【《数形结合思想在小学三年级数学教学中的应用研究》18000字（论文）】

数形结合思想在小学三年级数学教学中的应用研究目录TOC\o"1-3"\h\u11274摘要 摘要随着《义务教育数学课程标准》（2011年版）的颁布，数学思想方法的运用在小学中备受关注。数学是一门复杂的学科，它将数量关系和空间形式统一研究，因此数形结合思想在数学的学习应用中处于非常重要的地位。本研究在对相关参考文献和课标的研读基础上，从教师教学和学生具体运用角度出发，以聊城市D小学6名小学三年级数学教师为主要调查对象，采取访谈的形式，对教师有关数形结合思想的理解以及在教学中的应用状况进行调查。同时通过对课堂实际的观察，并结合青岛版三年级教材的教学案例进行分析，了解在小学数学教学中数形结合思想应用的问题并且分析其产生原因，并提供有效的建议。经研究发现，数形结合思想在小学数学教学应用中存在以下问题：教师在课堂中缺乏渗透数形结合方法的教学、教师在教学设计中教学目标定位不准、教师渗透数形结合思想在教学内容选择上不合理、学生不能熟练运用数形结合方法。其产生的主要原因是：教师对数形结合知识的认识不充分、教师在课堂教学过程中没有遵循学生接受数形结合思想的认识规律、教师对教材中隐含的数形结合知识的发掘尚不足、教师在学生解题过程中缺乏渗透数形结合思想的具体要求。研究从理论出发，结合学生实际情况，针对教师教学中存在的一系列问题，对教师提出在小学里渗透数形结合思想方法的有效的策略：教师要进行学科知识学习，增强对数形结合知识的认识；把握学生认知发展规律，准确定位教学目标；研究教材，挖掘知识点背后的数形结合思想；改进教学方式，组织实践活动。关键词：小学数学；小学三年级；数形结合思想引论（一）研究背景《义务教育数学课程标准》（2011年版）中在数学思考方面标准提到了“学生要学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京：北京师范大学出版社，2012：9.同时标准也提到了“四基”以及“四能”，要求学生不仅要学习数学知识和技能，还需要在学习中理解和运用数学思想，感悟活动经验。所以说，教学中渗透数学思想已成为教师的必修课，数学思想的学习也成为学生的必修课。“数形结合”思想始终存在于“数与代数”和“中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京：北京师范大学出版社，2012：9.另外，对于小学时期的儿童尤其是三年级的学生来说，他们还是对抽象的概念、抽象的计算关系存在疑惑，很难明确的分析问题以至于去解决问题。相对地，小学生更容易接受具体的，可视化的物体，如实物模型、可视图形等。所以教师在教学中利用“数”与“形”的转化，学生就可以更好地进行代数和图形两方面的学习。可是在现如今的课堂中，教师运用这一思想仍存在问题。教师不够重视导致课堂渗透不足，而且学生在学习过程中由于认识不到位，在解题时常常效率不高。所以说，在整个小学阶段里有关数形结合思想方法的学习十分重要，这既符合课程标准的要求，也有助于学生的学习，是学生今后学习的基石。（二）文献综述1．国外研究现状（1）关于数形结合历史发展的研究“在人类的原始时代，数与形是结合在一起的。例如：天上一个太阳(数5与一只手的指头结合在一起)等等”。周述岐.数学思想与数学哲学[M].北京：中国人民大学出版社周述岐.数学思想与数学哲学[M].北京：中国人民大学出版社，1993：369.古希腊时泰勒斯第一次试着用逻辑来组织，把经验几何与证明几何联系起来。毕达哥拉斯派曾推崇“数是万物的本源，一切整数都有形”。在古典希腊时期“数”与“形”既急速发展也受到了一定的阻碍。在希腊数学的后期，三角术的出现使几何可以量化的程度到达了顶峰。几何学在之后的时期占据了主要的发展地位，直到笛卡尔的解析几何把“变量”引进数学，将形与数、几何与代数统一起来。微积分和四元数的发展让数学家们关注到了不同的数学思想与数学方法的相互融合。（2）数形结合在教学中运用研究Markovits等人为研究情境这一因素对函数图像的影响，以9年级学生为研究对象,在不同的情境下观察他们对于函数的学习状况。他们将学生分为不同的小组，在课上让他们用图象去表示函数，通过这一研究发现能力强的学生从过程过渡到结构对象要比能力弱的学生更快更早。王海鹞，王海鹞，关于小学数学课堂中数形结合教学的调查研究[D].金华：浙江师范大学，2011.5.褚海峰、白改平、曲兴元等人（2003）在《谈美国数学教学》中提到，在一次中美学生测试中发现，就创造性思维能力而言，中国学生往往指利用规规矩矩的方法，如代数和算术方法，美国学生在解题过程中既能用代数和算数的方法，也善于使用独特的有创造性的方法，如图形、表格、试探等。褚海峰，白改平，曲兴元.谈美国数学教学[J].外国中小学教育，2003，(8)：41-42.褚海峰，白改平，曲兴元.谈美国数学教学[J].外国中小学教育，2003，(8)：41-42.2.国内研究现状数学不仅要教给学生课本上的具体的数学知识，还要教给学生其中存在的的数学思想和方法。在学生学习过程中，他们不会只遇到相同的题目，更多的是遇到相同原理的题目，所以学生在解决数学问题前一定要足够了解其中的数学思想方法。