数字处理及实现 7

第6章FIR数字滤波器的设计6.1线性相位FIR数字滤波器的特点6.2窗函数法设计FIR数字滤波器6.3频率采样法设计FIR数字滤波器6.4等波纹最佳逼近设计法6.5IIR和FIR数字滤波器的比较6.6特殊滤波器2026/1/162第6章FIR数字滤波器的设计本章目录2026年1月16日3FIR数字滤波器的设计6.1线性FIR数字滤波器的特点FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)为有限长(0≤n≤N-1)，其z变换是z-1的(N-1)阶多项式，在有限z平面(0<n<∞)上有(N-1)个零点，在z平面原点z=0处有(N-1)阶极点。易获得严格的线性相位特性，始终满足稳定条件，是FIR数字滤波器最突出的两个优点。可以用快速傅里叶变换大大提高运算效率。不利的是，要取得很好的衰减特性，FIR数字滤波器的系统函数H(z)的阶次比IIR滤波的要高的多(复杂)。FIR数字滤波器主要有三种设计方法：(1)窗函数法(2)频率采样法(3)切比雪夫等波纹逼近法。2026/1/164

6.1.1FIR数字滤波器线性相位条件第4章已经讨论FIR滤波器线性相位条件

h(n)=±h(N–1–n)(4-12)对于FIR数字滤波器，将其FT写成H(ejω)=Hg(ω)ejθ(ω)(6-2)Hg(ω)称为幅度函数，θ(ω)称为相位特性。若

θ(ω)=-τω

，τ为常数(6-3)或θ(ω)=θ0-τω

，θ0是起始相位(6-4)当d(θ(ω))/dω=τ

时，分别称式(6-3)为第一类线性相位，式(6-4)为第二类线性相位FIR数字滤波器的设计6.1线性FIR数字滤波器的特点2026/1/165(6-4)(6-5)FIR数字滤波器的设计6.1线性FIR数字滤波器的特点1．第一类线性相位条件用欧拉公式将式(6-1)展开，得因而即对于式(6-6)，正弦函数应在τ=n处奇对称，令τ=(N-1)/2，则正弦函数以(N-1)/2为中心奇对称。为使求和式为零，h(n)必须以(N-1)/2为中心偶对称，即必须满足2026/1/166(6-6)(6-7)FIR数字滤波器的设计6.1线性FIR数字滤波器的特点2．第二类线性相位条件仿第一类线性条件推导可知，第二类线性相位要求使上式成立，必须满足2026/1/167(6-8)(6-9)FIR数字滤波器的设计6.1线性FIR数字滤波器的特点2026/1/168FIR数字滤波器的设计6.1线性FIR数字滤波器的特点由于滤波器的单位脉冲响应h(n)有上述奇对称和偶对称两种，而h(n)的点数N又有奇数、偶数两种情况，因而h(n)共有4种类型，如图6-1和图6-2所示，分别对应于4种线性相位FIR数字滤波器。2026/1/169即H(z)=±z

-(N–1)H(z–1)(6-10)进一步写成(6-11)FIR数字滤波器的设计6.1线性FIR数字滤波器的特点6.1.2FIR数字滤波器幅度特性线性相位FIR数字滤波器的脉冲响应满足h(n)=±h(N–1–n)因而系统函数可表示为1.h(n)=h(N–1–n)，N为奇数由式(6-11)可知式中h(n)关于(N-1)/2偶对称，余弦项也关于(N-1)/2偶对称，因此以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下n=(N-1)/2的中间项h[(N-1)/2]这样幅度函数表示为2026/1/1610(6-12)令m=(N-1)/2-n，则有FIR数字滤波器的设计6.1线性FIR数字滤波器的特点2026/1/1611(6-13)式中FIR数字滤波器的设计6.1线性FIR数字滤波器的特点式(6-13)中cosωn项关于ω=0，π，2π皆为偶对称，因此幅度特性Hg(ω)的特点是关于ω=0，π，2π是偶对称的。这是表6-1中的情况1。2026/1/1612FIR数字滤波器的设计6.1线性FIR数字滤波器的特点其他情况滤波器结果列于表6-1，推导省略。2026/1/1613FIR数字滤波器的设计6.1线性FIR数字滤波器的特点2026/1/1614FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器6.2.1FIR数字滤波器窗函数法1．FIR数字滤波器窗函数设计原理

