浙江省杭州市下沙区杭四吴山2024-2025学年高二上学期期末数学试题（解析版）

第第页浙江省杭州市下沙区杭四吴山2024-2025学年高二上学期期末数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．过点(0,0)和点(0,1)的直线倾斜角为（）A．45° B．90° C．135° D．0°【答案】B【解析】【解答】解：由过点(0,0)和点(0,1)的直线为x=0，即其倾斜角为90°.故答案为：B【分析】画图分析两点横坐标相同，故同在直线为x=0，即可得倾斜角.2．数列an是等差数列，a5=10,a9A．a3=6,S9=90 B．a3【答案】A【解析】【解答】解：由题设，数列an的公差d=a9−a59−5故答案为：A【分析】代入等差数列通项公式，求出公差，进而求a3，代入等差数列的前n项和公式可求S3．抛物线y=4xA．116,0 B．18,0 C．【答案】C【解析】【解答】解：由题设，抛物线的标准方程为x2=1故答案为：C【分析】将抛物线的方程化为标准方程，进而得到焦点坐标.4．已知A(0,4,0),B(3,0,0),C(0,0,2)，则平面ABC的一个法向量可以为（）A．(4,3,6) B．(−4,3,6) C．(4,−3,6) D．(4,3,−6)【答案】A【解析】【解答】由题设AB=(3,−4,0)，AC若m=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量，则m取y=3，则m=(4,3,6)故答案为：A【分析】求出AB⃗5．若双曲线x2a2−y2bA．y=±2x B．y=±2x C．y=±1【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知2a=4，2c=43，即a=2，c=2b=c则双曲线的渐近线方程为y=±2故答案为：B.【分析】由题意可得a,c，根据双曲线中a,b,c的关系求得b=226．已知正项等比数列{an}满足a3为2a2A．22 B．12 C．2【答案】B【解析】【解答】设等比数列{an}由题意得a32=2∵a1>0，a3故答案为：B.

【分析】根据等比中项定义和等比数列通项公式得a12q4=27．已知点O(0,0)，点P满足|PO|=1，则点P到直线x−my−4=0的距离的最大值为（）A．2 B．4 C．3 D．5【答案】D【解析】【解答】解：由题设P在以O(0,0)为圆心，r=1为半径的圆上，又O(0,0)的直线x−my−4=0的距离d=4则d+r=41+m所以点P到直线x−my−4=0的距离最大值为5.故答案为：D【分析】首先分析动点轨迹，确定其轨迹为圆并明确圆心与半径；再计算圆心到已知直线的距离；结合圆的几何性质，推导圆上点到直线距离的最大值（圆心到直线距离+半径），同时注意题目中的取值限制条件.8．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(4)=0，当x>0时，有xf'(x)−f(x)<0A．(−4,0)∪(0,+∞) C．(−∞,−4)∪(4,+∞【答案】B【解析】【解答】解：令g(x)=f(x)x且x≠0，

则g(−x)=f(−x)在(0,+∞)上，g'(x)=x所以，在(−∞,0)上g(x)单调递增，且所以x∈(−∞,−4)∪(4,+∞)上，x∈(−4,0)∪(0,4)，g(x)>0，则xf(x)>0，由xf(x)>0，又因为f(0)=0，