由于“数形结合”思想方法对教育界以及数学界具有重要的影响，我国自古以来对于数形结合的研究从没断过，每年在各种刊物上都有有关的文章，也有各种有关书籍出版。（1）数形结合研究现状以“数形结合”为主题，通过计算机精确检索各大数据库以及对众多相关文献的研究，发现数形结合在小学数学教学应用的研究在逐步深入。在中国最早提出“数形结合”这一思想的是华罗庚先生，他在《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一文中提过：“数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非：切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”徐文龙.徐文龙.“数形结合”的认知心理研究[D].桂林：广西师范大学，2005.6.茅隆森也说过，数形结合思想指的是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，也就是使抽象思维同形象思维相结合，进而更好地把握数学问题的本质，将复杂、抽象的数学问题简单化、具体化。胡颖.数形结合在小学第二学段教学中的运用研究——以苏教版数学教材为例[D].镇江：江苏大学，2019.3.徐斌艳（2003）在《数学课程与教学论》一书中指出，数形结合的实质就是将抽象的思维同形象的思维、逻辑的思维同直观的思维相结合来解决问题。徐斌艳.数学课程与教学论[M].杭州徐斌艳.数学课程与教学论[M].杭州：浙江教育出版社，2003：91.（2）关于数形结合思想教育意义的研究数形结合思想能够把抽象、难懂的问题转化为具体的、直观的问题，学好这一思想有助于学生从小打好学习基础、自主解决问题。周集文（2019）在《论数形结合思想在小学数学中的应用》中指出，利用好数形结合的思想，能够有效地优化解决问题的思路和方法，达到事半功倍的效果。周集文.论数形结合思想在小学数学中的应用[J].课堂内外(教师版)(初等周集文.论数形结合思想在小学数学中的应用[J].课堂内外(教师版)(初等教育)，2019，(12)：85.戴春梅（2020）在其文章中谈到，小学数学里的很多题目学生很难理解，原因是“抽象”。在进行教学中利用数形结合，最大的好处是把“抽象”变得具体，从而学生兴趣增加。同时也降低了知识难度，学生的思维可以发散，他们在充分理解数学知识的同时，掌握抽象的数学概念和解决问题。戴春梅.数形结合思想在小学数学教学中的应用[J].理科爱好者(教育教学)戴春梅.数形结合思想在小学数学教学中的应用[J].理科爱好者(教育教学)，2020，(04)：202-203.李娜娜（2013）于《对数形结合教学方法的探究》一文里提到，学生通过对数形结合数学思想的认识可以对数学的相关知识加深理解，并在理解和掌握的基础上迸发出许多创造性思维，探究数形结合的教学方法具有十分重要的意义。李娜娜.对数形结合教学方法的探究[J].内蒙古师范大学学报(教育科学版)李娜娜.对数形结合教学方法的探究[J].内蒙古师范大学学报(教育科学版)，2013，(04)：141-143.由以上能够看出，数形结合这一思想能够提高低年级的小学生思维的发散程度，使他们从具体角度看待抽象题目，其对小学生学习数学这一课程产生深远且重要的作用。（3）数形结合思想在教学中的使用情况研究改革开放以来，我国的基础教育在不断发展发展，而且也取得了很多显著成绩。教育部为贯彻《国务院关于基础教育改革与发展的决定》（国发[2001]21号）这一文件，大力推进了基础教育改革。在此形势下，大多数教师在教学过程中也有了深刻思考，努力在自己的教学中渗透数学思想。张艳红在其文章中为了了解教师渗透数形结合思想的一般情况，对教师进行了调查研究。她从教师对数形结合的认识、教师在课堂上提到数形结合思想的频率以及教师在课堂上应用数形结合思想的频率这三个方面进行了调查和分析，发现数形结合思想未得到普及以及教师使用不合理等问题。张艳红.数形结合思想在小学数学教学中的应用[D].济南张艳红.数形结合思想在小学数学教学中的应用[D].济南：山东师范大学，2016.6.（4）数形结合思想在教学中使用时存在的问题研究很多教师都已经尝试在教学中去应用数形结合思想，但由于把握不好学生认知规律、对教材内容挖掘不深等原因，关于在具体应用中还不够系统。王彦伟，丁雁玲指出，由于部分老师对数形结合的价值认识不足，对其重视不够，所以在课堂中应用较少，经常忽视数学思想这也导致学生对数学本质理解不到位，从而只模仿了解题方法，缺乏独立解决问题的能力。王彦伟王彦伟，丁雁玲.数形结合思想在小学数学教学中的应用[J].黑龙江教育，2010，(10)：31.王海鹞（2011）在《关于小学数学课堂中数形结合教学的调查研究》中指出，教师在教学中可能存在只读课本，不挖掘深层次思想、作图不准确、讲个别知识的几何意义太过生硬等问题，导致课堂教学不能合理、有层次地进行。王海鹞.关于小学数学课堂中数形结合教学的调查研究[D].金华王海鹞.关于小学数学课堂中数形结合教学的调查研究[D].金华：浙江师范大学，2011.5.（5）促进数形结合思想在教学中使用的对策研究蒋晓儆认为，教师在教学中渗透数形结合思想时要把握教材内容。