数字处理及实现 3

第4章时域离散系统的算法结构4.1时域离散系统的实现4.2IIR系统的基本结构4.3FIR系统的基本结构4.4格形网络4.5时域离散系统算法结构的计算复杂度2026/1/162第4章时域离散系统的算法结构本章目录2026/1/163系统设计就是确定系统的系统函数或者差分方程。完成系统设计后，还必须把系统函数或者差分方程描述的系统具体设计成一种算法，才能在通用数字计算机上用软件实现，或将算法转换为专用硬件上的算法结构实现数字信号处理系统。一般选择加法、延迟和乘法等作为实现常系数线性差分方程描述的时域离散系统的基本运算单元。算法就是由这些基本运算单元组成的网络结构。时域离散系统的算法结构4.1时域离散系统的实现2026/1/164时域离散系统的算法结构4.1时域离散系统的实现

4.1.1系统分类设一个系统具有下列形式的系统函数很容易直接从系统函数写出该系统的差分方程为(4-1)(4-2)式(4-2)解释为下述算法，输入的延迟值乘以系数bk，输出的延迟乘以系数ak，再将所有的乘积加起来。2026/1/165按照其系数向量ak、bk组成不同，(4-2)其表示的网络结构分为IIR网络和FIR网络两大类。式(4-2)一般情况下表示的系统称为IIR系统，即无限脉冲响应系统。若IIR系统中只有b0项，该系统称为最小相位IIR系统。如果ak全为零，式(4-2)表示的系统称为FIR系统，即有限脉冲响应系统。时域离散系统的算法结构4.1时域离散系统的实现

2026/1/1664.1.2算法结构的信号流图表示式(4-2)描述的算法常用的表示方法有方框图法和信号流图法两种。方框图和信号流图表示的基本运算单元如图4-1所示。图4-1基本运算的方框图及流图表示图

图4-2二阶数字滤波器的方框图结构时域离散系统的算法结构4.1时域离散系统的实现

2026/1/167由图4-3可得各结点值为图4-3二阶数字滤波器的信号流图对分支结点2有y(n)=ω2(n)=ω1(n)，从而得出时域离散系统的算法结构4.1时域离散系统的实现

2026/1/168运算结构非常重要不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，存储单元的数量影响滤波器的复杂程度，而乘法次数的多少影响运算速度和精度。在有限精度(有限字长)情况下，不同运算结构的误差，稳定性也是不同的。下面主要采用信号流图来分析数字滤波器结构。时域离散系统的算法结构4.2时域离散系统的实现

2026/1/169时域离散系统的算法结构4.2IIR系统的基本算法结构

4.2.1IIR直接型假定式(4-2)中M=N，直接画出该差分方程网络流图如图4-4所示。图4-4数字滤波网络直接Ⅰ型算法结构的信号流图(4-2)2026/1/1610将图4-4中左右两半部分相互调换位置，如图4-5所示。延时支路合并，形成如图4-6所示的网络结构流图。图4-5图4-4流图左、右两部分相互调换位置图4-6IIR网络直接Ⅱ型算法结构的信号流图时域离散系统的算法结构4.2IIR系统的基本算法结构

2026/1/1611例4-1试画出IIR数字滤波器直接Ⅱ型结构图。解：先将H(z)写成z-1的多项式形式系统对应差分方程为时域离散系统的算法结构4.2IIR系统的基本算法结构

2026/1/1612直接Ⅱ型结构如图4-7所示。图4-7直接Ⅱ型算法结构的信号流图时域离散系统的算法结构4.2IIR系统的基本算法结构

2026/1/16134.2.2IIR转置型各种流图转置型结构的可用两个步骤是首先改变流图中所有支路信号的流向，支路增益不变，然后将输入x(n)和输出y(n)互换位置。上述两个步骤后所得流图为原流图的转置型结构。直接Ⅱ型的网络结构图4-6的转置结构如图4-8所示。图4-8直接II型算法结构的转置型信号流图时域离散系统的算法结构4.2IIR系统的基本算法结构

