《时间序列分析》课件 第11章 ARCH模型与 GARCH模型

时间序列分析

张成思第

1

1

章

ARCH模型与

GARCH模型11.1

背景介绍11.2

ARCH模

型11.3

GARCH模

型11.4

非对称

GARCH模

型

：TGARCH模型

与

EGARCH模

型11.5

其他

GARCH

模

型11.1

背景介绍AR模型因为自身经常表现出较高的平滑性而可以用来捕捉相对频率较低的时

间序列变量，如月度、季度通胀率、GDP

增长率等。对这样的时间序列数据其进

行AR模型回归之后的残差序列一般不表

现出很强的异方差性。(%)35T30-2520-1510-1997

200020032006200920122015201820212024(a)

中国M2同比增长率19972000200320062009201220152018图11

-

1

中国

M2

同

比增长率与其

AR模型残差序列：1996

年12月

—

2024年4月(b)AR

模型残差序列(a)上海证券综合指数收益率(%)1992199620002008201220162024(b)

深圳成份指数收益率1992199620002004200820122016图11-2上海证券综合指数收益率和深证成份指数收益率11.2

ARCH模型11.2.1

ARCH模型的定义ARCH模型的核心思想是，误差项在

时刻t的方差依赖于时刻t-1的误差平方

的大小。因此，在ARCH建模的过程中，

要涉及到两个核心的模型回归过程，即

原始的回归模型(常被称为条件均值回

归模型)和方差的回归模型(条件异方

差回归模型)。ARCH(1)模型的基本组成形式：(13.1)(13.2)其中y,和

分别表示因变量和自变量，U₁

表示无序列相关性的随机扰动项。σ²表示

在t时刻随机扰动项的方差，因为方差随

时间变化，并且以过去的扰动项的信息

为变化条件，所以称为“条件异方差”。模型(11.1)表示原始回归模型，在ARCH以及后面介绍的GARCH模型系统中，经常被称为“条件均值等式”,或者简称为“均值等式”。而模型(11.2)体现的ARCH模型的核心内容，该等式被称为“条件方差等式”,或

者简称为“方差等式”。注意，凡是提到ARCH模型，实际上一定包含模型(11.1)和(11.2)这样

的两个等式，缺一不可。另外，

“方

差等式”模型(11.2)有时候也可以写

成下面的形式，模型(11.1)和(11.2)构成了ARCH(1)模型，而更一般的，我们可以将这个模型系统拓展到ARCH(p)的形式，

即：y.=xø+1l,u

~N(0,o)(13.15)0.24-0.20-——残差项的样本自相关函数---残差平方项的样本自相关函数0.16-0.12-0.08-0.04-0.00--0.04-2418202224262830图11-3上海证券综合指数收益率

AR(1)模型残差及残差

平方项的样本自相关函数图可观察到，残差项自身在各期之间没有表现出明显的自相关性，而其平方项呈

现出较强的自相关性，说明残差平方项可

能符合自回归模型的特点。所以，我们可以通过u²的历史信息来预测

u²

。一般情况下，我们经常会观察到

残差平方项之间存在一定的正相关性。这

就是我们常说的股票市场波动性的集群现

象，从图13-2中我们已经看到这样的现象。ARCH模型突出了条件期望的概念，而在传统的回归模型当中，我们以前

经常使用的是无条件方差的概念。为

了说明问题，我们以AR(1)模型y,=C+φy₁-1+U

为

例

。这里，对扰动项的无条件方差和条件

方差可以分别写成：无条件：

u,～N(0,σ²)有条件：

u,～N(0,o²)无条件条件E(y.)=c/(1—φ)c/(1—φ)E(y,

|I₂-1)=c+φy₁-1c+φy₁-1E(u₂)=E(u,

|I-1)=0000E(u²)=σ²ø²E(u²

|I₁-1)=ø²o?表11-1无条件方差和条件方差对应的期望结果的所有根都落在单位圆外。u²的无条件期望：(13.8)(13.9)11.2.2

ARCH模型的属性ARCH模型的方差等式的平稳条件：(13.7)11.2.3ARCH模型的估计与检验利用模型(11.7)还可以对回归模型的参差项进行直接检验ARCH效应。步骤如下：①首先利用OLS回归y,=x'φ+u,获得残差序列u;(2)然后回(3)进行假设检验

ARCH

LMTest检验统计量的计算公式：ARCH(LM)=T*R²由

于GARCH(1,1)

模型的方差等式比ARCH模型的方差等式多了一项

了便

于区分，u-1

被

称

为ARCH

项

，11.3

GARCH模型11.3.1GARCH(1,1)模型的基本定义

GARCH(1,1)模型的基本表达形式：称为GARCH

项

。应用滞后算子，可以将重新写成以下形式：即：11.3.2

GARCH(q,p)模型GARCH(p,q)

