【数学】三角形的角平分线课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章

三角形的证明1.5.2三角形的角平分线01教学目标02知识回顾03问题导入04探究新知05课堂练习06课堂小结07作业布置01教学目标

通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中角平分线的性质。01

能准确的说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.02

通过小组成员的合作交流学习，学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题．

0302复习导入角平分线角平分线性质定理角平分线判定定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.∵P在∠AOB的内部,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴OP平分∠AOB.文字语言符号语言02复习导入如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(课本第38页例题2）(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.EDABC02复习导入解：(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，DC⊥AC∴DE=CD=4

又∵AC=BC∠C=90°

∴∠B=45°∴∠BDE=45°∴BE=DE=4（等角对等边）在等腰RT△BDE中，由勾股定理得EDABC02复习导入EDABC(2)证明：∵DE⊥AB,DC⊥AC

∴在Rt△ACD和Rt△AED中

DE=CD

AD=AD

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE( 全等三角形对应边相等）又∵BE=DE=CD∴AB=AE+BE=AC+CD03问题导入如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么地方？04新知探究问题（1）观察三个三角形的形状？它们分别代表什么三角形？问题（2）观察三条角平分线，你发现了什么？问题（3）通过观察思考，你能得出什么结论？1：分别作出△ABC的三条角平分线

04新知探究发现：三角形的三条角平分线相交于一点.

并且这点到三边的距离相等04新知探究已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，证明：P点在∠BAC的角平分线上．且PD=PE=PF04新知探究证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC平分线，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．∴△ABC的三条角平分线相交于点,且PD=PE=PF04新知探究定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.几何语言如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.注:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.04新知探究三角形三边的垂直平分线的交点与三条角平分线的交点有什么不同?三条边的垂直平分线三个角的平分线锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心）到三角形三边的距离相等（内接园圆心）03新知探究问题解决：如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么位置？P由于三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等。所以作三角形的角平分线.其交点P就是凉亭的位置，如图所指示.04课堂练习【知识技能类作业】必做题：1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（

）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：52．△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是（

）A．BD=DC B．BE⊥ACC．FA=FB D．点F到三角形三边的距离都相等CD04课堂练习【知识技能类作业】必做题：3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8,BC=10，则△BCP的面积为（

）A．16B．20C．40D．804、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,BD=2CD,点D到AB的距离是5.6，则BC=

.C16.804课堂练习【知识技能类作业】必做题：5.△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是（

）A．BD

=DCB．BE⊥ACC．FA

=FBD．点F到三角形三边的距离都相等6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．60DB04课堂练习【知识技能类作业】选做题：7．如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC=10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（

）A.2B.3C.4D.5C解答提示：过A点作BC的垂线交BC于E，交CD于P,过P点作AC的垂线交AC于Q点,由于CD平分∠ACB，所以PE=PQ，PA+PQ=PA+PM=AM.(垂直线最短）.△ABC的面积是20，最长边BC=10，底边上的高AM=4,所以AP+PQ的最小值是4.04课堂练习【综合拓展类作业】8.如图所示，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N．求证：PM=PN解：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD，AB=BC,BD=BD在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．04课堂练习【综合拓展类作业】9.在△ABO中，AB=AO，∠BAO=90°，AD⊥BO于D，过O点引射线OF交BA延长线于F点．过B点作BE⊥OF于E点、分别交AD、A于点G，H．(1)求证：(2)若AH=AG；①判断BE是否是△CBF的角平分线，并说明理由；②说明．BH=2OE

04课堂练习【综合拓展类作业】(1)证明：∵BE⊥OF于E点，∴∠BEO=90°，∴∠BAO=90°=∠BEO∵∠ABH+∠BHA=90°，∠AOF+∠OHE=90°，∠BHA=∠OHE，∴∠ABH=∠AOF在△ABH和△AOF中∠ABH=∠AOF∠BAH=∠OAF=90°AB=AO04课堂练习【综合拓展类作业】(2)解：①BE是△OBF是角平分线．理由如下：∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，∵∠AGH=∠BGD，∴∠AHG=∠BGD∵AD⊥BO于D点，∴∠GBD+∠BGD=90°，∵∠BAO=90°，∴∠ABH+∠AHB=90°，∴∠GBD=∠ABH，∴BE是△OBF是角平分线．04课堂练习【综合拓展类作业】②证明：∵△ABH≌△AOF，∴BH=OF，∵BE是△OBF是角平分线，∴∠ EBO=∠EBF在△BOE和△BFE中∴△BOE≌△BFE(AAS)∴EF=OE=∴BH=2OE．∠EBO=∠EBF∠BEO=∠BEF=90°BE=BE课堂总结三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.三角形角平分线定理几何语言如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF.06作业布置【知识技能类作业】必做题：1．下列命题是真命题的是（）A．同旁内角互补B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形C．两边及一角对应相等的两个三角形全等D．角平分线上的点到角两边的距离相等2、△ABC的外角平分线CE、BD相交于点P,P到AB的距离是3，则P到AC的距离是（

）A.1B.2C.3D.4DC06作业布置【知识技能类作业】必做题：3．如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（

）①作射线OC；②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；③分别以D、E为圆心，大于

的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C．A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②C06作业布置【知识技能类作业】必做题：4.如图：∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E,且AB=3cm,BD=2cm,则DE=

.5.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D是OC上的一点，过D作直线DE⊥OA,垂足为E,且直线DE交OB于F,若DE=2,则DF=

.6.如图P是∠AOB的角平分线OC上的一点，PN⊥OB，M是线段ON上的一点，已知OM=3,ON=4,点D是OA上的一点，若满足PD=PM，则OD=.143或506作业布置【知识技能类作业】选做题：7.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE=CD;②BE⊥CD;③OA平分∠CAE;④∠AOB=45°其中正确结论的是__________．①②④06作业布置【知识技能类作业】选做题：解答提示：证△ABE≌△ACD,全等三角形的对应边相等，故①正确；根据△ABE≌△ACD的对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，故②正确；过A分别作BE、CD的垂线交BE、CD于M、N，由于△ABE≌△ACD,它们的面积相等，底(BE=CD)也相等，所以高也相等(AM=AN),根据角平分线的判定定理故④正确；假设③正确，根据ASA证明△AOD≌△AOB,得到AD=AB,不一定成立，故OA平分∠CAE不一定成立。故③不一定正确。所以正确的答案是：①②④MN06作业布置【综合拓展类作业】8.如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF=BE+CF;②∠BOC=90°+∠A;③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m,AE+AF=n则

，其中正确的有（

）。A.①②③B.①②④

C.②③④D