2025-2026学年高三上学期辽宁省沈阳一模数学试卷（含答案）

2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定的区域内。2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效。3.考试结束后，考生将答题卡交回。第I卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={x|1<x<6,xA.{4,5} B.{2,3,4,5}C.{2} D.{2,4,5}2.若复数a+3iA.-32C.-233.不等式x+13-A.[1,3] B.[1,3)C.(-∞,1] D.[1,3)∪(3,+∞)4.样本数据5，7，4，6，12，10，11，9的第70百分位数为(

)A.7 B.9 C.9.5 D.105.抛物线y2=2px(A.x=-10 B.C.x=-5 D.6.若函数y=f(x)是y=aA.12,4C.12,37.已知在圆x2+y2-4x+2y=0内，过点A.35 B.C.215 D.8.如果方程F(x,

y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程F(x,

y)=0中，把y看成x的函数y=y(x)，则方程可看成关于x的恒等式F(x,

y(x))=0，在等式两边同时对x求导，然后解出A.x-3C.3x-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.下列结论正确的是（

）A.若x<1，则函数y=B.若x+2y=3，则C.函数y=2D.若x>0，

y>0，且x+210.已知事件A，

B满足P(A)=0.5，A.若B⊆AB.若A与B互斥，则PC.若P(AB)=0.1，则AD.若A与B相互独立，则P11.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1A.aB.数列1-1C.aD.S第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinBcosC且c=2313.已知a>0，二项式(x+ax14.已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为1:2，则球O与该正四棱台的体积之比为

¯四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本题满分13分）已知数列{an}是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列{bn}是公比大于（1）求数列{an}（2）记cn=anbn（n∈N，16.（本题满分15分）a=(23cosx,-1)（1）求函数y=（2）将函数y=f(x)图象上所有的点向左平移π6个单位后得到函数（3）说明函数y=sinx的图象经过怎样的变换能得到函数17.（本题满分15分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD=CD（1）证明：PA∥平面BDE（2）求三棱锥P-（3）在棱AP上是否存在一点F，使得二面角F-BD-E正弦值为18.（本题满分17分）已知椭圆x2a2+y2b2（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l1、l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为-12，设l1、l2分别与椭圆交于点C、D和E、F．若M（i）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由．（ii）求∆OMN19.（本题满分17分）已知随机变量ξ的取值为非负整数，其分布列为：ξ012…nPppp…p其中pi∈[0,1]，且∑i=0npi（1）若ξ生成的函数为f(x)=110+1（2）现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球（球的颜色不同，其他完全相同）．若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为17．设随机变量ξ生成的函数为f(x请判断D(ξ)与f''(1)+f（3）已知方程x+y+z=9（x，y，z∈N），用ξ表示一组解中最小的数，此时由ξ2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.A3.B4.D5.C6.D7.C8.B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BCD10.BC11.BCD第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.413.1514.π四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解：（1）数列{an}是公差为2的等差数列，其前8∴8a1+28d=8a1+56=64，解得a1=1， 2分∴an=2n-1； 4分数列{bn}是公比q大于0的等比数列，b∴3q2-3q=18，解得q=3， 6分∴bn=3n 8分（2）由（1）得an=2n-1∴Sn=1·13+3·132+…+(2n-3)·13n-1+(2n-1)·13n①， 9分13Sn=1·132+3·133+…+(2n-3)·13n+(2n-1)·13n+1②， 10分∴由①-②得23Sn=1·13+2132+…+13n-1+13n-(2n-1)·13n+1， 11分=13+2·9·191-13n-11-13-(2n-1)·13n+1， 12分∴Sn=1-(n+1)·13n． 13分16.解：（1）f(x)=23cosxsinx-cos2x=3sin2x-cos2x=2sin2x-π6， 3分所以f(x)的最小正周期T=2π2=π． 5分（2）由题意可得，g(x)=fx+π6=2sin2x+π6-π6=2sin2x+π6， 6分已知x∈0,π2，则2x∈0,π，那么2x+π6∈π6,7π6． 7分当2x+π6=π2，即x=π6时，sin2x+π6取得最大值1，此时g(x)取得最大值2×1=2． 8分当2x+π6=7π6，即x=π2所以，当x∈0,π2时，函数g(x)的值域为[-1,2]． 10分→[再向右平移π12个单位长度]y=sin2x-π6 14分→横坐标不变纵坐标变为原来的2倍y=2sin2x-π6 15分答案2：y=sinx→[向右平移π6个单位长度]y=sinx-π6 12分→纵坐标不变横坐标变为原来的12倍y=sin2x-π6 14分→横坐标不变纵坐标变为原来的2倍y=2sin2x-π6 15分17.解：（1）如图，连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点．连接OE，因为E是PC的中点，所以OE//PA又OF⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA//平面BDE。 3分（2）V=16×34×4×2=33 6分（3）存在点F，使得二面角F-BD-因为底面ABCD是菱形，PD⊥底面ABCD，AC，BD⊂平面所以AC⊥BD，PD⊥AC，PD⊥BD，故以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于则A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(-3,0,0)，D(0,-1,0)，P(0,-1,2)设AF→=λ则F(-3λ设平面BDE的法向量为m→则{m→则y1=0，令x1=3，则z1=32，故m→=(3,0,32)。 11分设平面BDF的法向量为n→则{n→则y2=0，令x2=23因为二面角F-BD-所以二面角F-BD令|cos⟨m化简得63λ2-54λ+11=0，解得λ=13或λ=1121，经检验都符合λ∈[0,1] 14分因为AP=22+22=22，所以AF=223，或AF=22221。 15分18.解：因为椭圆x2a2+y2b2=1的离心率e

