《随机信号分析与估计》-第5章

5.1希尔伯特变换5.1.1信号的解析形式在实际应用中,发射和接收的都是实信号,只是在信号处理的过程中,将信号变成复信号进行处理。实信号也可以看成虚部为零的复信号,如果再考虑信号频域的特点,解析信号就是比较理想的复数表示方式了。实信号频谱的数学模型是含有正负频率的双边谱,然而在实际应用中,其负频率(ω<0)是物理不可实现的。由于实信号的双边谱是偶对称的,因此,采用单边谱的信号形式,既可以简化问题,又可以恢复原信号。下面对只含正频率部分的信号———单边谱信号进行讨论。(1)单边谱信号在时域是复信号。设单边谱信号的傅里叶变换为下一页返回5.1希尔伯特变换

由于因为f*t≠ft,所以单边谱信号在时域是个复信号。(2)从实信号中分解出单边谱信号。设x(t)为具有连续频谱的实信号上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

式中X(ω)为信号x(t)的频谱,由傅里叶变换可以证明,当xt=x*(t)时,有所以实信号的频谱X(ω)是ω的复函数。若将X(ω)傅里叶变换分解成正负两频域部分积分之和上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

其中,具有单边频谱被称为实信号x(t)的解析信号。所以,实信号x(t)可用一个仅含有正频率成分的解析信号的实部来表示。上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

5.1.2希尔伯特变换的定义通过上面的推导可以看出将信号正频域谱的2倍的傅里叶反变换取实部,就等于原信号。如果对解析信号的两边进行傅里叶反变换,由于U(ω)为阶跃函数,有上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

则解析信号的时域表达式为不难看到,解析信号的虚部式(5.1.10)称为实信号xt的希尔伯特变换,记作上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

由上式可知,对于任何一个实信号xt,可以分解出一个单边谱的解析信号与其对应。此解析信号是个复信号,其实部为原信号xt,虚部为原信号的希尔伯特变换。希尔伯特变换是通信和信号检测理论研究中的一个重要工具,在其他领域也有重要应用。用希尔伯特变换可以把一个实信号表示成一个复信号(解析信号),这不仅使理论讨论很方便,而且可以研究实信号的瞬时包络、瞬时相位和瞬时频率。上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

5.1.3希尔伯特变换的性质从希尔伯特变换的定义可知,希尔伯特变换相当于把信号xt与1/(πt)进行卷积。因此,信号的希尔伯特变换可以看作信号通过冲激响应为ht=1/(πt)的线性时不变系统的响应。通常称该线性时不变系统为希尔伯特变换器。希尔伯特变换有以下几个重要性质。(1)希尔伯特变换冲激响应及传输函数上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

证:由对称性性质:(2)希尔伯特逆变换。定义希尔伯特逆变换为上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

可证明希尔伯特逆变换等于负的希尔伯特正变换,如式(5.1.13)所示。证:若输入信号为通过一个滤波器hH1（

t）后,输出为x（t）,上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

则上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

(3)希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。因为于是,可以将x（t）的希尔伯特变换看成是将x（t）通过一个具有冲激响应为的线性滤波器,即上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

上式表明,希尔伯特变换相当于一个90°的移相器,它对所有分量的幅度响应都是1,对所有正频率分量(包括零频率分量)移相-90°,而对所有负频率分量移相+90°。所以说,希尔伯特变换是一种正交变换,它相当于一个正交滤波器,如图5.1所示。(4)两次希尔伯特变换相当于一个倒相器。证:若对信号x（t）进行两次希尔伯特变换,则相当于信号x（t）通过两个级联的H[·]网络。即上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

从而得到时域关系(5)信号x（t）与其希尔伯特变换具有相同的能量和平均功率,即上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

证明:先证前一个等式。由帕塞瓦尔定理可知将希尔伯特变换器看成是信号通过1/(πt)的滤波器的响应,即上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

代入帕塞瓦尔定理公式可得上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

通过上述证明可知,信号与其希尔伯特变换后的信号具有相同的能量。再证后一等式。根据自相关函数的性质,当τ=0时,R0为信号的平均功率。若要证明信号在希尔伯特变换前后具有相同的平均功率,只需证明信号变换前后具有相同的自相关函数即可。上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

证明:上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

如图5.2所示,由于Δω/2<ω0,可得所以其希尔伯特变换的频谱为上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

