浙江省杭州市上城区杭九中2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

第第页浙江省杭州市上城区杭九中2024-2025学年高一上学期期末数学试题一、单选题：每题5分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos210A．12 B．−12 C．3【答案】D【解析】【解答】解：cos210°=cos故答案为：D.【分析】根据已知条件和诱导公式，从而化简求值.2．命题：∀x∈N，x>xA．∀x∈N，x≤x B．不存在x∈N，C．∃x∈N，x>x D．∃x∈N，【答案】D【解析】【解答】解：命题：∀x∈N，x>x的否定为：∃x∈N，x⩽故答案为：D．

【分析】利用含有量词命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，即可求出答案。3．设角α的始边为x轴的非负半轴，则“角α的终边在第二象限”是“cosα<0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【解答】解：已知角α的始边为x轴非负半轴，若角α的终边在第二象限，则cosα<0若cosα<0，则角α的终边在第二、三象限或者在x故“角α的终边在第二象限”是“cosα<0故答案为：A．

【分析】角a的始边为x轴非负半轴，通过“角a的终边在第二象限”判断cosa的正负；再通过cosa<0判断角a的终边的位置，根据充分条件、必要条件的定义，从而可得出答案.4．托马斯说：“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}A．y=2x B．y=x+2 C．y=x2 【答案】C【解析】【解答】解：对于A，集合M中的元素−1按对应关系y=2x，在集合N中没有元素与之对应，

故A不是函数；对于B，集合M中的元素4按对应关系y=x+2，在集合N中没有元素与之对应，故B不是函数；对于C，集合M中的每个元素按对应关系y=x2，在集合对于D，集合M中的元素−1按对应关系y=2x，在集合故答案为：C.【分析】根据已知条件和函数的定义，从而逐项判断找出对应关系是集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}5．已知a=(12)1A．c<b<a B．c<a<b C．a<b<c D．a<c<b【答案】B【解析】【解答】解：0<a=(12)13<1故答案为：B.

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性进行比较，可得答案。6．方程log4A．(14，13) B．(【答案】B【解析】【解答】解：令f(x)=log4x+又因为f(13)=log4所以方程的解所在区间为(13，故答案为：B．

【分析】令f(x)=log4x+7．将函数f(x)=sinωx（其中ω>0）的图像向右平移π4A．13 B．1 C．53【答案】D【解析】【解答】解：将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，

所得函数的解析式为f(x)=sinω(x−π4)，

因为它的图象经过点(3π4,0)，

所以ω(3π4−π4)=ωπ2=kπ(k∈Z)，

则ω=2k(k∈Z)，8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽A．10% B．30% C．60% D．90%【答案】B【解析】【解答】解：当SN=1000时，C1=Wlog∴C2C1故答案为：B

【分析】利用实际问题的已知条件结合换底公式，从而求出C大约增加了的百分数。二、多选题：本题共3小题，每题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．(多选)若f(x)=3A．f(x)在−1,1上单调递增B．y=3x+1C．f(x)的图象过点(0,1)D．f(x)的值域为1,+【答案】A,B【解析】【解答】解：函数f(x)=3x+1的定义域为R，且为增函数，

A、由分析可知：函数f(x)=B、y=3x+1C、易知f(0)=30+1=2，则函数fD、因为3x>0，所以f(x)>1，则函数的值域为（1,+∞【分析】根据指数函数的性质逐项分析判断即可.10．下列结论正确的是（）A．−4B．若α为锐角，则2α为钝角C．若tanα=2，则D．若圆心角为π6的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A：因为−4π3=−2π+2π3所以−4π对于B：若α为锐角，则2α为锐角、直角或钝角，故B错误；对于C：若tanα=2，则sin对于D：若圆心角为π6的扇形的弧长为π，利用l=R⋅α，解得R=6故该扇形的面积为S=1故答案为：ACD．

【分析】直接利用象限角的定义、三角函数关系式、扇形面积公式的应用，逐项进行判断，可得答案。11．已知函数f(x)=12x+1,x≤0lgx,x>0，若存在不相等的实数a,b,c,dA．k∈(0,1] B．a+b=−2C．cd=1 D．a+b+c+d的取值范围为−2,【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、同一坐标系中，作出y=f(x)与y=k的图象，如图所示：

由图可知：|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|=k，则0<k≤1，故A正确；B、由对称性可知a+b=2×−2C、令−lgx=1，解得x=110，则可得lgc+lgd=0D、a+b+c+d=c+d−4=c+1c−4令y=c+1c∈故答案为：ACD.【分析】同一坐标系中作出y=f(x)与y=k的图象，数形结合可得0<k≤1即可判断A；由对称性可得a+b=−4即可判断B；令−lgx=1，求得x，可求得110≤c<1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,2)，则f(x)=【答案】x【解析】【解答】解：设幂函数y=f(x)=xa，因为函数图象过点(2,2)，