则解集为(−4,0)∪(0,4).故答案为：B.【分析】构造g(x)=f(x)x，先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，则结合已知确定区间对应的函数值符号，从而求出二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9．已知正方体ABCD−AA．DA,DC,C．A1B,【答案】A,C【解析】【解答】解：空间中的一组基底由3个不共面的向量构成.A、DA,B、因为BB1=AA1，所以AC=C、A1B，BD1在平面A1BCD1上，而DC与平面D、因为B1D1=BD故答案为：AC.【分析】选项A可通过正方体的直观图形特征直接判断为正确；选项B、D依据空间三向量共面的判定方法（如向量能否表示为另外两个向量的线性组合）分析为错误，选项C同理判定为正确.10．下列说法正确的有（）A．直线倾斜角越大，斜率越大B．过点Px1C．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条D．直线x2−【答案】C,D【解析】【解答】解：A、当直线倾斜角为钝角时，直线斜率k<0，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率k>0，该选项错误，不合题意.B、当x1≠x2,C、当直线过原点时，由直线过点(1,1)可得直线斜率k=1，故直线方程为y=x.当直线不过原点时，设直线方程为xa把点(1,1)代入直线方程得1a+1a=1综上得，经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，该选项正确，符合题意.D、对于直线x2−y3=1，令x=0，得y=−3故答案为：CD.【分析】分析直线相关概念与方程的选项时，选项A结合倾斜角与斜率的核心关系判断；选项B依据两点式方程的限制条件排除；选项C通过分类讨论（过原点/不过原点）推导验证；选项D根据截距的定义确认，最终明确各选项正误.11．如图，在正方体ABCD−A1B1C1DA．存在符合条件的点F，使得B1F//平面B．不存在符合条件的点F，使得BF⊥DE；C．异面直线A1D与ECD．三棱锥F−A1DE【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、当F与C重合时，根据正方体的结构特征易知B1C//A由B1F⊄面A1ED，A1D⊂面B、以A为原点建立如下图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0),D(0,2,0),E(2,0,1)，假设存在符合条件的点F(2,2,t)且t∈[0,2]满足BF⊥DE，则BF=(0,2,t)，DE所以BF⋅DE=0−4+t=0⇒t=4C、由上A1(0,0,2)，C1(2,2,2)，可得所以cosA1D,EC1D、A1D=22，A由余弦定理cos∠EA1所以△A1DE设平面的一个法向量为n=(x,y,z)，A1D则n⋅DE=2x−2y+z=0n⋅A1所以点F到平面A1DE的距离为三棱锥的体积VF−因此可得三棱锥的体积的取值范围是[2故答案为：ABD【分析】选项A利用线面平行的判定定理，分析当点与某点重合时直线与平面的位置关系，判定为正确；选项B通过建立空间直角坐标系，假设存在符合条件的点并设其坐标，结合向量垂直的数量积性质（数量积为0）列方程求解，判断是否存在；选项C借助空间向量的夹角公式，计算异面直线方向向量的夹角余弦值，得到异面直线所成角的余弦值；选项D运用向量法求出点到平面的距离，结合三棱锥体积公式计算体积，完成判断.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．曲线f(x)=ex−2x在点(0,1)【答案】x+y−1=0【解析】【解答】解：由题设f'(x)=ex−2所以曲线f(x)=ex−2x在点(0,1)处的切线方程是y−1=−x故答案为：x+y−1=0【分析】直接应用导数的几何意义（函数在某点的导数为该点切线的斜率），结合点斜式方程，即可求出切线方程.13．数列an=18,n=1【答案】−4【解析】【解答】解：由题设1<n≤6，则an所以{an}所以an=18−4(n−1)=22−4n且所以通过数列图象上所有点的直线的斜率为−4.故答案为：−4【分析】由an−an−1=−414．椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x【答案】55【解析】【解答】解：由题设0<ba<25又0<e1<1故答案为：5【分析】根据已知可得b2a2<4四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.）15．