在计算类知识方面渗透数形结合会使知识更直观，在数学概念方面也不要再使用死记硬背的方式，要设计合适的教学设计。刘伟在《小学数学“数形结合”思想方法在教材中的渗透》中认为，教学中必须要把“数”与“形”结合起来，而且低段数学教学一定要把握好由形象直观转为抽象概括的“度”。刘伟.小学数学刘伟.小学数学“数形结合”思想方法在教材中的渗透[J].新课程学习，2010，(8)：93-94.宋梅松（2020）提出，在教学中可以让小学生从日常生活中理解数形结合，通过生活中熟悉的图形来学习数形结合，可以更快地吸引学生的注意力，让学生主动学习。无论是生活中看到的，听到的资源都可以利用到教学里。宋梅松.数形结合思想在小学数学中的应用[J].新课程学习宋梅松.数形结合思想在小学数学中的应用[J].新课程学习，2020，(8)：60.综上所述，我国对在三年级的课堂教学里渗透数形结合的相关研究不全面，因此本研究将以聊城市莘县D小学中的教师和学生为研究对象，从现状、原因和策略三个方面进行研究分析，为数形结合思想渗透进课堂的提供理论依据，帮助一线教师更好地去了解数形结合。（三）概念界定1．数学思想方法小学数学教材体系有两条线索：一是数学知识线，这是写在教材上的明线：二是数学思想方法线，这是教材编写的指导思想，也是数学内容所蕴涵的精神实质，它是一条暗线。段安阳.数学思想的内涵、价值及教学建议[J].江苏教育(小学教学版)，2013段安阳.数学思想的内涵、价值及教学建议[J].江苏教育(小学教学版)，2013，(10)：33.汤波.数形结合思想在小学三年级数学教学中的应用研究[D].南京：南京师范大学，2018.3.数形结合思想小学生在从小接受的数学教育中，主要就是两方面的内容，一是数字，二是图形。数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系,其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维和形象思维结合起米,通过对图形的处理,发挥直观对抽象的支柱作用,实现抽象念具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。丁杭缨.给学生一个立体的“数学丁杭缨.给学生一个立体的“数学”——例谈“数形结合”[J].人民教育，2010：39-42.茅隆森.“数形结合思想”在小学数学教学中的渗透[J].福建教育学院学报，2016，(5)：67-68.所以说，研究者认为数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版，2014：65.（四）研究意义1.理论意义随着新课程改革，数学思想越来越受重视，而作为其中一种重要思想的数形结合思想在小学教育中自然举足轻重。但是目前我国的数形结合思想研究仍然局限于数形结合思想认识与价值的研究，对于将数形结合融入课堂教学出现了一些偏差，特别是对于小学三年级教学研究明显不够。因此，我充分了解目前的研究状况，并以此为基础，通过对《标准(2011版)》进行研读，从与数形结合有关的文献与书籍展开研究，并对青岛版三年级数学教材进行知识点的整理，针对各种问题提出相应的策略，有助于提供将数形结合思想渗透进课堂的理论依据，丰富数形结合这个领域的研究。2.实践意义教师在教学时渗透数形结合的思想，有助于提高课堂效率。此次研究发现三年级的学生面临抽象的代数问题时仍然表现得不够灵活，对于知识的接受能力也很低，而通过运用数形结合的方法，学生可以从数和形两个方面学习知识，学生可以直观地去理解知识，更有兴趣主动去进行探究学习。本研究通过分析教材中的蕴含的数形结合内容，也有利于帮助一线教师更好地了解数形结合，在教学中更注重渗透“数形结合”思想，提高教师的教学能力，从而使学生的能力得到重要的提升。（五）研究方法1.文献研究法在写论文的过程中，通过网络阅读、查询书库等各种渠道收集资料，研读有关数形结合教学的教育期刊、文献书籍和相关理论研究，并进行分析整理，争取能够有创新的发现和更加深入的研究。2.案例分析法通过对青岛版小学数学教材中有关数形结合思想内容的整理分析，了解教材中知识的整体编排结构。分析三年级数学教材中的教学设计以及课堂教学中的典型片段，发现教学中渗透数形结合的问题以及找到相应的优化策略。3.访谈法研究采用非结构性的访谈法，借助录音笔等辅助工具，对实习期间的聊城市莘县D小学三年级6位数学教师进行访谈，了解教师对数形结合的认识以及应用数形结合思想的教学实践现状，发现存在的问题以及原因。4.观察法本研究通过对现实课堂的观察，观察一线教师的教学片段，观察实际课堂中学生对内含数形结合思想问题的解决方案，发现现实课堂存在的问题从而研究策略，为一线教师教学提供经验，也为论文的书写提供依据。一、数形结合思想在小学三年级数学教学中应用的现状（一）蕴含数形结合思想的教材内容分析1.“以形助数”内容的呈现及特点分析研究通过案例分析法对青岛版小学数学教材中有关数形结合思想内容进行整理分析，了解青岛版三年级教材内数形结合有关知识的编排结构。