图6-4(a)是截止频率ωc的理想低通滤波器的幅度响应，其相频特性θ(ω)=0，如图6-4(b)所示。图6-4理想低通滤波器的频率响应和单位脉冲响应理想低通滤波器的频率响应为对应的单位脉冲响应为容易想到的一个近似方法是把图6-5(c)脉冲响应两边响应值很小的采样点截去(截短)，h(n)为有限长通过移位操作使序列h(n)具有因果性，并用h(n)逼近理想低通滤波器。这就是利用窗函数法设计FIR数字滤波器的基本原理。2026/1/1615(6-23)(6-24)FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器2026/1/1616图6-5理想低通脉冲响应的直接截取FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器图6-5(a)所示理想低通滤波器的频率响应为对应的单位脉冲响应为取h(n)看作hd(n)与矩形序列wR(n)相乘的结果，即

h(n)=

hd(n)wR(n)(6-27)h(n)就是hd(n)的逼近，其中wR(n)就是所谓的窗函数2026/1/1617(6-25)(6-26)FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器2026/1/1618图6-6非理想低通滤波器的幅度响应FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器hd(n)截短后所得序列h(n)的频率特性自然会产生变化，滤波器形状不再是理想矩形。图6-6给出了N取21项因果脉冲响应的幅度响应2．窗函数设计法的性能式(6-28)说明h(n)与窗函数w(n)的直接关系，逼近误差的实质就是加窗产生的影响，其大小与窗函数的形状和长度有关。设窗函数为矩形窗函数wR(n)=RN(n)。因为h(n)=hd(n)wR(n)，所以图6-7(a)为期望逼近的理想滤波器幅频特性。WRg(ω)为矩形窗函数的幅度特性函数，如图6-7(b)所示。2026/1/1619(6-28)(6-29)FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器2026/1/1620FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器在ω=0附近，WRg(ω)两个零点之间的部分称为主瓣，其余部分称为旁瓣。矩形窗函数幅度特性WRg(ω)的主瓣宽度为4π/N，每个旁瓣的宽度为2π/N。图6-8矩形窗对理想低通幅度特性的影响定义an(单位dB)窗函数的幅频特性|WRg(ω)|的最大旁瓣的最大值相对于主瓣的衰减，ΔB为该窗函数设计的FIR数字滤波器的过渡带宽度。Hd(ejω)=Hdg(ω)ejωτ，τ=(N-1)/2(6-30)将式(6-30)和(6-31)代入式(6-29)得上式中式(6-32)表明，在窗函数设计法中，相位保持严格线性相位，只需要分析幅度逼近误差就可以了。根据式(6-31)可知，滤波器的幅度特性函数Hg(ω)等于希望逼近的滤波器的幅度特性函数Wdg(ω)与窗函数的幅度特性函数Wdg(ω)的卷积，卷积过程如图6-7所示。2026/1/1621(6-31)θ(ω)=-ω(N-1)/2(6-32)FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器2026/1/1622图6-7矩形窗对理想低通幅度特性的影响FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器2026/1/1623FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器综上所述，加矩形窗在理想特性不连续点ω

=ωc附近形成过渡带。其宽度近似等于WR(ω)主瓣宽度，即ΔB=4π/N。Δω在频率点ω

=ωc处幅度衰减达6dB；其次，加矩形窗在通带内增加了波动，最大的峰值在ω

=ωc

-2π/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。WR(ω)波动愈快(N加大时)，通带、阻带内波动愈快，WR(ω)旁瓣的大小直接影响H(ω)波动的大小。加窗引起的两点主要误差，称为吉布斯效应。