所以2a=2故答案为：x1【分析】由题意，设函数y=f(x)=x13．若函数g(x)=f(2x)−【答案】−【解析】【解答】因为函数g(x)=f(所以f(2x)+f(−2x)=2x2，所以又f(1)=2，所以故答案为：−3

【分析】根据题意由奇函数的定义代入数值整理化简，即可得出f(1)+f(−1)的值，由此即可求出答案。14．如图，一块边长为1的正方形区域ABCD，在A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠MAN始终为π4，记探照灯照射在正方形ABCD内部区域（阴影部分）的面积为S．若设∠BAM=α，α∈0,π4，则【答案】2−【解析】【解答】解：因为AB=1,∠BAM=α,α∈0,π4令tanα=t，因为0≤t≤1，∠DAN=π4则S=≤2−12×2则S的最大值为2−2故答案为：2−2【分析】由题意可得BM=tanα，令tanα=t，DN=tanπ4−α四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知关于x的不等式ax2+5x−2>0（1）若a=3，求解集M；（2）若M=x12<x<2解关于【答案】解：（1）当a=3时，不等式3x2+5x−2>0，即(则M=(（2）若M={x|12<x<2}，则2是不等式ax2x−1>1，即−2x2x−1>1，即则不等式的解集为{x|【解析】【分析】（1）将a=3代入，解一元二次不等式即可得解集M；（2）根据M={x|116．已知锐角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P3,4（1）求sinπ（2）若锐角β满足cosα+β=−5【答案】解：（1）由题意可得：sinα=则sinπ（2）因为锐角β满足cosα+β=−5则sinβ=sin【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求得sinα=（2）由题意，根据同角三角函数基本关系求得sinα+β=1217．经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量L（单位：千克）与施肥量x（单位：千克）满足函数关系：Lx=5x2+6,0≤x≤2（1）求fx（2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）由题意可得：f(x)=15L(x)−20x−25x，则f(x)=75（2）当0⩽x⩽2时，f(x)=75x2−45x+450=75(x−310)2当2<x⩽5时，f(x)=1125x1125x+1+45(x+1)⩾21125x+1×45(x+1)则f(x)=1170−1125综上，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．【解析】【分析】（1）由题意，根据该水果树的单株利润为f(x)=市场售价×单株产量L(x)−肥料成本−其它成本，求函数f(x)的解析式即可；（2）由（1）的解析式，利用二次函数的性质，以及基本不等式分别求函数的最大值，最后比较两个最大值即可得结论．18．已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,−π2（1）求函数fx（2）将fx图像上所有的点向左平移π4个单位长度，得到函数y=gx的图像，若对于任意的x1,x2【答案】（1）解：由图可得A=2，S△ABC=12BC⋅yA因为函数fx的图像过点D0,−1，所以fx=2sin则fx（2）解：由题意可得gx设hx∀x1,x2即fx1−gx1<fx令π2+2kπ因为π−m<m，所以m>π2，则π−m<π故m最大值为13π24【解析】【分析】（1）由图可得A=2，根据△ABC的面积求出BC，即T2，结合周期公式求ω的值，再根据函数图象过点D0,−1，求出φ，即可得函数（2）根据三角函数图象的平移变换求出gx解析式，设hx=fx−gx，化简函数解析式，由题意可得函数（1）由题意可得A=2，S△所以T2=2π2ω=图像过点D0,−1，则fx=2sinφ=−1所以fx（2）由题意可得gx设h=2x1,x2∈即fx1−g∴hx在区间π令π2+2kπ因为π−m<m，所以m>π2故π−m≥11π所以m最大值为13π2419．已知a,m∈R，函数f(x)=4⋅3（1）若函数f(x)图象的过点(0,3)，求满足不等式flog（2）当a=−4时，对任意的实数x∈R，若总存在实数t∈[0,4]使得f(x)=h(t)【答案】（1）解：因为函数f(x)图象过点(0,3)，所以f(0)=4+a1+1=3则f(x)=4⋅3x不等式flog3t>3等价于因为t>0，所以t>1，故满足不等式flog3t（2）解：当a=−4时，函数f(x)=4⋅因为3x∈(0,+∞)⇒3由题意知，对任意的实数x∈R，若总存在实数t∈[0,4]使得f(x)=h(t)则f(x)的值域是h(t)在t∈[0,4]上的值域的子集，而m>0且h(0)=4，所以h(t)在t∈[0,4]上不能单调递增，且只需h(t)在t∈[0,4]上的最小值小于等于−4，则h(2m+12m)≤−42m+12m即正实数m的取值范围为72【解析】【分析】（1）由题意可得f(0)=3，解出a的值，再将分式不等式转化为整式不等式求解即可；（2）将a=−4代入，分离常数化简函数，求出f(x)的值域，由条件可得f(x)的值域是h(t)在t∈[0,4]上的值域的子集，再分2m+12m≤4、（1）因为函数f(x)图象过点(0,3)，则f(0)=4+