在青岛版小学数学三年级的教材中我们可以看到渗透数形结合的内容概括分为两种，一种是“以形助数”（如表1所示），也就是用几何图形去帮助理解代数；另一种叫做“以数解形”（如表2所示），就是用代数去解决图形问题。表1青岛版三年级教材中“以形助数”内容分析知识领域单元内容“以形助数”在单元内容的体现数与代数克、千克、吨的认识通过利用砝码、天平、盘秤等学会对物体称重，通过生活中实物认识质量单位“克”和“千克”，并且初步建立1克，１千克的质量概念。时、分、秒的认识在学生认识整时和半时的基础上，通过观察钟表认识钟面上的时、分、秒，知道时、分、秒之间是60进制的，能进行时、分、秒之间的简单换算。分数的初步认识用小圆片、长方形、正方形等图形的面积表示单位“1”，将其平均分再通过涂色的方法让学生去理解分数的意义。用图形面积、线段长度帮助进行分数简单加减法和大小比较。年、月、日用画表格、拨钟表、画线段的方法认识24时计时法；能够对平年和闰年进行区分；自主练习中用拳头记大、小月。小数的初步认识利用直尺学习小数，通过直尺上的小格理解小数和分数的联系。两位数乘一位数、三位数乘一位数、两三位数除以一位数、两位数乘以两位数1.利用小棒和小木块等学具“摆一摆”、在点子图上画一画明白多位数乘法的算理和算法，正确进行竖式运算。2.用画线段图的方法分析数量关系，处理“求比一个数的几倍多(或少)几的数是多少”问题。解决问题1.利用小圆片摆一摆的方法解决实际生活中的连乘、连除问题。2.通过列表格这个方法整理需要的条件，搞懂数量关系从而解决情境中的问题。综合与实践搭配问题上衣与裙子搭配问题，用画图、标号、连线的方法一一列举。（1）以“形”助“数”，理解概念合理地运用数形结合可以帮助教师在数与代数领域更好地教学数学概念。根据小学生的认知，概念是抽象的，所以教材并不直接讲这个概念怎么样，而是在一步步探究中让学生明白所学的概念。图形就是学生感性认知的载体之一，也是以形引数的重要载体，教师在进行概念教学时要意识到图形的重要性，使学生能够在图形的基础上逐步深入思考。李长皞.运用数形结合思想进行概念教学的方法[J].江西教育李长皞.运用数形结合思想进行概念教学的方法[J].江西教育，2017，(15)：82.借助图形如实物、小圆片、木棒、小方块可以帮助学生更好地理解概念。如图1所示，教材中展示了各种质量的砝码，通过天平秤将花生以及二分硬币等实物进行称重，同时认识电子秤、盘秤等称量工具，帮助学生理解“克”“千克”的概念。图1“克”的认识教材图如图2所示，利用长方形、正方形和圆形纸片，将它们平均分成几部分，之后取其中的一部分进行涂色，就是几分之一，这样就帮助理解了几分之一的概念，同理也知道几分之几。图2“分数的初步认识”教材图如图3所示，除了图形面积，也可以利用线段的长度表示几分之一，还可以帮助比较分数大小。对于同分母分数，学生可以很好地比较，因为这只是从同份数里取不一样多的份数。但对于分子相同的分数，如比较1/2和1/4的大小，学生可能不好理解，而教师就需要用一定的方法帮助学生理解，面积图和线段图的方式都属于运用了数形结合方法，用形来理解概念。图3“分数的大小比较”教材图（2）以“形”助“数”，理解算理和算法合理地运用数形结合可以帮助学生理解算理，从而正确地进行代数运算；还可以在解决应用题目中帮助学生进行题意的分析，从而快速弄清问题内容并解决题目。借助小木棍、小方块等学具可以帮助理解算式的算理，清楚算法。如图4所示，要求“三（1）班跳舞的一共有多少人”，根据教材中的情境图已经列出了算式20×2，在计算时就利用了小棒帮助。将十根小棒作为一捆，20就表示有两个十，即两捆小棒，2个十乘2就是4个十，即四捆小棒，得40。通过小棒的演示，学生可以清楚地理解这个算式是怎么一步步算出的，并清楚每一步的道理。图4两位数乘一位数例一教材图如图5所示，根据情景图已经列出了算式12×3，然后利用小木块摆一摆，从教材中我们可以清楚看到，将12分成10和摆放，三个10是30，三个2是6，将30和6相加得出36，此过程与竖式计算也有相似的过程。图5两位数乘一位数例二教材图（3）以“形”助“数”，解决问题合理地运用数形结合可以在解决问题中帮助学生进行题意的分析，从而快速理解问题并解决问题。如图6所示，为了解决情景图中“二年级转呼啦圈的有多少人”这个题目，学生选择用画线段图这一方式帮助整理题中条件。已知一年级的学生转呼啦圈的为18人，二年级的人数比一年级的2倍还要多5人，所以在画线段图的过程中先要画出一条表示一年级的人数线段，之后再据此去画一年级的两倍，最后要画出多5人，多5人线段肯定会延长，就这样便一步步进行分析并画图，之后就可以根据画出的线段列式求解。图6“比一个数的几倍多几”教材图如图7所示，要求解“一共有多少搭配方法”这一问题，学生可以利用教材附录中的小纸片摆一摆，同时在纸上一一列举，也可以将上衣、裙子分别分组，运用连线的方法，帮助解决这个问题。从上面的分析我们可以看到，用实物、线段图、各种学具等方式，可以清晰的将抽象的知识具体化，教师更好教，学生更好学。图7搭配问题教材图2.“以数解形”内容的呈现及特点分析表2青岛版三年级教材中“以数解形”内容分析知识领域单元内容“以数解形”在单元内容的体现图形与几何图形的周长用数量表示长方形的周长和正方形的周长，进行长方形、正方形公式的推导长方形和正方形的面积1.