【数学】2025-2026学年北师大版数学八年级上册期末易错题复习

北师大版八年级上期末易错题复习一．选择题1．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm2．如图，AB＝AC＝4，P是BC上异于B、C的一点，则AP2+BP•PC的值是（）A．20 B．25 C．24 D．163．下列语句：①﹣1是1的平方根．②带根号的数都是无理数．③﹣1的立方根是﹣1．④38的立方根是2．⑤（﹣2）2的算术平方根是2．⑥﹣125的算术平方根是±5．⑦有理数和数轴上的点一一对应．⑧181的平方根是A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．已知一个两位数，它的十位数字x与个位数字y的和是5．若把该两位数的个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新两位数比原数小9，求这个两位数．正确的方程组为（）A．x+y=5(x+y)+(x+y)=9B．x+y=5(10x+y)=(x+10y)+9C．x+y=5(10x+y)+(x+y)=9D．x+y=55．下列运算：（1）2+3=5，（2）52+3A．2个 B．3个 C．4个 D．以上都不对6．在平面直角坐标系中，点P（a，3）与点Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a﹣b的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣57．已知点A（4，3）和点B是坐标平面内的两个点，且它们关于过点（﹣3，0）与y轴平行的直线对称，则点B的坐标是（）A．（1，3） B．（﹣10，3） C．（4，3） D．（4，1）二．填空题8．用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），给出下列四个结论正确的是．（填序号即可）①x﹣y＝2；②x2+y2＝49；③2xy＝45；④x+y＝9．9．如图，正方形ABCD中，AB＝8，点E、F分别在边AB、BC上，BE＝BF＝2，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PF的最小值是．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD−12PC的最大值为11．如图，长方体的底面积为6cm2，长、宽、高的比为3：1：2，若一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到顶点B，则从点A爬行到点B的最短路程是cm．12．如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕几圈丝线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是cm．13．若最简二次根式3n−1m+2与−4n−m是同类二次根式，则m﹣n＝14．已知关于x，y的方程mx+ny＝10的两个解分别是x=−1y=1；x=2y=−1，则mn的值为15．甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价20%，乙商品提价60%，调整后两种商品的单价和比原来的单价和提高了50%，则购买调价后的3件甲商品和2件乙商品共需元．三．解答题16．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC＝21，AD⊥BC，垂足为点D．（1）求BD、CD的长；（2）求△ABC的面积．17．已知x、y为实数，且y=x−9−9−x+4，求18．如图所示，某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为228米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形．（1）小长方形的长和宽分别为多少米？（2）计划在空地上种各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价200元，经计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？19．先化简，再求值：ab−1aba20．已知点M（3a﹣2，a+6），分别根据下列条件求出点M的坐标．（1）点M在x轴上；（2）点N的坐标为（2，5），且直线MN∥x轴；（3）点M到x轴、y轴的距离相等．21．在平面直角坐标系中，已知点A（2a，a﹣b+1）和点B（b，a+1）关于原点对称，求代数式ab+ab的值．22．如图，在平面直角坐标系中有一长方形ABCD，其中A（0，0），B（8，0），D（0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处，求E点的坐标．【参考答案与试题解析】一、选择题题号1234567答案ADBBAAB1、【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，根据两点之间，线段最短可知A′B的长度即为所求；接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出A′B的长了．【解答】解：如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5（cm），BD＝12﹣3+AE＝12（cm），∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=A′D2故选：A．2、【分析】分析题意，要求解AP2+BP⋅PC的值，不能直接得出，需要添加辅助线来解答．过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ADP与Rt△ABD中，运用勾股定理可表示出AP2＝AD2+DP2，AB2＝AD2+BD2．根据AB＝AC，AD⊥BC，运用三线合一以及线段之间的转化可得BP⋅PC＝BD2﹣DP2．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AD⊥BC，∴△ADP与△ABD都为直角三角形，∴AP2＝AD2+DP2，AB2＝AD2+BD2，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵PC＝CD+DP，BD＝CD，∴PC＝BD+DP，∵BP＝BD﹣DP，PC＝BD+DP，∴BP⋅PC＝BD2﹣DP2，∵AP2＝AD2+DP2，BP•PC＝BD2﹣DP2，∴AP2+BP•PC＝AD2+BD2，∵AB2＝AD2+BD2，AP2+BP•PC＝AD2+BD2，∴AP2+BP•PC＝AB2，∵AB＝4，∴AP2+BP•PC＝16，故选：D．3、【分析】根据立方根，平方根，算术平方根和无理数的定义，逐一进行判断即可．【解答】解：﹣1是1的平方根，故①正确；带根号的数不一定是无理数，如4=2，2是有理数，故②﹣1的立方根是﹣1，故③正确；38=2，2的立方根是32（﹣2）2＝4，4的算术平方根是2，故⑤正确；﹣125没有算术平方根，故⑥错误；实数和数轴上的点一一对应，故⑦错误；181=19，19故选：B．4、【分析】根据“十位数字x与个位数字y的和是5．若把该两位数的个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新两位数比原数小9”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵十位数字x与个位数字y的和是5，∴x+y＝5；∵把该两位数的个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新两位数比原数小9，∴（10x+y）＝（10y+x）+9．