2025年成人高考专升本《高等数学（一）》积分专项卷

2025年成人高考专升本《高等数学（一）》积分专项卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。2.请将答案写在答题纸上，写在试卷上无效。3.答题时请按照题号顺序作答，保持卷面整洁。一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。请将答案填在答题纸的指定位置。）1.若函数F(x)=∫_0^x(t+1)^2dt，则F'(x)=_______。2.∫(x^2+√x)dx=_______+C。3.∫_0^πsin^2(x/2)dx=_______。4.使用换元法计算定积分∫_1^2x√(1-x^2)dx时，若令u=1-x^2，则积分限的变化为：下限从1变为_______，上限从2变为_______。5.∫xe^(-x)dx=_______+C。6.若f'(x)=sin(x)+xcos(x)，则f(x)=_______+C。7.计算∫_0^1(x+1)^3dx的结果为_______。8.若F(x)是f(x)=e^(2x)的一个原函数，则∫_0^1f(x)dx=_______。9.∫_1^2(2x+1)/(x^2+2x+1)dx=_______。10.计算由曲线y=x^2和y=x所围成的平面图形的面积S=_______。二、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请将答案写在答题纸的指定位置。）1.下列函数中，对x的原函数为√(1+x^2)+C的是（）。A.(x^2/2)*√(1+x^2)B.x*√(1+x^2)C.(1/3)*(1+x^2)^(3/2)D.(1/2)*(1+x^2)^(1/2)*2x2.计算∫(cos(x)-sin(x))dx的结果为（）。A.sin(x)+cos(x)+CB.sin(x)-cos(x)+CC.-sin(x)+cos(x)+CD.-sin(x)-cos(x)+C3.定积分∫_a^bf(t)dt与下列哪个量有关，而与其他量无关？（）A.积分变量tB.被积函数fC.积分下限a和积分上限bD.积分区间(a,b)所在的子区间4.下列凑微分正确的是（）。A.xdx=d(x^2/2)B.xdx=d(x^2)C.xdx=d(1/x)D.xdx=d(1/x^2)5.计算不定积分∫1/(x(x^2+1))dx时，下列哪个方法是适用的？（）A.直接利用基本公式B.换元积分法C.分部积分法D.分式分解法（部分分式分解）三、解答题（本大题共4小题，共100分。请将解答过程写在答题纸的指定位置。）1.（本题满分20分）计算不定积分∫(x^2-1)/(x^2+1)dx。2.（本题满分20分）计算定积分∫_0^1x^2e^xdx。3.（本题满分25分）计算定积分∫_0^π/2sin^3(x)dx。（提示：可利用三角函数降幂公式或奇偶性）4.（本题满分35分）计算由抛物线y=x^2和直线y=2x所围成的平面图形的面积。试卷答案一、填空题（每小题3分，共30分）1.x^2+2x+12.(1/3)x^3+(2/3)x^(3/2)+C3.π/24.0,05.-xe^(-x)-e^(-x)+C6.(1/2)sin^2(x)+C或(1/2)sin(x)cos(x)+C（根据题目要求的原函数形式选择，此处选第一形式）7.17/128.(1/2)e^2-1/29.ln(3)10.1/6二、选择题（每小题4分，共20分）1.B2.C3.C4.A5.D三、解答题（共100分）1.（本题满分20分）解析：∫(x^2-1)/(x^2+1)dx=∫[(x^2+1)-2]/(x^2+1)dx=∫[1-2/(x^2+1)]dx=∫1dx-2∫1/(x^2+1)dx=x-2arctan(x)+C2.（本题满分20分）解析：∫_0^1x^2e^xdx令u=x^2,dv=e^xdx则du=2xdx,v=e^x∫x^2e^xdx=x^2e^x-∫e^x*2xdx=x^2e^x-2∫xe^xdx对∫xe^xdx再用分部积分：令u=x,dv=e^xdx则du=dx,v=e^x∫xe^xdx=xe^x-∫e^xdx=xe^x-e^x所以，原积分=x^2e^x-2(xe^x-e^x)=x^2e^x-2xe^x+2e^x=e^x(x^2-2x+2)计算定积分：=[e^x(x^2-2x+2)]_0^1=[e^1*(1^2-2*1+2)]-[e^0*(0^2-2*0+2)]=[e*(1-2+2)]-[1*(0-0+2)]=e-23.（本题满分25分）解析方法一：利用倍角公式降幂∫_0^π/2sin^3(x)dx=∫_0^π/2sin(x)*sin^2(x)dx=∫_0^π/2sin(x)*(1-cos^2(x))dx=∫_0^π/2[sin(x)-sin(x)cos^2(x)]dx=∫_0^π/2sin(x)dx-∫_0^π/2sin(x)cos^2(x)dx第一个积分：∫_0^π/2sin(x)dx=[-cos(x)]_0^π/2=-cos(π/2)-(-cos(0))=0+1=1第二个积分：令u=cos(x),du=-sin(x)dx当x=0时,u=cos(0)=1当x=π/2时,u=cos(π/2)=0∫_0^π/2sin(x)cos^2(x)dx=-∫_1^0u^2du=∫_0^1u^2du=[(1/3)u^3]_0^1=(1/3)*1^3-(1/3)*0^3=1/3所以，原积分=1-1/3=2/3方法二：利用奇偶性sin^3(x)是奇函数，积分区间[0,π/2]关于原点不对称，不能直接用奇函数积分性质。但sin^3(x)=sin(x)-sin(x)cos^2(x)，其中sin(x)是偶函数，sin(x)cos^2(x)是奇函数。∫_0^π/2sin(x)dx=1（同上）∫_0^π/2sin(x)cos^2(x)dx=0（奇函数在对称区间积分为0，这里区间虽不对称，但sin(x)cos^2(x)仍是奇式结构，积分结果为0）所以，原积分=1-0=1*（注意：方法二应用需谨慎，此处∫_0^π/2sin(x)cos^2(x)dx=0的结论需详细推导或认可其性质）*4.（本题满分25分）解