要比较面积的大小，首先要统一单位，用1平方厘米的正方形量长方形，从而理解面积。2.进行面积公式的推导，用面积公式解决求长方形、正方形面积方面的问题。综合与实践位置与变换“变化的影子”中通过记录不同时间段的竹竿影子的长度，发现规律，理解生活中现象。合理地运用数形结合可以帮助教师在图形与几何领域更好地教学图形，比如说图形的认识、图形的特点；也可以帮助学生了解图形公式的由来，从而正确地进行代数运算；还能够在解决题目时帮助学生进行题意的分析，从而快速理解问题并解决问题。所以说教师可以灵活地运用数学公式、定理等，帮助学生掌握图形结构之间的关系。吴秀敏.寓数于形以形解数-谈小学数学中的数形结合教学[J].教学案例吴秀敏.寓数于形以形解数-谈小学数学中的数形结合教学[J].教学案例，2018，(17)：72.（二）学生对数形结合思想的认识以及使用现状分析本研究选取了聊城市莘县D小学的三个班级的三年级学生，每个班级各40名学生，对其进行观察。通过对现实课堂的观察，观察一线教师的教学片段，观察实际课堂中学生对内含数形结合思想问题的解决方案，对其课堂反应进行分析，了解学生对数形结合的认识，发现现实课堂存在的问题从而研究策略。1.学生对数形结合思想的认识如案例1所示，在对学生课堂观察中发现，部分教师还是直接告知公式的方式，所以学生没经历探究过程，部分学生对数形结合的含义存在误解。对于直接给出图形的题目，他们认为可以用代数的方法解决，而在其他方面，如利用学具等认识概念，他们不认为要用数形结合思想。学生会对老师着重讲过的内容如线段图印象深刻，会认为这部分用到数形结合。案例1：长方形的面积教学“师:同学们,你们在之前知道长方形的面积吗?生:我在二年级的时候知道了长方形，但不知道面积。师:那今天我们就一起来学习老师刚才说过的长方形的面积,现在同学们打开课本，翻开这一课,自己想一想:怎么去求长方形的面积?学生看书后说:课本里说了用数方格这一方法去求长方形的面积,得出等于长乘宽。师:(板书公式：长方形的面积=长×宽)大家一起读5遍。师:那这个汉字公式用字母怎么来表示呢?用字母表示就是s=a×b或s=ab。师:好,我们接下来直接利用公式去解决题目。”周淑红.小学数学课程与教学[M].北京周淑红.小学数学课程与教学[M].北京：教育科学出版社，2013：239.2.学生使用数形结合思想方法的现状小学生在实际的做题中基本不考虑运用数形结合方法，在作业中为了追求速度，怎么答题快怎么做。部分学生也会用到这一方法，可是在他们的作图过程中能明显看出存在作图不规范的问题（如图8）。在解决问题上出现错误归根结底就是缺乏对数形结合的问题的锻炼。图8学生作业图（三）教师对数形结合思想的认识以及使用现状分析本研究对随机选取的聊城市莘县D小学的6名三年级数学教师进行访谈，并对他们的访谈结果进行分析。访谈的内容主要是关于教师对数形结合的认识，教师运用这一思想的情况。同时对现实课堂进行观察，研究三个班级内一线教师的教学片段，并结合教材的教学案例进行分析，发现现实课堂存在的问题从而研究策略。1.教师对数形结合思想的认识在访谈问题1里，大多数教师在从业之前经过了很长时间的理论学习和教学培训，有关数学思想的认识已经充足，也知道教学中运用数形结合这种方法有很大好处，所以说多数教师还是能意识到将数形结合带进课堂教学的重要性，在访谈中发现仍有个别教师谈到三年级运用数形结合方法没必要。问题1：请问您是否了解“数形结合”的相关知识呢？在三年级教学中渗透数形结合的思想重要吗？A教师：“我觉得数形结合就是利用数字和图形去解决问题，在三年级中渗透这一方法挺重要的，毕竟小学课本中已经有了这部分内容。”B教师：“数形结合是一种思想，也是一个实践运用的方法，在课标中已经提到了学生对数学思想的掌握，所以三年级已经很有必要了。”D教师：“数是代数的意思，形是几何的意思吧。用直观的几何可以更简单地解决代数问题，所以三年级的学生有必要理解这种方法，并运用到学习里。”E教师：“有了解相关知识，但是三年级的学生可能不太理解，所以等学生大点再教比较好吧。”2.教师在教学中使用数形结合思想方法的现状（1）部分教师在课堂中使用数形结合的方法不当通过访谈问题2可以看到，多数教师都是有要在教学中融入数形结合这个概念的，但在使用时“用不好”“不去用”，这便是一个很大的问题。在课堂观察中，案例1是一个反例，教师只是让学生记住了长方形面积公式，却没有让学生经历一个完整的自己去探索、产生猜想和结果验证的过程。如果在教学中教师能有效利用实物和教具，并且联系之前学过的长方形特征，那学生肯定对S=ab有更好地理解。问题2：在课堂中您会经常提到并使用数形结合的方法吗？C教师：“在课上我经常提到并且使用数形结合，并想让学生也认识到这一方法的重要性。”E教师：“在课上我会提到这一思想，但为了节省时间，多是用PPT演示。”F教师：“会提到但很少用，因为在使用时总感觉不自然、不好用。”（2）教师渗透数形结合思想在内容上有所不同在访谈问题3中，教师对课本教材中选择不同领域渗透数形结合各有不同，选择图形与几何领域在访谈教师中为半数，其次是数与代数领域，“统计与概率”“综合与实践”领域涉及较少。但在对教材的梳理中可以看到数与代数领域有关数形结合的知识是比图形与几何领域还要多的。