直观上看，增加矩形窗口的宽度，即加大N，可以减少吉布斯效应的影响，但按照式(6-30)，WR(ω)在主瓣附近可近似为该函数的随x加大(N加大)，主瓣幅度加高，同时旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相对值不变；另一方面，波动的频率加快，当x→∞(N→∞)时，sinx/x趋近于δ函数。因此，当N加大时，H(ω)的波动幅度没有多大改善，带内最大肩峰比H(0)高8.95％，阻带最大负峰比零值超过8.95％，使阻带最小衰减只有21dB。N加大带来的最大好处就是H(ω)过滤带变窄(过滤带近似为4π/N)。结论，加大N并不是减少吉布斯效应的有效方法。2026/1/1624FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器图6-8是矩形窗的幅度响应。矩形窗得到的低通滤波器，其通带和阻带增益之差约为21dB，如图6-9所示。2026/1/1625图6-8矩形窗幅度响应图6-9加矩形窗所得低通滤波器形状FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器2026/1/1626图6-10五种窗函数曲线FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器6.2.2常用窗函数常用窗函数有矩形窗、三角窗(也称为巴特利特窗)、汉宁窗(也称为升余弦窗)、哈明窗(也称为改进升余弦窗)、布莱克曼窗和凯塞窗。除凯塞窗外，其它五种窗函数曲线如图6-10所示。2026/1/1627图6-11理想低通加窗后的幅度响应(a)矩形窗(b)巴特列特窗(c)汉宁窗(e)布莱克曼窗(d)哈明窗FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器6种窗函数的基本参数归纳在表6-3中，供设计时参考。6.2.3用窗函数法设计FIR数字滤波器的MATLAB函数1．用窗函数设计FIR数字滤波器的步骤用窗函数设计FIR数字滤波器的步骤归纳如下(1)给出希望设计的滤波器的频率响应函数Hd(ejω)；若所给指标为边界频率和通带、阻带衰减，一般选理想滤波器作逼近函数。(2)计算以下积分，求出hd(n)；(3)根据允许的过渡带宽度选定N值的方法Δω=A/N。A依据选定的窗函数查表6-3得到。2026/1/1628(6-48)FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器4)将hd(n)与窗函数相乘得FIR数字滤波器的脉冲响应h(n)

h(n)=hd(n)w(n)(6-50)(5)计算FIR数字滤波器的频率响应，并验证是否达到所要求的指标。H(ejω)由下式计算窗函数法由于有明显的优点而受到重视，但由于很难准确控制滤波器的通带边界频率，并且若Hd(ejω)不能用简单函数表示，则计算式(6-48)的积分非常困难，使它的应用受到限制。关于滤波器的通带边界频率控制问题，目前主要通过多次设计来解决。式(6-48)的积分困难的问题用求和来代替积分。2026/1/1629(6-51)FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器2026/1/1630FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器2．窗函数法设计FIR数字滤波器的MATLAB设计函数(1)教材中列出了前面介绍的六种窗函数的产生函数。(2)窗函数法设计FIR数字滤波器的设计函数是fir1，可以实现线性相位理想低通、高通、带通和带阻滤波器的逼近设计。(3)用fir2函数设计FIR数字滤波器时，实质上是一种频率采样法与窗函数法结合的综合设计函数，主要用于设计幅度特性形状特殊的滤波器，可以任意指定滤波器的形状，如数字微分器和多带滤波器等，也可称之为任意形状幅度特性窗函数法设计函数。Fir1和fir2函数详细用法请读者用MATLAB命令help查阅其调用格式及其说明。例6-1如图6-14所示，给定采样频率为Ωs=2π×1.5×104(rad/sec)，模拟低通滤波器通带截止频率为Ωp=2π×1.5×103(rad/sec)，阻带起始频率为Ωst=2π×3×103(rad/sec)，阻带衰减不小于-50dB。设计一个线性相位FIR低通滤波器，解：图6-15要求的模拟低通滤波器的特性(1)计算对应的数字频率通带截止频率为