取的傅里叶反变换可得利用傅里叶变换的频移性质上一页下一页返回5.1希尔伯特变换

利用希尔伯特二次变换的性质可得上一页返回5.2解析过程及其性质5.2.1解析过程的定义由实随机过程X(t)作为复随机过程Z(t)的实部,X(t)的希尔伯特变换作为Z(t)的虚部,即这样所构成的复随机过程Z(t)为解析随机过程。5.2.2解析过程的性质(1)若X(t)为实平稳随机过程,则也是实平稳过程,且联合平稳。下一页返回5.2解析过程及其性质由于希尔伯特变换是线性变换,线性系统输入是平稳过程,因此输出也是平稳过程,且联合平稳。(2)实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同,有证明:因为由输入与输出的功率谱密度的关系,得上一页下一页返回5.2解析过程及其性质经傅里叶反变换,得(3)Xt与X^t的互相关函数等于Xt自相关函数的希尔伯特变换。即有证明:上一页下一页返回5.2解析过程及其性质设t-τ=λ,代入上式进行变量置换,可得上一页下一页返回5.2解析过程及其性质及上一页下一页返回5.2解析过程及其性质(5)X（t)与X^t的互相关函数是τ的奇函数。证明:由于且RX（τ）是偶函数,则同理可证上一页下一页返回5.2解析过程及其性质由于X(t)与的互相关函数是τ的奇函数,所以在任何同一时刻当τ=0时互相关函数为0,则X(t)与在任何同一时刻的两个状态正交。(6)如果X(t)为平稳过程,根据希尔伯特变换的定义X(t)也必为平稳过程,解析过程Z(t)也必为平稳过程。证明;上一页下一页返回5.2解析过程及其性质因此,可以看出这样构成的解析过程为复平稳随机过程,解析过程的自相关函数是复函数,它的实部为X(t)的自相关函数RX(τ)的2倍,虚部为RX(τ)的希尔伯特变换的2倍。(7)解析过程的功率谱密度只存在于正频域。对Z(t)的自相关函数RZ(τ)求傅里叶变换即可得到Z(t)的功率谱密度GZω。X(t)的自相关函数RX(τ)的傅里叶变换为X(t)的功率谱密度GXω,则可得RX(τ)的希尔伯特变换的傅里叶变换为上一页下一页返回5.2解析过程及其性质及上式表明,解析过程的功率谱密度只存在于正频域,即它是单边带的功率谱密度,其强度等于原实过程功率谱密度强度的4倍。上一页返回5.3窄带随机信号5.3.1窄带随机信号的定义若随机信号x(t)的功率谱密度集中在频率ω0附近相对窄的频带范围Δω内,且Δω≪ω0,则称该信号为窄带随机信号。在实际中,大多数系统都是窄带带通型,通过该类系统输出的信号或噪声必然是窄带信号。实确定信号x（t）,其傅里叶频谱X（ω）,若满足下述特性,则此信号称为确定实高频窄带信号:下一页返回5.3窄带随机信号

其中,ω0为角频率,W为角频率带宽,ω0≫W,确定的实高频窄带信号可表示为其中,at、φt、ac(t)与as(t)为相应的低频信号,它们都是时间的函数,相对载频ω0而言都是慢变的。窄带随机过程的每一个样本函数都具有上式的形式,对于所有的样本函数构成的窄带随机过程可以表示为上一页下一页返回5.3窄带随机信号

式中,A(t)是窄带过程的包络,Φ(t)是窄带过程的相位,它们都是随机过程。与确定性窄带信号一样,它们相对于ω0是慢变随机过程。窄带随机过程可以视为幅度和相位做缓慢调制的准正弦振荡。5.3.2窄带随机信号的复指数形式若将高频窄带信号的复指数形式应用到窄带随机过程中,则式中,M(t)称为X(t)的复包络,A(t)称为包络,Φ(t)称为相位,ejω0t称为复载频,且Mt=AtejΦ(t)。上一页下一页返回5.3窄带随机信号

如果此窄带随机过程X(t)是平稳过程,那么用复指数形式表示后,其统计特性如下。(1)自相关函数:上一页下一页返回5.3窄带随机信号

(2)功率谱密度。若RM(τ)的功率谱密度函数为GM（ω）,则有因为可得上一页下一页返回5.3窄带随机信号

由上式可得因此,可以得出X(t)与及M(t)之间在频域上的关系。5.3.3窄带随机过程的垂直分解上一页下一页返回5.3窄带随机信号

则有将式展开可得上一页下一页返回5.3窄带随机信号

或者有可见,窄带随机过程X(t)的包络At、相位Φ(t)完全可由Ac(t)、As(t)确定,且Ac(t)和As(t)是一对在几何上正交的分量,它们包含了窄带随机过程X(t)的所有随机因素。因此,下面讨论窄带随机过程X(t)的统计特性,主要就是讨论这一对垂直分量的统计特性及它们与过程X(t)之间的统计关系。上一页下一页返回5.3窄带随机信号