问题3：您会在哪种课型、哪个领域中运用数形结合方法呢？A教师：“我一般会在新授课中使用，在数与代数领域用的最多，因为这部分知识很抽象。”B教师：“我会在新授课中使用，在图形与几何领域用的多，课本上给的图形非常直观，学生可以直接研究。”C教师：“在复习课和练习课用的偏多，图形与几何领域偏多，因为在大量习题中经常涉及到。”二、数形结合思想在小学数学教学应用中存在的问题（一）教师在课堂中缺乏渗透数形结合方法的教学从访谈问题1和观察到的教学片段来看，绝大部分教师认识到了在教学中渗透数形结合思想是重要的，它不仅能让概念、算理等抽象知识清晰化，还为学生将来的学习奠定基础。但仍有部分老师认为在这种思想可用可不用，如果在教学中时常考虑是否使用数学思想方法，会拖慢自己的教学进程，所以这部分老师还是采用传统的授课方法，在教学完概念以及算式算法还有一些公式后，通过不断练题的方式对学生训练。研究者在观察某一节课堂教学《混合运算》过程中发现，在分析题目中的数量关系时，教师在之前学习的乘法基础上直接列式计算，然后练习综合算式，对于综合算式中为什么“先算乘法再算加减”这一问题不能很好的解释。如果在教导这一内容时，教师能渗透数形结合，如画线段图、用小木棒或小方块演示一下效果会更佳。（二）教师在教学设计中教学目标定位不准教学目标是上好一节课的关键，是一节课的出发点，也是这节课的落脚点。无论是什么课堂，都要有一个目标像规范一样作为引导，在课堂的最后还要进行思考是否完成了这一目标。渗透数形结合的教学对培养学生解决问题的能力有很大的作用。问题4：在教学设计中您会将数形结合写进教学目标吗？您认为教学目标需要时常更新吗？B教师：“我会在教学设计里写入有关数形结合的教学目标，并且教学目标也要根据教材还有课堂中学生及时调整，增加生成性的目标等。”D教师：“我一般不会写进教学目标，曾经我写过，但总是完不成的，所以就懒得设计了。”E教师：“我的在课堂中偶尔会用，但具体教学设计中并没有记录。目标更新与否要视具体教学而定吧。”F教师：“在我的教学设计里有关其的目标是没有详细写下来的，所以教学中我不太会用，而且只要教材不变，按原来的教学目标就可以吧。而且学校里也没有对我们这些老师提出这些。”如访谈问题4，对于“教学设计中的教学目标是否需要时常更新”这一问题，部分教师认为没有必要。现在的课标对学生的要求有了新的变化，学生也有了变化，旧的目标当然也要变，一成不变的教法不能适用所有的学生。有的教师在教学时认为三年级的学生还太小，不至于在教学中渗透数形结合，可以从第二学段再开始教学。还有教师认为“以形助数”和“以数解形”对于学生学习有很大帮助，但在自己的教学设计中对这方面表述不清。所以教师应该在教学设计中对自己的教学目标有一个清楚的定位，根据课标、教材以及学生多方面定位目标，为实际教学做参考。（三）教师渗透数形结合思想在教学内容选择上不合理在访谈问题3中，可以看出，不同教师在渗透数形结合的教学内容上选择不同，而有超过半数的教师觉得在“图形与几何”领域渗透更为方便，所以他们经常在这个方面加大渗透数形结合的教学。但通过对青岛版小学三年级数学课本教材的整理（如表1），可以看出在“数与代数”领域中其实有很多内容都蕴含着这一思想，无论是关于概念的认识还是算式的算理、算法以及解决情景问题中，并且小学其他教材中“统计与概率”和“综合与实践”领域也有涉及，所以教学其他领域时也应该思考如何渗透数形结合，让学生更简单的掌握知识。（四）学生不能熟练运用数形结合方法通过对学生课堂中的观察发现，所有学生在课堂学习中会触及到有关数形结合的数学问题，多数教师也是经常在课堂中渗透运用数形结合的知识。数形结合可以分为两种形式，在以数解形方面，学生可以做得很好，而在以形助数方面学生做的一般。在班级中对于同一问题的解答，如图9所示，如果没有给出具体的图形，有的学生会直接列算式解决问题，而不能做到借助图形分析问题，导致出错。如图10所示，如果给出了具体的图形，学生对问题的理解就会彻底，做题速度会有显著提高。这说明学生的作图习惯没养成，运用数形结合方法不熟练。图9某一问题解答图1图10某一问题解答图2三、数形结合思想在教学中应用现状的原因分析（一）教师对数形结合知识的认识不充分通过研究发现，对于“在课堂中您会经常提到并使用数形结合的方法吗？”这一问题，F老师说：“会提到但很少用，因为在使用时总感觉不自然、不好用。而且考试时只需要写答案，只要做出题来就行。”在他们长期的教学过程中就认定了自己就是教授课本上的知识，让学生做对题，从而考高分。尽管当前的课程标准已经对学生学习的内容进行了要求，但他们始终难以转变思想。另一方面则有教师已经认识到了数形结合这种数学思想的重要性，如E老师说：“在课上我会提到这一思想，但为了节省时间，多是用PPT演示。”但理论始终是理论，由于教学经验少，在教学中时常难以自然地渗透。总之，主要原因就是对数形结合这一思想认识不够，所以不能自如地运用。（二）教师在教学过程中未遵循学生接受数形结合思想的认识规律没有认识到学生接受这一思想的规律是不能准确定位教学目标的重要原因。在访谈问题4中，少部分教师认为，在过去的教学生涯中，他们已经习惯了传统的教法，知识是不变的，所以教学目标根本不用改变。