阻带起始频率为阻带衰减δ2=50dB

(2)设Hd(ejω)为理想线性相位低通滤波器2026/1/1631FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器图6-14要求的模拟低通滤波器的特性Ωc为两个肩峰值处的频率的中点，由Ωp到Ωst之间的过滤带宽并非两个肩峰值间的频率差，求出近似的Ωc为对应的数字频率为由此可得其中τ=(N-1)/2(3)根据阻带衰减δ2查表6-3，选哈明窗，其阻带最小衰减-50dB满足要求。要求过渡带宽(数字频域)Δω

=ωst-ωp=0.2π

，而哈明窗过渡带宽满足Δω=6.6π/N，所以

2026/1/1632FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器2026/1/1633FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器取N=33,τ=16(4)确定FIR数字滤波器的h(n)。哈明窗为(5)检验H(ejω)各项指标，如不满足要求则改变N，或重复(1)~(4)改变窗形状(或两者都改变)重新计算。H(ejω)的形状如图6-15所示2026/1/1634FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器图6-15例6-1线性相位FIR低通滤波器的幅频特性3．线性相位FIR高通、带通和带阻滤波器的设计窗函数法也可设计高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等类型的滤波器。利用奇对称单位脉冲响应的特点(见表6-1)还可以设计90°移相位(或称离散希尔伯特变换器)以及幅度响应与ω成线性关系的线性差分器。(1)线性相位FIR高通滤波器的设计按指标要求的理想线性相位高通滤波器的频率响应为其中τ=(N-1)/2，它的单位脉冲响应为2026/1/1635(6-54)FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器2026/1/1636(6-55)FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器选定窗w(n)即可得所需线性相位FIR高通滤波器的单位脉冲响应h(n)=hd(n)w(n)由表6-1看出，无固定相移时只能采用偶对称单位脉冲响应。对高通滤波器来说N只能取奇数。求出h(n)后，可求H(ejω)，以此检验是否满足指标要求，否则要重新设计，这和低通滤波器的讨论一样。2026/1/1637FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器(2)线性相位FIR带通滤波器和带阻滤波器的设计方法和步骤与高通滤波器设计相似，请参考教材232~233页，此处不再赘述。例6-3通带最大衰减αp=1dB，阻带最小衰减αs=60dB，阻带下截止频率ωsl=0.2π，通带下截止频率ωpl=0.35π

，通带上截止频率ωpu=0.65π

，阻带上截止频率ωsu=0.8π

，要求用凯塞窗函数设计线性相位FIR数字滤波器。解：因为阻带最小衰减αs=60dB，查表6-2选择凯塞窗函数的参数α

=5.568，过渡带宽ΔB=ωpl-ωsl=0.15π

调用参数wc=[(ωsl+ωpl)/2，(ωpu+ωsu)/2]/π

。 2026/1/1638FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器设计程序fex6_3.m如下wpl=0.35*pi；wsl=0.2*pi；wpu=0.65*pi；wsu=0.8*pi；%设置滤波器参数Rp=1；As=60；DB=wpl-wsl； %计算过渡带宽度aph=0.112*(As-8.7)；M=ceil((As-8)/2.285/DB)；

%根据式(6-44)凯塞窗计算所需h(n)长度Mwc=[(wpl+wsl)/2/pi，(wpu+wsu)/2/pi]；%计算理想带通滤波器通带截止频率(关于π归一化）hn=fir1(M，wc，kaiser(M+1，aph))； %调用fir1计算带通FIR数字滤波器h(n)(b)幅度特性滤波器的特性如图6-17所示。2026/1/1639(a)滤波器系数图6-16例6-2凯塞线性相位带通FIR数字滤波器窗函数法设计FIR数字滤波器简单方便、实用。缺点是边界频率不易控制，原因是窗函数设计法是从时域出发的一种设计法。由于滤波器的技术指标一般是在频域给出的，频率采样法更为直接，尤其对于Hd(ejω)公式比较复杂，或Hd(ejω)不能用封闭公式表示而用一些离散值表示时，该方法更为有效、方便。