的基本形式：使用滞后算子符号a(L)=a₁L+a₂L²+…+a,L

和β(L)=1—β₁L—β₂L²—…—β₄L²

方差等式就可以写成如果滞后算子多项式β(L)对应的过程满足平稳条件，那么式(11.23)可以写成(11.25)(11.26)(11.27)模型(10.26),可得：11.3.3GARCH模型的属性其中：

m=max(q,p)。如果q>p,

则定义：如果q<p,

则定义：的根都落在单位圆外，即满足平稳条件：1-(a₁+β)z-(a₂+β₂)z²-…-(am+βm)z"=0的根都落在单位圆外，那么GARCH

模型系统中的方差等式为平稳过程。对于模型，如果下列方程另

外，11.3.4

GARCH模型的估计与检验这里，我们介绍的GARCH模型的估计过程，通过同时设立均值等式和方差

等式，然后直接获得估计结果。而ARCH

模型只不过是GARCH模型的一个特殊情况，所以这里介绍的GARCH

模型估计过程和估计方法等，同样适用于ARCH模型。要估计GARCH模型，首先要明确组成一个GARCH模型的均值等和方差等

式的具体形式。例如，如果我们要对标准普尔500股票收益率

进行AR(1)回归，

并检验回归残差项是否具有GARCH

效应，

那么可以设立下面的GARCH(1,1)

模型，13.3.5

GARCH模型与波动预测在计量经济学发展的早期，经常使用残差的平方项来直接代表金融序列变量

收益率的波动性

o

t2。2000

2004

2008

2012

2016

2020图11-4上海证券综合指数收益率

AR(1)模型残差的平方

项序列我们使用模型(11.18)中的GARCH(1,1)

模型

例子来说明如何获得波动性的序列

σ

t2,

即利用以上结果，可以获得u=y—0.025093—0.018324yi-1这样，利用y,

序列的观测值及以上假设，我们可以通过以下循环过程获得σ²序列，即o²=0.0183+0.084×0+0.912×4.575=4.1907u₁=y₁—0.025—0.018yo=—0.031—0.025—0=—0.056o2=0.0183+0.084×(一0.056)²+0.912×4.1907=3.8405u₂=y₂—0.025—0.018y₁=0.008—0.025+0.018×0.056=—0.0160o²=0.0183+0.084u²-1+0.912σ²-1u₁=y—0.025—0.018yt-1▶传统的做法是假设

u0=y0=0,而设定σ20等于无条件方差σ2,即…图11-5上海证券综合指数收益率

GARCH(1,1)模型的条件波动性σ2序列Variable

Coefficient

Std.Error

z-Statistic

Prob.C0.0667160.0086947.6733290.0000SP500

_

RETURN(

一

1)

—0.030997

0.012220—2.5366530.0112VarianceEquationC0.0176990.00138612.765650.0000RE

SID(

一

1)^2

0.107558

0.005020

21.42370

0.0000G

A

R

C

H

(

一

1

)

0.8784880.005466160.7091

0.0000R-squared

0.003895

Mean

dependent

var

0.037197Adjusted

R-squared

0.003772

S.D.dependent

var

1.151831S.E.of

regression

1.149656

Akaikeinfo

criterion2.653495Sum

squared

resid

10758.72Schwarzcriterion2.657797Log

likelihood

—10797.38

Hannan-Quinn

criter.

2.654966Durbin-Watsonstat

2.114252Dependent

Variable:SP500_RETURNMethod:ML

ARCH-Normal

distribution(BFGS/Marquardt

steps)

Sample(adjusted):1/03/19925/01/2024Included

observations:8142

after

adjustmentsConvergence

achieved

after

26

iterationsCoefficient

covariance

computed

using

outerproduct

ofgradientsPresamplevariance:backcast(parameter=0.7)GARCH=C(3)+C(4)*RESID(—1)^2+C(5)*GARCH(—1)表11-3标准普尔500指数收益率的

G

ARCH(1,1)

模型估计

结果Variable

Coefficient

Std.Error

z

Statistic

Prob.CDJI_RETURN(-1)0.065592一0.0189210.0085940.0121427.632514-1.5583360.00000.1192VarianceEquationC0.0190110.001562

12.174490.0000RESID(-1)-2

0.1120370.005135

21.817320.0000G

ARCH(

一

1)

0.8713150.005743151.72010.0000R-squared

0.002182

Mean

dependent

var

0.036571AdjustedR-squared0.002060

S.D.dependent

var1.103690S.E.of

regression

1.102553

Akaikeinfocriterion2.585594Sumsquaredresid9895.175

Schwarzcriterion2.589896Log

likelihood

-10520.95

HannanQuinn

criter.