但现在的三年级学生而言，他们处于第一小学段，也即将迈步走向第二学段，他们所学的已不仅仅是知识，也包括思考问题、解决问题的能力。而渗透数形结合的教学对培养学生解决问题的能力有很大的作用。有的教师较少渗透数形结合的教学，有的教师过快地渗透数形结合的教学，这些都属于对儿童思维发展规律认识不清。如D老师说：“我一般不会写进教学目标，曾经我写过，但总是完不成的，所以就懒得设计了。”学生在整个学习过程中思维是不断发展的，低年级的学生对于抽象的事物仍存在理解困难，所以教学中常用实物、小木棒、小木块以及线段图的方式帮助学生理解概念等。教师在教学中把握学生认知规律，有利于准确定位教学目标。（三）教师对教材中隐含的数形结合知识的发掘不足“书上有什么，教师教什么”，这是一个不正确的观点。通过对教材的研究我们知道，在教材每单元的知识中基本都隐含了一些数学思想。所以教师在教学前应该对课本上四大领域的内容进行充分的发掘，思考在教学时对这一思想“哪里用，怎么用”，想让学生“体会到什么，学到什么”这些问题。如访谈问题5所示，大部分教师负责着某一年级的教学，很少从一年级到六年级的数学全部进行教学，所以在教学过程中他们只会关注于自己的任教年级，并没有对小学所有年级的教材进行研究，教材理解的不通透，那整个教学过程中对内容的选择就不会合理，整节课堂就显得不完整。问题5：您是否梳理过教材中蕴含数形结合思想方法的知识点？A教师：“因为我教过的年级较多，所以对课本上知识挺了解的，也发现在课本中有很多内容涉及了数形结合思想，但没有认真梳理。”C教师：“我会对所在年级课本内知识研究，但没对数形结合这一思想单独研究梳理。”（四）教师在学生解题过程中缺乏渗透数形结合思想的具体要求学生不能熟练地运用数形结合除了学生本身由于对数形结合认识不够产生排斥心理外，还跟教师对学生的要求有关。三年级的学生处于一个向师的状态，也就是老师说的、做的事情会跟着模仿，教师要求的会很有兴趣去做以得到教师的夸奖。教师在自己的教学中对渗透数形结合的思想教学不规范，并且对学生的要求不足，才会导致其不能熟练地运用数形结合。在课堂中教师多处于主导的地位，有时会让学生思考如何理解问题，但经常只是简单的问问，借助图形理解问题时经常是教师在黑板或课件演示，学生单纯去看，并不直接要求学生动手去做、去画。在家庭作业的完成方面也经常是只看对错，对学生的思考过程不做要求，对其作图要求也不规范（如图8）。这些原因导致学生训练的不够充分，所以不能熟练地运用这一方法。四、促进数形结合思想在小学数学教学中应用的策略（一）进行学科知识学习，增强对数形结合知识的认识1.进行理论学习，增强对数形结合知识的认识通过访谈问题1发现，教师们对数形结合知识认识不一，对其重要性也各有看法。教师是学生学习的先导，是学生学习的引领者，也是学生的榜样。陶行知说过：“我们不能懈怠，不能放松，一定要鞭策自己，努力跑在学生前面，引导学生，这是我们应有的责任，师道之敬在此。要教学生向前进、向上进，非自己努力向前进，向上进不可。”王雨平.小学低年级数学美的教学问题与改善策略研究[D].开封：王雨平.小学低年级数学美的教学问题与改善策略研究[D].开封：河南大学，2019.46.首先教师自己要加强对数形结合的认识，认识到这一思想对学生学习的必要性。数形结合思想方法可以将抽象的数和形相联系、转化，从而不论是概念还是计算，以及图形的认识等方面，学生学习起来都会容易很多。其次，教师要注意将理论应用于实践。在教学空余时间，教师可以多阅读相关书籍，同时在网络上了解与之有关的最新理念，了解国内外关于数形结合的研究，丰富自己的理论认识。在教学前研究好教材，把握好教学重难点，设计合理的渗透环节；在课堂中观察学生的反应，及时记录自己的想法，并在课堂上不断的尝试，不断地加深学生的印象；在课后反思自己实践的过程，改进并多次渗透。胡颖.数形结合在小学第二学段教学中的运用研究胡颖.数形结合在小学第二学段教学中的运用研究——以苏教版数学教材为例[D].镇江：江苏大学，2019.35.2.参加学校培训，加强与教师合作交流一方面，新教师在入职后，要积极和学校里的有经验的老教师交流、请教，学习他们在教学中的经验。另外，老教师要用平等的眼光看待新教师，在多方面帮助年轻一辈，从他们身上吸收活力。新老教师一起学习，共同交流教学的过程，一起思考数形结合思想的教学策略，一起进步。另一方面，学校可以经常组织培训、进修活动，可以在学校内请专家入校，开展讲座，让所有教师共同商讨，学习先进理论；开展教师技能活动，新老教师共同参与比赛，评析优秀的教学过程，分析不足之处以促进教师教学能力的发展；与其他学校进行访问交流，通过两校间的练习学习经验。学校也要鼓励教师不断学习，对教师的进修表示支持，教师也要抓好一切可以学习的机会，不断充实自己。（二）把握学生认知发展规律，准确定位教学目标1.以学生为主体，遵循学生认知发展规律通过皮亚杰认知发展阶段理论我们可以知道，学生认知思维的发展存在阶段性。在小学教学中，教育对象是小学生，这个时期他们正处于具体运算阶段，明显特点是思维有了可逆性，他们可以进行简单的逻辑推理但还需要借助一定的具体事物。通过这一规律，我们可以知道在对学生进行教学时要习惯使用数形结合的方法，以便他们理解。同时要把握每个年龄、班级学生的特点，由教师讲授逐渐放手让学生思考和操作。