FIR数字滤波器的设计6.2窗函数法设计FIR数字滤波器2026/1/1640FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器6.3.1频率采样法设计FIR数字滤波器基本原理该方法的原理是先确定希望逼近的滤波器的频率响应函数，再通过频域采样逼近希望的频率响应函数。设希望设计的滤波器的频率响应函数用Hd(ejω)表示，则在ω=0~2π

区间，对Hd(ejω)等间隔采样N点，得Hd(k)为(0≤n≤N-1)(6-62)将h(n)作为所设计的滤波器的单位脉冲响应，其系统函数H(z)为这就是用频率采样法设计滤波器的基本原理。式(3-54)是利用频率域采样值恢复原信号的z变换公式，将式中X(k)和X(z)改为Hd(k)和H(z)后公式重写如下式(6-65)就是直接利用频率采样值Hd(k)形成滤波器系统函数的公式。2026/1/1641(6-64)(6-65)FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器用频率采样法设计的低通滤波器的传输函数，与理想的传输函数Hd(ejω)间存在误差，如图6-17所示。FIR数字滤波器的突出优点是线性相位特性，所以用频率采样法设计FIR数字滤波器仍要考虑实现线性相位H

(k)应满的条件。2026/1/1642图6-17频域幅度采样序列Hg(k)及其内插波形hg(ω)FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器6.3.2频率采样法设计线性相位滤波器的条件参考表6-1中情况1和情况2，对于第一类线性相位问题FIR数字滤波器，具有线性相位的条件是h(n)是实序列，且h(n)=h(N–1–n)，其传输函数应满足的条件是对Hd(ejω)进行N点等间隔采样得Hd(k)，则Hd(k)也必须具有式(6-68)或(6-69)特性，才能使由Hd(k)经过I数字滤波器T得到的h(n)具有偶对称性，从而满足线性相位的要求。在ω=0~2π之间等间隔采样N点2026/1/1643Hg(π)=0(6-66)(6-67)(6-68)(6-69)FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器将ω=ωk代入式(6-67)~(6-70)中，并写成k的函数式(6-70)~(6-73)就是频率采样值满足线性相位的条件。式(6-72)和(6-73)说明N等于奇数时Hg(k)对偶对称N等于偶数时，Hg(k)对奇对称，且2026/1/1644N=奇数N=偶数，且

(6-70)(6-71)(6-72)(6-73)FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器设用理想低通滤波器作为希望设计的滤波器，截止频率为ωc，采样点数N，Hg(k)和θ(k)用下面公式计算。N=奇数时N=偶数时2026/1/1645(6-74)(6-75)FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器2026/1/1646FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器式中kc是小于等于ωcN/(2π)的最大整数。对于高通和带阻滤波器，N只能取奇数。第二类线性相位问题可按类似方法处理。6.3.3逼近误差及其改进措施1．产生误差的原因频率采样法设计滤波器频率特性如图6-17所示。从时域分析(对应于第一种设计思路)。若希望设计逼近理想低通滤波器Hd(ejω)，对应的单位脉冲响应为根据频率域采样定理，在频域0~2π

之间等间隔采样N点并作I数字滤波器T，得到的h(n)应是hd(n)以N为周期，周期性延拓乘以RN(n)，即如果Hd(ejω)有间断点，相应单位脉冲响应hd(n)应是无限长的。由于时域混叠，引起所设计的h(n)和hd(n)有偏差。要消除偏差，希望在频域的采样点数N加大。N越大，设计出的滤波器越逼近待设计的滤波器Hd(ejω)从频域分析(对应于第二种设计思路)。由采样定理知，频率域等间隔采样H(k)，经过I数字滤波器T得到h(n)，其z变换H(z)和H(k)的关系为2026/1/1647FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器将z=ejω代入上式，得到上式表明，在采样点ω=2πk，k=0，1，2，…，N-1