2.587065Durbin-Watsonstat

2.130167表11-4道琼斯工业平均指数收益率的

GARC

H(1,1)模型估计结果DependentVariable:DJI_RETURNMethod:MLARCH-Normaldistribution(BFGS/Marquardtsteps)

Sample(adjusted):1/03/19925/01/2024Included

observations:8142

afteradjustmentsConvergence

achieved

after

20

iterationsCoefficient

covariance

computed

using

outer

product

ofgradientsPresample

variance:backcast(parameter=0.7)G

ARCH=C(3)+C(4)*RE

SID(

一

1)

-

2+C(5)*GARCH(

一

1)12—AR(1)

模型残差序列(标准普尔500指数)840-4-8图11-6残差序列与条件波动性序列比较：标准普尔500指数与道琼斯工业平均指数收益率-121992

199620002004

2008(a)201220162020

202450——条件波动性序列(标准普尔500指数)40302010199219962000200420082012

201620202024(b)1992

1996

2000

20042008(c)2012

2016

202402004

2008(d)——条件波动性序列(道琼斯工业平均指数)504030201020122016

20202024假定通过上述过程获得的样本内最后一个观测值为

,那么我们可以通过

GARCH模型来获得样本外的波动性预测。例如，对于向前一期的预测，可以通过下式获得，即：对于向前多期的动态预测，可以通过循环过程实现，即：αo+α₁E(u²+2

IT)+β₁+2随着预测期间的增最终要收敛到无条件方差的水平，即：11.3.6GARCH-in-Mean模

型简单的GARCH(1,1)-in-Mean

模型可以定义成如下形式，即：把模型(11.35)拓展到GARCH(q,p)的形式：由于在GARCH模型的

,条件方差

很可

能无法区分正的和负的冲击可能造成的不同影响。11.4

非对称

GARCH模型：TGARCH模型与

EGARCH

模

型11.4.1非对称

GARCH

模型的背景介绍因此，利用GARCH

模型分析金融资产收益率的波动性问题，常常需要考

虑到这种非对称影响，而非对称GARCH

模型也就应运而生了。而这种非对称

性的反应有时称为杠杆效应。我们下

面分别介绍两种典型的非对称GARCH模

型，即TGARCH

和EGARCH模型。11.4.2TGARCH模型所谓TGARCH模型，即门限GARCH模型，就是指利用虚设变量来设置一个门限用

以区分正的和负的冲击对条件波动性的

影

响

。以GARCH(1,1)为例，要建立只有一个门限的TGARCH模型，首先，设立一个虚设

变量，满足以下条件，即然后，设立GARCH模型的方差与均值等式：如果将模型(11.38)中的方差等式明确的表示出来，可以写成：,

那

么TGARCH模型捕捉了一定的非对称性0当时，TGARCH

模型就变回到一般的GARCH模型。在一般GARCH模型中，只要α₁+β₁

<1

,就可以确保模型系统具有恒定的无条件方差。而对于TGARCH

模型，不难证明，必须

满足下列条件，才能确保模型系统具有

恒

定

的

无

条

件

方

差a+即：+0.5a{<1展

，表门限个数。并且，如果u,<0

;

她

果

0,

则虽然以上讨论的内容是基于只有一个门限的

TGARCH(1,1)模型的，但可以推广到含有多个门限的TGARCH(q,p)模型，只要将模型(11.37)进行拓

其

则9O11.4.3

EGARCH模型简单的EGARCH(1,1)模型可以设立如

下

：从模型(11.40)可以看到，EGARCH模型中的非对称性表现为如果要检验EGARCH模型中的非对称性是否存在，就是要进行下列假设

检验：H₀:θ=0H:θ<0EGARCH(1,1)模型可以拓展到更一

般的EGARCH(q,p)模型，即GARCH模型设立检验基本思想：首先设立一般GARCH模型，不包含任何非对称因素，并获得残

差序列

和标准差序列

;

然

病定议/σ其

中

：

表示信息集，包含可能与么进而进行以下回归：m一般采用似然比检验来对模型(11.48)进行检验?似然比统计量的定义为：LR～x²(r)如果要检验条件方差是否具有非对称反应，可以使用类似模型(11.37)的条。原假设是要

没有任何解释力，H₀:ζ1=0件来检验

即：义=

I又付11.5

其他GARCH模型11.5.1PGARCH模型PGARCH(1,1)模型的基本形式可以写成其中：h表示幂(power)

的值，非对称性

由系数Y₁捕捉，如果=0,则模型中没

有非对称性因素存在。其中，当i=1,2,…,rYi

≤1

9;其他情况下

,并且要求门限的个更一般的含有多个门限的PGARCH(q,p)·

≤数不能超过p,即OC(4)0.0993920.003435

28.930970.0000C(5)0.1019160.018496

5.5101670.0000C(6)0.9158240.002585

354.26620.0000C(7)1.2652940.082889

15.264870.0000R-squared0.000001Meandependent

var0.037950AdjustedR-squared—0.000145S.D.dependent

var1.573949S.E.of

regression1.574063Akaike

infocriterion3.421243S