另一方面，当前教育提出，学生是学习的主体。在课堂中教师可以讲授知识但不能是课堂中的主人。在实际教学中，教师要尽量做到从学生角度看问题，在意识到学生了解以及理解用数形结合方法解决问题后，试着放手让学生去做，只有学生自己参与课堂，那这种教学才是有意义的。也正是了解了学生，这个课堂的目标才会明确；教师和学生步调一致，课堂效率才会高效。2.把握教材，制定教学目标如果说老师是战场上的将军，学生便是作战的主力军，那教学目标就是作战的目的、方向标，只有所有人劲往一处方向使，整个战斗才可能成功，所以说教师制定好一个准确的教学目标是有必要的。教师只有在把握了教材跟课程标准后，才能制定准确的目标。如图11就是很好的示例。图11教学目标示例图在制定目标前老师要仔细研究教材内容，做到心里有数。由于小学教材中的知识是循序渐进，蕴含的内容是螺旋上升的，所以在教学目标的制定上也要采用循序渐进的方式。在教学设计里可以对单元目标以及课时目标进行细化，教师在教学过程中如何渗透，要让学生理解到什么程度，怎样的自然引出等都是教师要思考的问题，最好将这些内容都记录在教案中。（三）研究教材，挖掘知识点背后的数形结合思想1.深挖教材，分内容渗透数形结合思想教材中是以知识点的方式进行编排的，其背后隐含着多种数学思想，所以老师要对现行的课本仔细研究，对蕴含着数形结合的内容不断思考。首先在小学数学教材中分为四大领域的内容，所以说在教学中可以分领域进行渗透数形结合思想教学。其次教学中有不同课型，比如说新授课、复习课和练习课，所以说教师也可以分课型渗透。新授课可以利用可感知的实物、物体形象教学，这样能很快吸引学生兴趣；复习课可以联系学生学过的知识，统一整合，查缺补漏；练习课则是大量的、多样化的展现不同“以形助数”“以数解形”的问题。最后在教学内容上，学生可能需要掌握概念、理解算理、认识图形，所以教师可以通过挖掘教材，对这些方面选择不同的渗透方式，以便学生理解。不管教师是分哪些内容进行教学，这都必须以熟悉教材为基础。如图12所示，在教学《长方形和正方形的面积》时，教材中编排的内容也并不是直接给出面积公式，而是学生一步步探讨从而推导的公式，之后利用公式解题。首先学生在学习这一部分之前已经通过1平方厘米的小正方形理解了面积的意义，所以在老师提问时，他们会首先考虑这种小正方形。先测出长和宽，之后用摆一摆的方法，将面积单位的小正方形摆在长、宽两处，最后得出长方形面积与长和宽的长度有关，得出长方形面积公式，最后利用公式解决图形面积问题。正方形面积公式同理可得。图12“长方形的面积”教材图（四）改进教学方式，组织实践活动数学实践活动主要是指将数学知识和数学方法应用于实际的生活,学生独立主动地解决实际问题的活动。刘莹.小学数学教学案例[M].北京：刘莹.小学数学教学案例[M].北京：中国人民大学出版社，2015：68.1.设计趣味教学情境，增强学生运用数形结合的兴趣教师在教学中如果只是干巴巴的讲知识，学生会感到困倦，产生注意力不集中的问题，从而课堂便成了单纯的教师的课堂，学生难以参与进去。如果换一种方式，创造一种有趣的情境，吸引学生兴趣，然后渗透数形结合思想的教学可能会更有效。例如，当学生需要解决“明明有5块饼干，奶奶又给了他2块饼干，他现在一共有几块饼干”这一问题时，学生可能会在脑子里想象盘子里有一些饼干，然后联系实际去解决，其实这就是情境的用处。随着学生认知思维发展，再去联想时就可以通过情境去思考线段或者符号用以解决问题，便是在情境中利用了数形结合思想。恰当的概念引入方式能促进学生产生学习的兴趣，有助于教师教学。例如，在教学“分数的认识”时，概念的引入要从生活实践中出发,可以设置如下情境，“村长爷爷买回了一个蛋糕，喜羊羊、懒羊羊和沸羊羊都争着要吃,这可难坏村长爷爷了,怎么分呢？小朋友帮村长爷爷想想办法吧。接下来拿出相应的教具引导学生怎样分才公平，逐步导入到学习中。”汤强汤强，程国忠，高明.小学数学教与学[M].北京：航空工业出版社，2014：23.2.合理运用评价，鼓励学生实践教师将课堂交给学生，帮助学生努力做到自己动手操作，通过学生间的合作共同探讨问题的解决，感受数形结合思想，这不失为一个好策略。学生通过自己的实践，可以更好地利用数形结合去解题。另外数形结合思想强调数和形的转化，图形在其中占了很大一部分，所以教师也可以用实践活动培养学生画图的习惯。老师可以在日常教学中组织学生画一些与数学有关的图形，用小画展的形式，激发学生作图热情。教师对于学生作业中渗透数形结合方法要提出具体要求，对于优秀的解题方式给予及时地表扬，但教师也要注意评价的方式，从而激励学生用数形结合思想思考问题。如图13就是一个很好的评价方式。图13轴对称教学评价结语数学是抽象的学科，对三年级的学生来说，对抽象的概念、抽象的计算关系存在疑惑，很难明确的理解课本上的知识。但是小学生具有容易接受具体的事物的特点，所以教师在教学中利用“数”与“形”的转化，运用数形结合思想方法教学，可以使学生更好地进行代数和图形两方面的学习。本研究在对数形结合思想方法的理解的基础上，以三年级为切入点，整理出青岛版三年级教材中有关数形结合思想的知识点，对三年级的数学教师进行了访谈，了解教师运用数形结合思想教学中存在的现状，分析