2026/1/16144.2.3IIR级联型将其系统函数表示为若干个一阶或二阶系统的传输函数的乘积，可得IIR离散系统级联实现，即H(z)=H1(z)H2(z)…HK(z)(4-5)Y(z)为Y(z)=H1(z)H2(z)…HK(z)X(z)图4-10是这种级联型离散系统的方框图。其中每一级的子系统Hi(z)的形式为图4-10采用级联形式H(z)方框图(4-6)时域离散系统的算法结构4.2IIR系统的基本算法结构

2026/1/1615例4-2画出例4-1中IIR系统的级联流图。 解：先把H(z)分解为一阶或二阶数字滤波器传递函数的乘积，即再将上式写成z-1的形式

图4-12例4-1中IIR系统的级联型信号流图时域离散系统的算法结构4.2IIR系统的基本算法结构2026/1/16164.2.4IIR并联型IIR离散系统的传递函数H(z)写成子系统的传递函数H1(z)、

H2(z)、…、

HK(z)组成的和式H(z)=H1(z)+H2(z)+…+HK(z)(4-7)因此,输出变换Y(z)为Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+HK(z)X(z)表明输入序列x(n)通过k个子系统后，在输出端累加起来就可得到输出y(n)。这种实现方法称为离散系统并联形式实现。每个子系统Hi(z)一般以下的形式(4-8)时域离散系统的算法结构4.2IIR系统的基本算法结构

2026/1/1617例4-3试给出例4-1IIR系统并联流图。解：先把H(z)写成z-1的展开式，得以求得A=8，B=20，C=-16和D=16，因此图4-13例4-1并联型信号流图时域离散系统的算法结构4.2IIR系统的基本算法结构

2026/1/1618时域离散系统的算法结构4.3FIR系统的基本算法结构

4.3.1FIR直接型系统函数对应的差分方程为式(4-10)的直接型结构信号流图如图4-14所示有时也称为横截型结构或卷积型结构。(4-10)图4-14FIR滤波器直接型结构的信号流图2026/1/1619转置结构如图4-15所示4.3.2FIR级联型 将系统函数H(z)写成几个实系数二阶因式的乘积的形式，并将共轭零点放在一起，形成系数为实数的二阶网络，形成FIR级联结构，称之为级联型。其中每一个二阶网络都用直接型结构实现。图4-15图4-14的转置结构的信号流图时域离散系统的算法结构4.3FIR系统的基本算法结构

2026/1/1620其中[N/2]表示取整，若N为偶数，则系数β2k中有一个为零，相当于在N为偶数时，H(z)有奇数个实根。与式(4-11)对应的网络如图4-17所示。(4-11)图4-17FIR级联型结构的信号流图该结构所需要的系数βik(i=0，1，2；k=1，2，…，[N/2])比卷积型的系数h(n)要多，因而所需要的乘法次数也比卷积型的要多

时域离散系统的算法结构4.3FIR系统的基本算法结构

2026/1/16214.3.3FIR线性相位型1．FIR系统线性相位条件线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)满足下式h(n)=±h(N-1-n)(4-12)式中h(n)为实序列，N是h(n)的长度，“+”代表第一类线性相位滤波器，“-”代表第二类线性相位滤波器。h(n)满足关于(N-1)/2偶对称或奇对称的条件。当N为偶数时(4-13)当N为奇数时

(4-14)时域离散系统的算法结构4.3FIR系统的基本算法结构

2026/1/1622N取奇、偶数线性相位FIR系统结构图4-18

N取偶数、奇数时FIR线性相位型结构(a)N取偶数(b)N取奇数时域离散系统的算法结构4.3FIR系统的基本算法结构

2026/1/16234.3.4FIR频域采样型1．FIR系统频域采样结构设FIR系统单位脉冲响应h(n)长度为M，H(z)为FIR系统的系统函数，即H(z)=ZT[h(n)]根据频域采样定理，在频率[0，2π]区间对H(z)在单位圆上采样N点，得到根据内插公式有令Hc(z)=(1-z-N)，k=0,1,…,N-1(4-15)时域离散系统的算法结构4.3FIR系统的基本算法结构