，φ(ω-2π

k/N)=1。在采样点处H(ejω)(ω=2π

k/N)与H(k)相等，逼近误差为0。在两相邻采样点之间，H(ejω)由有限项的H(k)φ(ω

-2π

k/N)之和形成，特性愈平滑的区域，误差愈小，特性曲线间断点处误差最大。表现形式为间断点用倾斜线取代，且间断点附近形成振荡特性，使阻带衰减减小，往往导致不能满足技术指标要求。2026/1/1648(6-76)FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器2．减小误差的措施考察图6-18所示，最直观的想法是增加采样点数，即加大N值，这时过渡带就等于采样间隔，即所以加大N，可使过渡带变窄，但增加要适当，否则会增加滤波器体积与成本。因为Hd(ejω)是理想矩形，无论怎样增多频率采样的点数，在通、阻带交界处，幅值总是从1突变到0，必然会引起较大的起伏振荡。结论，增加N并不会改善滤波器的阻带衰减特性。考虑在不连续点的边缘上加一些过渡的采样点，减小频带边缘的突变，也就能减小起伏振荡，增大阻带最小衰减。2026/1/1649FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器（6-77）如图6-18所示，一般过渡带取一、二、三点采样值即可得到满意结果。低通滤波器设计中不加过渡点时，阻带最小衰减为-20dB，加一个过渡点(采用最优设计值)，阻带最小衰减可提高到-40dB到-54dB左右，加两个过渡点(最优设计)可达-60dB到-75dB左右，加三个过渡点(最优设计)则可达-80dB到-95dB左右。2026/1/1650图6-18理想低通滤波器增加过渡点FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器增加过度点可使阻带衰减明显提高，代价是过渡带变宽。增加一个过渡点，过渡带宽为4π/N，增加两个过渡点，过渡带宽为6π/N，式(6-77)修正为若过渡带不满足要求，可通过加大N来调整。过渡带采样点的个数m与滤波器阻带最小衰减αs的经验数据列于教材226页表6-4中。3．频率采样法设计线性相位FIR数字滤波器的步骤综上所述，频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器的设计步骤归纳如下2026/1/1651m=0，1，2，3…(6-78)FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器2026/1/1652FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器(1)根据阻带最小衰减αs选择过渡带采样点的数量m。(2)确定过渡带宽ΔB，按照式(6-79)确定滤波器长度N。(3)构造希望逼近的滤波器的频率响应函数Hd(ejω)，一般构造Hd(ejω)的幅度响应Hdg(ω)为相应指标的理想滤波器幅度特性，且满足表6-1的线性相位对称性要求。(4)按照频域采样订立进行频域采样得到H(k)，并加入过渡带。过渡带采样值可以为经验值，或用优化算法计算，当然也可用累试法确定。(5)对H(k)作I数字滤波器T得到第一类线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)。(6)校验设计结果，如果未达到设计指标要求，则调整过渡带采样值，直到满足指标要求为止。例6-3试用频率采样法设计一个线性相位FIR数字低通滤波器。截止频率ωc=3π/4，频率采样间隔ω0=π/2解：方法一(按第一种设计思路)(1)确定理想低通滤波器的频率响应为(2)由于在(0~2π)间采样间隔为ω0=π/2，所以采样点数2026/1/1653FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器(3)根据线性相位条件，确定采样值H(k)因为N为偶数，应按式(6-75)确定采样值，如图6-19所示。Hg(ω)以π为中心奇对称。因kc=ωcN/(2π)=3π/4×4/(2π)=1.5，取kc=1。4个采样点的幅度为：Hg(0)=1，Hg(1)=1，Hg(2)=0，Hg(3)=-1。4个采样点的相位为：θ(0)=0，θ(1)=-3π/4，θ(2)=-6π/4，θ(3)=-9π/4可得4点的采样值H(k)=Hg(ω)ejθ(ω)，即2026/1/1654图6-19例6-3的频率采样点FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器H(0)=1，,