在讨论统计特性之前,先推导出X(t)、Ac(t)、As(t)之间的函数关系如下:上一页下一页返回5.3窄带随机信号

5.3.4窄带随机过程的性质若窄带随机过程X（t）是零均值平稳的实过程,且功率谱密度如图5.7所示,满足上一页下一页返回5.3窄带随机信号

这里Ω和Δω皆为正实常数,Δω≪ω0,则Ac

(t)、As(t)这对垂直分量有下面的性质。(1)Ac

(t)、As(t)均为实随机过程;(2)Ac

(t)、As

(t)的期望均为0;(3)Ac(t)、As(t)各自平稳,它们的自相关函数为当τ=0时,有上一页下一页返回5.3窄带随机信号

表示X

(t)、Ac(t)、As(t)三者的平均功率皆相等。其中表示一低通滤波器。上一页下一页返回5.3窄带随机信号

证:由于两边取傅里叶变换,并利用可得上一页下一页返回5.3窄带随机信号

上式各项对应的功率谱密度图形如图5.8所示,从图中可以直接得出同理可得上一页下一页返回5.3窄带随机信号

说明随机过程Ac(t)、As(t)在同一时刻的两个状态之间是相互正交的。因为Ac(t)、As(t)的均值皆为0,所以当τ=0时,有说明随机过程Ac(t)、As(t)在同一时刻的两个状态之间是不相关的。(6)Ac(t)、As(t)的互谱密度为上一页返回5.4窄带正态随机过程的包络和相位的分布信号处理中,有用信号通常都是调制在载波的幅度和相位上的,要提取有用信号通常需要包络检波器和鉴相器检测出信号的包络和相位,而检测前噪声通常都是窄带正态随机过程,为了获得最佳的检测效果,需要分析窄带正态随机过程的包络和相位的分布。本节讨论窄带正态过程的包络、包络平方和相位的分布特性,除特别声明外,都假定窄带正态过程的均值为零,功率谱密度相对于中心频率ω0是对称的。5.4.1一维分布已知窄带过程的一般表达式为下一页返回5.4窄带正态随机过程的包络和相位的分布设Y(t)的相关函数为RY（τ）,方差为RY（0）=σ2,Ac(t)和As(t)都可看作是Y(t)经过线性变换的结果。因此,如果Y(t)为正态过程,则Ac(t)和As(t)也为正态过程,并且也具有零均值和方差σ2。Y(t)的包络和相位分别为上式说明,Ac(t)和As(t)在同一时刻是互不相关的,因二者是正态过程,故也是互相独立的。设Act和Ast分别表示Ac(t)和As(t)在t时刻的取值,则其联合概率密度为上一页下一页返回5.4窄带正态随机过程的包络和相位的分布因为设At和φt分别为包络A(t)和相位Φ(t)在t时刻的取值,则A(t)和Φ(t)的联合概率密度为雅克比行列式J为上一页下一页返回5.4窄带正态随机过程的包络和相位的分布代入上式,得由此得出包络的一维概率密度为上一页下一页返回5.4窄带正态随机过程的包络和相位的分布相位的一维概率密度为从以上两式可以看出,窄带正态过程的包络服从瑞利分布,而其相位服从均匀分布。另外,不难看出有该式表明,在同一时刻t,随机变量A(t)和Φ(t)是相互独立的。但要注意A(t)与Φ(t)并不是相互独立的两个随机过程。上一页下一页返回5.4窄带正态随机过程的包络和相位的分布5.4.2二维分布由于Ac(t)和As(t)可以看作Y(t)和Y^(t)经过线性变换后的结果,因此若Y(t)为窄带平稳正态过程,则Ac(t)和As(t)也必为平稳正态过程。假定Y(t)具有关于中心频率对称的功率谱,令Ac1和Ac2分别表示Ac(t)和Ac(t-τ)的取值,As1和As2分别表示As(t)和As(t-τ)的取值,求包络和相位的二维概率密度步骤如下:先求出四维概率密度fAcAs（Ac1,As1,Ac2,As2）,然后转换为fAΦA1,φ1,A2,φ2,最后再导出fA