2026/1/1624式(4-15)可写成式(4-16)网络结构由两部分级联构成，如图4-19所示。

图中左边部分对应Hc(z)，右边部分对应N个并联网络Hk(z)。(4-16)图4-19FIR系统的频率采样型结构

时域离散系统的算法结构4.3FIR系统的基本算法结构

2026/1/1625Hc(z)为全零点网络，其零点为幅频响应曲线如图4-20(b)所示。其幅频响应曲线的形状取名为梳状滤波器。(4-17)图4-20(b)梳状滤波器幅频特性时域离散系统的算法结构4.3FIR系统的基本算法结构

2026/1/1626构成并联支路的任一Hk(z)均是具有反馈支路的一阶网络，其极点为zk=，k=0,1,2,…,N-1

比较式(4-17)和(4-18)

H0(z)的N个零点正好与N个并联支路的极点相互对消，因此保持FIR数字滤波器的稳定性。理论上频率采样结构有两个主要优点。实际应用中采取的措施之一是对频率采样结构加以修正，使单位圆上的零极点向单位圆内收缩到半径r为的一个圆上，取r<1且r≈1。此时H(z)为(4-18)(4-19)时域离散系统的算法结构4.3FIR系统的基本算法结构

2026/1/1627措施二是避免复数运算。根据DFT的共轭对称性，如果h(n)是实数序列，则其离散付里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(z)=H*(N-k)。而且，将Hk(z)和HN-k(z)合并为一个二阶网络，并记为，则(4-20)(4-21)时域离散系统的算法结构4.3FIR系统的基本算法结构

2026/1/1628图4-21N为偶数的频率采样型修正结构(a)二阶网络Hk(z)的结构(b)频率采样修正结构(N为偶数)时域离散系统的算法结构4.3FIR系统的基本算法结构

2026/1/16292．用MATLAB计算频域采样结构根据FIR系统单位脉冲响应h(n)设计频率采样结构，就是计算式(4-21)或(4-22)中的系数。程序tf2fs.m代码请参考140页。例4-5已知FIR数字滤波器的系统函数y(n)=x(n)+1/9x(n-1)+2/9x(n-2)+3/9x(n-3)+2/9x(n-4)+1/9x(n-5)试画出系统H(z)的频率采样型结构。解已知h(n)={1/9，2/9，3/9，2/9，1/9}，调用函数ts2fs，得H(z)频率采样结构如图4-22所示时域离散系统的算法结构4.3FIR系统的基本算法结构

2026/1/1630图4-22例4-5系统H(z)的频率采样型结构时域离散系统的算法结构4.3FIR系统的基本算法结构

2026/1/1631时域离散系统的算法结构4.4格形网络4.4.1全零点(FIR)型 全零点格形网络的流图如图4-25所示。该流图只有由左向右的直通通路，没有反馈回路，也称为FIR格型网络结构。可视为N个如图4-26所示的格形网络单元级联而成图4-25N阶全零点格形网络的信号流图图4-26全零点格形网络基本单元2026/1/1632由图4-26可得el(n)和rl(n)的差分方程el(n)=el-1(n)+rl-1(n-1)kl(4-25)rl(n)=el-1(n)kl+rl-1(n-1)(4-26)上面两式进行Z变换，得到El(z)=El-1(z)+klz-1Rl-1(z)(4-27)Rl(z)=klEl-1(z)+z-1Rl-1(z)(4-28)矩阵形式表示(4-29)时域离散系统的算法结构4.4格形网络2026/1/1633将N个基本单元级联后，得由于Y(z)=EN(z)，X(z)=E0(z)=R0(z)，故Y(z)可表示成由式(4-31)得全零点格形网络的系统函数为 (4-30)

(4-31)(4-32)时域离散系统的算法结构4.4格形网络2026/1/1634例4-9求FIR滤波器的格型结构。解：本题计算程序为%fex4_9.m，由差分方程计算格型结构b=[1，13/24，5/8，1/3]；K=tf2latc(b)程序执行结果为K=0.25000.50000.3333即K1=0.25，K2=0.5，K3=1/3。所得系统结构图如图4-28所示。时域离散系统的算法结构4.4格形网络2026/1/16354.4.2全极点(IIR)型图4-29所示的是一个N阶全极点格形网络图4-28例4-9所求FIR系统的格行网络结构图4-29N阶全极点格形网络时域离散系统的算法结构4.4格形网络2026/1/1636N阶全极点格形网络可视为图4-30所示的网络单元级联图4-30全