H(2)=0，(4)由H(k)取I数字滤波器T得到h(n)H(0)=-0.104，H(1)=0.604，H(2)=0.604，H(3)=-0.104(5)由h(n)求系统函数H(z)和频率响应H(ejω)2026/1/1655FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器方法二(按第二种设计思路)前3步与方法一相同，第4步可直接由式(6-65)得该方法设计出的FIR数字滤波器适合采用频率采样结构实现。例6-5用MATLAB重新解例6-4。要求截止频率ωc=π/2rad，阻带衰减大于40dB，过渡带宽ΔB≤π/16。解：根据要求αs≥40dB，查表6-4，取过渡点个数m=1。要求ΔB≤π/16，根据式(6-78)计算滤波器长度N≥=64，取N=65。以理想低通作为逼近滤波器构造频率特性H(ejω)。2026/1/1656FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器2026/1/1657FIR数字滤波器的设计6.3频率采样法设计FIR数字滤波器设计程序fex6_5.m参考教材229~230页。设计结果如图6-23所示。4．频率采样法的特点优点是直接从频率域进行设计，比较直观，也适合于设计具有任意幅度特性的滤波器。但同样存在边界频率不易控制的问题，原因是采样频率只能等于2π/N的整数倍，限制了截止频率ωc的自由取值。增加采样点数N对确定边界频率有好处，但N加大会增加滤波器的成本。它适合于窄带滤波器的设计。2026/1/1658FIR数字滤波器的设计6.4等波纹最佳逼近设计法

窗函数设计法和频率采样设计法存在一个共同的现象，它们的通带和阻带存在幅度变化的波动。阻带衰减在第一个旁瓣是满足要求的，但更高频率的旁瓣的衰减大大超出了要求。如果拉平波纹的幅度，可更好地逼近理想滤波器的响应，如图6-25所示。由于误差在整个频带均匀分布，对同样的技术指标，逼近需要的滤波器阶数较低；而对同样的滤波器阶数，这种逼近法的最大误差最小，这就是等波纹滤波器(equiripplefilter)设计的思想。2026/1/1659(a)线性滤波器形状(b)对数滤波器形状图6-25等波纹的FIR数字滤波器形状(N=51)FIR数字滤波器的设计6.4等波纹最佳逼近设计法

2026/1/1660FIR数字滤波器的设计6.4等波纹最佳逼近设计法

6.4.1等波纹最佳逼近基本原理1．切比雪夫最佳一致逼近准则滤波器设计中通带与阻带误差性能的要求是不一样的采用误差函数加权的办法，使得不同频段(例如通带与阻带)的加权误差最大值是相等的。设所要求的滤波器的幅度函数为Hd(ω)，幅度函数Hg(ω)做逼近函数，设逼近误差的加权函数为W(ω)，则加权逼近误差函数定义为E(ω)=W(ω)[Hd(ω)-Hg(ω)](6-79)不同频带中误差函数[Hd(ω)-Hg(ω)]的最大值不一样，故不同频带中W(ω)值可以不同，在公差要求严的频带上可以采用较大的加权值，而公差要求低的频带上则取较小加权值。这样使得在各频带上的加权误差E(ω)要求一致(即最大值一样)。设计过程中W(ω)为已知函数。

假设设计的是h(n)=h(N–1–n)，N=奇数情况，由表6-1情况1可知将Hg(ω)代入式(6-79)，则式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的问题就是选择M+1个系数a(n)，使加权误差E(ω)的最大值为最小，即上式中A表示所研究的频带，这里指通带或阻带。按照式(6-80)，这是一个M次多项式，根据前面提出的准则逼近一连续函数的问题。2026/1/1661(6-80)FIR数字滤波器的设计6.4等波纹最佳逼近设计法