c且c2=a2-b2，解得a2=2,b2=1，

所以椭圆的标准方程为x22+y2=1

（2）（i）由（1）知，椭圆x22+y2=1，可得F2(1,0)，

设直线所以x1+因为M为CD的中点，所以xM=x1+x22

众

k2

号

1+2k2同理可得N11+2直线MN的方程为y-k1+2k2=所以直线MN过的定点为12,0注意：此题也可参考下面做法评分：

设l1:x=联立方程组x22+y2=1x=my+1消去×得

m2+2y同理Nm直线MN的方程为y令y=0得故MN过定点12,0

（ii）由MN过的定点为P12,0=当且仅当2|k|=1|k|所以△OHN的面积最大值为19.解：（1）由ξ生成的函数为f(x知f(所以P(ξ=1)=15，P(ξ=3)=25，P(ξ=5)=310， 2分设事件A:ξ为奇数时，P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)=910． 3分（2）相等：证明如下：pi故p1=17×1=17，p2=67×26=27，p3=67×46=47． 5分即p1+p所以ξ生成的函数为f(x)=17x+27x2+47x3， 7分故f'(x)=17+47x+127x2，f''(x)=47+247x 8分所以f''(1)+f'(1)-[f'(1)]2=287+177-1772=2649． 9分因为E(ξ)=所以E(ξ)=f'（1），故E(ξ)=f'(1)=17+47+127=177， 10分因为D(所以D(ξ)=0-1772×0+1-1772×17+2-1772×27+3-1772×47=2649， 11分故D(（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，则P(ξ=0)=C31C81+C32C112=2755，P(ξ=1)=C31C21+C32C112=1855， 13分P(ξ=2)=C31C21+C32C112=955，P(ξ=3)=1C112=155． 14分则ξ的分布列为ξ0123P271891所以t(x)=2755+1855x+955x2+155x3， 15分故g(故g'(x)=1855+655x，令g'(x)=0，解得x=-3， 16分故x<-3时，g(x)单调递减，故x=-3是g(x)的极小值点． 17分补充（3）详解如下：已知x1+x相当于把12个相同元素排成一排，从中放入两个隔板分成3组，不能有0项，即C如：OO/OOO/OOOOOOO，相当于x1=1，当ξ取0时，有1个0，即018，081，027，072，036，063，045，054