联立两方程组成方程组x+y=5(10x+y)=(x+10y)+9故选：B．5、【分析】根据同类二次根式能合并，不是同类二次根式不能合并即可作出判断．【解答】解：（1）2+（2）52+3（3）3+2≠3（4）82（5）9a2+25b2综上可得（2）（4）正确．故选：A．6、【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．【解答】解：∵点P（a，3）与点Q（﹣2，b）关于x轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，则a﹣b的值为：﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1．故选：A．7、【分析】根据关于平行于y轴的直线的对称点的纵坐标相等求出点B的纵坐标是3，再根据轴对称的性质求出点B的横坐标，然后写出即可．【解答】解：点（﹣3，0）与y轴平行的直线为直线x＝﹣3，∵点A、B关于直线x＝﹣3对称，∴点B的纵坐标为3，设点B的横坐标为x，则4+x2解得x＝﹣10，所以，点B的坐标为（﹣10，3）．故选：B．二、填空题8、【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．【解答】解：①由图可知，x﹣y＝CE=4故本选项正确；②∵△ABC为直角三角形，∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝49，故本选项正确；③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为4×12即2xy＝45；故本选项正确；④由2xy＝45①，又∵x2+y2＝49②，∴①+②得，x2+2xy+y2＝49+45，整理得，（x+y）2＝94，x+y=94故本选项错误，∴正确结论有①②③．故答案为：①②③．9、【分析】过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，则E′F即为所求，根据正方形的性质可知△AEE′是等腰三角形，AE′＝6，GA＝BF＝2，即可求出GE′的长，再由勾股定理即可求出E′F的长．【解答】解：过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，则E′F即为所求，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∵EE′⊥AC，∴△AEE′是等腰三角形，∴AE＝AE′＝8﹣2＝6，∵GF⊥AD，∴GA＝BF＝2，∴GE′＝AE'﹣AG＝6﹣2＝4，在Rt△GFE′中，GE′＝4，GF＝8，∴E′F=E′故答案为：4510、【分析】由PD−12PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−12【解答】解：在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵PBBG=2∴PBBG∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴PGPC∴PG=12当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG故答案为：511、【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．【解答】解：设长方体长、宽、高分别为3x，x，2x，∵长方体的底面积为6cm2，∴3x•x＝6，∴x=2∴长、宽、高分别为32，2，22，∴展开前面右面由勾股定理得：AB2=展开前面上面由勾股定理得：AB2=(3展开左面上面由勾股定理得：AB2=(∴最短路径长为AB=36=6故答案为：6．12、【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BE＝120cm，AC＝30×3＝90（cm），∴AB=1202答：按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是150cm．故答案为：150．13、【分析】根据根指数都是2次和同类二次根式的被开方数相同列出方程组，求出m，n的值，代入代数式求值即可．【解答】解：根据题意得：3n−1=2m+2=4n−m解得：m=1n=1∴m﹣n＝1﹣1＝0．故答案为：0．14、【分析】由二元一次方程的解的含义可得−m+n=102m−n=10【解答】解：∵方程mx+ny＝10的两个解分别是x=−1y=1；x=2∴−m+n=102m−n=10解得m=20n=30∴mn＝20×30＝600，故答案为：600．15、【分析】设甲商品原来的单价为x元/件，乙商品原来的单价为y元/件，根据调价前两商品的单价和为100元及调价后两商品的单价和提高了50%，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入3×（1﹣20%）x+2×（1+60%）y中即可求出结论．【解答】解：设甲商品原来的单价为x元/件，乙商品原来的单价为y元/件，根据题意得：x+y=100(1−20%)x+(1+60%)y=100×(1+50%)解得：x=12.5y=87.5∴3×（1﹣20%）x+2×（1+60%）y＝310．故答案为：310．三．解答题16、【分析】（1）设BD＝x，则CD＝21﹣x．在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＝132﹣x2．在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝202﹣（21﹣x）2．依此列出方程求出x，进一步得到CD的长；（2）在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD的长，再根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）设BD＝x，则CD＝21﹣x．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＝AB2﹣BD2．∴AD2＝132﹣x2．在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2﹣CD2．∴AD2＝202﹣（21﹣x）2．∴132﹣x2＝202﹣（21﹣x）2．解得x＝5，即BD＝5．∴CD＝21﹣x＝21﹣5＝16．（2）在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD=A∴S△ABC=12BC•AD17、【分析】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，进而得出答案．【解答】解：∵y=x−9∴x＝9，y＝4，则x﹣y＝9﹣4＝5．18、【分析】（1）设小长方形的长为x米，宽为y米，根据题意列出方程，即可求解；（2）用200乘以空地的面积，即可求解．【解答】解：（1）设小长方形的长为x米，宽为y米，根据题意得：2x=5y2(2x+x+2y)=228解得：x=30y=12答：小长方形的长为30米，宽为12米；（2）200×（30×2）×（30+12×2）＝648000元，答：预计花费648000元．19、【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则把原式化简，把a、b的值代入计算即可．【解答】解：原式=abb−1ab•=abb−＝a﹣b，当a＝3，b＝2时，原式＝3﹣2＝1．20、【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0列式计算即可得解；（2）根据平行于x轴的点的纵坐标相同列出方程求出a的