=60

则。M、DC、。口两两垂直，

以。为原点，分别以。“、DC、。口所在直线为工、），、z轴建立空间直角坐标系

则4G,T,0),仅N/5,1,0),C(020),D(0,0,0).Q(0,0,3)，4(>/5」,3)，G(0,2,3)

则。8=(石,1,0),DC；=(0,2,3),=(75,1,0)

设E(x,y,z),令。2=%0圈(0W/IW1),则*,y,z—3)=/1(6,1,0)

则x=&,y=Zz=3,则E(总入43),CE=(V3A,2-2,3),

设平面BQ。一个法向量为7=,

八八…>/3，〃+"=°

则。3〃=0，0G•〃=(),则..八

2〃+3/=0

令m=S贝r=2,则〃=（G,T2）

设CE与平面8C"）所成角为6

则sin"cos（CE,加=34-3（*2）+6—=6

77322+（/l-2）2+32-V3+9+47

解之得4=；|或/1=3=，

44

则当RE=；R4或RE=土O心时,CE与平面所成角的正弦值为与

20.已知双曲线C：^-4=1<«>0,b>0）的离心率为侦，点P（2,3）到其左右焦点

a'h-3

F1,工的距离的差为2.

⑴求双曲线C的方程：

（2）在直线x+2y+f=0上存在一点Q,过Q作两条相互垂直的直线均与双曲线C相切，求/的

取值范围.

【答案】（1）专一/=]

（2）[-Vio,Vio]

【分析】（1）根据双曲线离心率以及点0到左、右焦点的距离之差为2,可求得小b,c,

进而求得双曲线C的标准方程：（2）根据过点。作两条相互垂直的直线与双曲线C相切，讨

论斜率不存在和斜率存在两种情况，①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率

为0,则不满足条件：②若切践的斜率存在，则设其斜率为A,Q（.%,）b），从而得到切线方

程，再根据切线与双曲线C相切，联立方程组，T-v=1,得△=（）,进而可得关于女

y=k（x-x｛））+yc

的一元二次方程，再根据两切线互相垂直有人？七-1，即可得到芯+y：=2,再结合

推出”=靠学曰

。（%为）在直线尤+2），+/=0上,求薪即可得到，的取值范围.

【详解】（I）依题意有双曲线的左、右焦点为c,0）,5（c,0）,

c=2

则.I_3_________,得,

a=E

J（24-C）24-32-7（2-C）2+32=2

则〃2=c2-a2=4-3=1»

所以双曲线。的方程为《•-）；=1：

（2）①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0,则不满足条件；

②若切线的斜率存在，则设其斜率为3。（即先），则切线方程为尸攵（》-小）+%，

..-V*=1

联立3.，消y并整理得

尸

+6k(kx0-y0)x-3k*；+6Hovo_3y：-3=0,

则△=[6/(kx0-y0)丁一4x(1-3&2)x(-3*飞+6左％九一3y；-3)=0,

化简得12(5-%)2-(36公-12)=0,叫鹏-J4-。公-1)=0,

化成关于k的一元二次方程(4-3*2-2玉仿％+货+1=0,

设该方程的两根为年,即为两切线的斜率,所以K•&=即片+y；=2,

又点Q（%，%）在直线x+2y+f=0上，所以直线x+2y+/=0与圆/+/=2有交点，

所以Bp|/|<Vio,即一Sowjio,

Vl2+221

故r的取值范围为［-而，布］.

【点睛】直线与圆锥曲线的位置问题，常见思路是先讨论直线的斜率是否存在，再联立直线

与圆锥曲线，必要时根据△的情况得出相应的关系式，再根据题目中的其他条件，可求得参

数的值或者参数之间的关系式，最后求解即可.

21.已知函数/（x）=2hu+（4+3）x,〃wR.

⑴讨论/（"的单调性；

（2）对任意的x>0,f（x）<f/-1恒成立，求”的取值范围.

【答案】（1）答案见解析.

⑵(YO,-2]

【分析】3)由题知r(x)=»£F^，进而分4+320和。+3<0两种情况讨论求解即可；

(2)由题知x>0,a+3«xe'-L-也恒成立，进而令

XX

g(X)=£2仁I=*''-2ml,x>0,再根据e'之X+1,当旦仅当x=0时等号成立

XX

得g(x)=1,进而得。+3G即可得答案.

【详解】(I)解：函数/(尤)的定义域为(0,+")，/⑺二+o+3=2+(a+3)’,

XX

当4+3“时，即〃之一3时，0卜)>0在(0,y)上恒成立,〃x)在(0,+8)上单调递增,

2

当a+3<0时，即av-3时，令/'("=0得4=---2―,

4+3

所以，当xe(°，-磊)时，/V)>0'/(%)单调递增：

当xe卜磊，+8)时，r(x)<。，/(x)单调递减：

综上，当〃之-3时，/(外在(0,+8)上单调递增：当。<-3时J(x)在(0,一总)上单调递增,

在(-京，+8)上单调递减.

(2)解：因为对任意的x>0J(x)WxW-l恒成立，即x>0,2hu+g+3)x4fe；i恒成立,

所以x>0,a+3WxeX—,—必恒成立,

2l

A/、xe-2lnx-l八

令g(x)=-------------，尤>0,

以:2m-=即%-2仙-=*f-2^-1,>0,

因为g(x)

X

设/z(x)=ev-x-l,则“(x)=e*-1,

所以，当x«YO,0)时,力'(水0,〃(%)单调递减,当xe(O,”)时，g)>0,M6单调

递增，

所以，〃(x)N〃(O)=O,即e'0+l,当且仅当x=0时等号成立，

所以，e,^>ln.r2+A+l=21nx+.r+b当且仅当2lnx+x=0时等号成立,

令f(x)=2lnx+x,则«”=2+1>0恒成立，

所以，f(x)=2lnx+x在(0,+8)上单调递增，

因为彳■L)=21nl+，=-2+l〈0"(l)=]>0,

\eyeee

所以，方程21nx+x=0有解，e"+x之21nx+x+l等号能够取卦

r--/、eln,,v-21nx-l21nx+.v+l-2lnx-l,

所r以hJ，g(x)-------------->-------------------=1，

XX

所以，要使x>0,4+3«x