如图，已知在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB（1）求证：D1E//（2）求平面CB1F【答案】（1）证明：由AA1⊥平面ABCD，AD⊥AB，以点A为原点，分别以AB,AD,AA1为x建立空间直角坐标系，如图所示：由AB=AA1=4,AD=DC=2，E是B所以C2,2,0所以D1设平面CB1F所以n⋅CB1=2所以n⋅D1E=3×1+所以D1E（2）解：由AA1⊥平面ABCD，所以A由1得平面CB1F设平面CB1F与平面ABCD所以cosθ=所以平面CB1F与平面ABCD【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，计算n⋅（2）由AA1⊥平面ABCD，得平面ABCD的一个法向量为AA1=0,0,4（1）由AA1⊥平面ABCD，AD⊥AB，以点A为原点，分别以AB,AD,AA1为x建立空间直角坐标系，如图所示：由AB=AA1=4,AD=DC=2，E是B所以C2,2,0所以D1设平面CB1F所以n⋅CB1=2所以n⋅D1E=3×1+所以D1E（2）由AA1⊥平面ABCD，所以A由1得平面CB1F设平面CB1F与平面ABCD所以cosθ=所以平面CB1F与平面ABCD16．已知Sn是等差数列a（1）证明Sn（2）设Tn为数列Snn的前n项和，若S【答案】（1）证明：若an的公差为d，则S所以Snn=故Sn+1即Snn是首项为a1（2）解：由题设S44=3,S8所以S11=【解析】【分析】（1）代入等差数列的前n项和公式，再两边同时除以n，得Sn（2）由（1）数列Snn的公差Δd=1，即数列S（1）若an的公差为d，则S所以Snn=故Sn+1即Snn是首项为a1（2）由题设S44=3,S8所以S11=17．已知函数f(x)=aln（1）若a=−1，求证：f(x)在(1,+∞（2）当a=−4时，求函数f(x)在[1,e（3）若存在x∈[1,e]，使得【答案】（1）证明：由题设f(x)=−lnx+x则在(1,+∞)上有f'(x)>0，故（2）解：由题设f(x)=−4lnx+x当1≤x<2时f'(x)<0，当2所以f(x)在[1,2)上单调递减，在(2所以最小值为x=2时f(2)=2−2ln2（3）解：由题设alnx+x2≤(a+2)x对于y=x−lnx，则在x∈[1,e故y=x−lnx在[1,e]上单调递增，且x=1时y=1，即在所以a≥x2−2x令g(x)=x2−2xx−lnx对于y=x−2lnx+2且x∈[1,e当1≤x<2时，y'<0，即y=x−2ln当2<x≤e时，y'>0，即y=x−2当x=2，y=4−2ln2>0，即在[1,e在[1,e]上g'(x)≥0恒成立，则g(x)在所以a≥-1.【解析】【分析】（1）求定义域，求导数，再根据f'（2）类比（1）的步骤，通过导数研究函数的单调性，再求区间内最值即可；（3）将x2−2x≤a(x−lnx)问题化为a≥x（1）由题设f(x)=−lnx+x则在(1,+∞)上有f'(x)>0，故（2）由题设f(x)=−4lnx+x当1≤x<2时f'(x)<0，当2所以f(x)在[1,2)上单调递减，在(2所以最小值为x=2时f(2)=2−2ln2（3）由题设alnx+x2≤(a+2)x对于y=x−lnx，则在x∈[1,e故y=x−lnx在[1,e]上单调递增，且x=1时y=1，即在所以a≥x2−2x令g(x)=x2−2xx−lnx对于y=x−2lnx+2且x∈[1,e当1≤x<2时，y'<0，即y=x−2ln当2<x≤e时，y'>0，即y=x−2当x=2，y=4−2ln2>0，即在[1,e在[1,e]上g'(x)≥0恒成立，则g(x)在所以a≥-1.18．已知椭圆C:x2a2+（1）求C的方程；（2）过左焦点的直线交C于A、B两点，点P在C上.（i）若△PAB的重心G为坐标原点，求直线AB的方程；（ii）若△PAB的重心G在x轴上，求G的横坐标的取值范围.【答案】（1）解：由题意知e=ca=12解得a=2，b=3，c=1所以C的方程x2（2）解：（i）因为左焦点为−1,0，设直线AB的方程为x=my−1，联立x=my−1x24设Ax1,y1，Bx2因为△PAB的重心为原点，所以y1所以y3=−6m代入x24+解得m=0，所以直线AB的方程是x=−1.（ii）设Gt,0，由（i）可知y3=代入x24+解得3t2+所以3t+4t3t+23t−2≤0【解析】【分析】（1）代入离心率公式e=ca=（2）避免讨论斜率存在不存在问题，将直线AB的方程设为x=my−1，与椭圆方程联立消元，得到一元二次方程，代入韦达定理得到y1+y2=6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，

（1）由题意知e=ca=12解得a=2，b=3，c=1所以C的方程x2（2）（i）因为左焦点为−1,0，设直线AB的方程为x=my−1，联立x=my−1x24设Ax1,y1，Bx2因为△PAB的重心为原点，所以y1所以y3=−6m代入x24+解得m=0，所以直线AB的方程是x=−1.（ii）设Gt,0，由（i）可知y3=代入x24+解得3t2+所以3t+4t3t+23t−2≤019．同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，b∈Z，m∈N*且m>1．若ma-b则称a与b关于模m同余，记作（1）解同余方程x2（2）设（1）中方程的所有正根构成数列an，其中a①若bn=an+1−an（n∈N*②若cn=tana2n+1⋅tana2n−1【答案】（1）解：由x2−x≡0mod3，可得xx−1≡