切比雪夫理论指出这个多项式存在且唯一，并指出构造该多项式的方法是“交错点组定理”。该定理提出最佳一致逼近的充要条件是E(ω)在A上至少呈现M+2个“交错”，使得2．利用最佳一致逼近准则设计线性相位FIR数字滤波器设希望设计线性相位低通滤波器幅度特性为式中ωp为通带截止频率，ωs为阻带截止频率，如图6-26所示2026/1/1662FIR数字滤波器的设计6.4等波纹最佳逼近设计法

设单位脉冲响应长度为N。如果知道了A上的M+2个交错点频率ω0，ω1，…，ωM+1，按照式(6-80)，并根据交错点组准则，可写出2026/1/1663图6-26低通滤波器的最佳逼近(6-81)FIR数字滤波器的设计6.4等波纹最佳逼近设计法

式(6-81)改写成矩阵形式，求解式(6-82)可以惟一地求出a(n)，n=0，1，2，…，M，以及加权误差最大绝对值ρ。由a(n)可以求出滤波器的h(n)。2026/1/1664(6-82)FIR数字滤波器的设计6.4等波纹最佳逼近设计法

为避免直接求解式(6-79)，可通过迭代法求得一组交错点频率，即数值分析中求解该问题的雷米兹(Remez)算法。情况2~情况4，也可按类似思路设计，只是Hg(ω)不同而已。3．等纹波滤波器技术指标除常用的指标描述方法外，还有纹波幅度指标描述。设滤波器通带纹波幅度为δ1，阻带纹波幅度为δ2

。指标δ1和δ2与指标αp和αs的关系分别由下式给出2026/1/1665(6-88)FIR数字滤波器的设计6.4等波纹最佳逼近设计法

2026/1/1666FIR数字滤波器的设计6.4等波纹最佳逼近设计法

6.4.2remez和remezord函数及应用函数remezord是MATLAB纹波逼近法设计滤波器的函数，其功能是根据逼近指标计算等纹波最佳逼近FIR数字滤波器的最低阶数M，误差加权向量w和归一化边界频率向量f，并使满足指标要求的滤波器成本最低。例6-6用等纹波最佳逼近法重新求解例6-2。解：通带最大衰减αp=1dB，阻带最小衰减αs=60dB，阻带下截止频率ωsl=0.2π

，通带下截止频率ωpl=0.35π，通带上截止频率ωpu=0.65π，阻带上截止频率ωsu=0.8π调用remez和remezord函数求解程序fex6_6.m请参考教材235页，设计结果如图6-28所示。2026/1/1667(6-89)FIR数字滤波器的设计6.4等波纹最佳逼近设计法

6.4.3FIR数字微分器设计微分器是为连续系统定义的。设x(t)的拉普拉斯变换为X(s)，则x(t)的导数的拉普拉斯变换为图6-28例6-6微分器的幅度特性所以微分器的系统函数是s，对应的频率响应是Ha(jΩ)，(-∞<Ω<∞)对应的理想数字微分器的频率响应为Hd(ejω)=jω，(-π<ω<π)(6-90)Hd(ejω)对应的单位脉冲响应为计算上式可得式(6-91)说明hd(n)是无限长非因果奇对称序列。2026/1/1668(6-91)FIR数字滤波器的设计6.4等波纹最佳逼近设计法

根据窗函数设计法，hd(n)的线性相位有限长逼近的单位脉冲响应为微分器的幅度相应随频率增大而线性上升，当ω=π时达到最大值，故只有N为偶数，即表6-1情况4才能满足全频带微分器的时域和频域要求。因此，式(6-92)中第一项为零，所以式(6-93)就是用窗函数设计法设计的FIR数字微分器的单位脉冲响应。若已确定滤波器的长度N和窗函数类型，可直接按照该式设计微分器，也可以用等纹波最佳逼近法中的remez函数设计。2026/1/1669(6-92)(6-93)FIR数字滤波器的设计6.4等波纹最佳逼近设计法

6.4.4FIR希尔伯特变换器设计希尔伯特变换器又称90°移相器，式(1-5)为其频率响应函数。其对应的单位脉冲响应为将式(6-95)给出的h