2024-2025学年深圳实验高一(上)期末数学试卷（含答案）

深圳实验学校2024-2025学年第一学期期末考试高一数学时间：120分钟满分：150分一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．α是第四象限角，cosα=3，则cosα−3π=()．1.253545345A．B．C．−D．−52.3.化简3−22的结果为()．1122332A．−23B．−2C．−2D．−2已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，0<ϕ<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()．A．fx的图象关于直线x=−π对称()3B．将fx的图象向右平移π个单位长度得到的图象关于原点对称()12C．方程f(x)=[3在区间0，2π]有5个不等实根3π，3π上单调递增()D．fx在424.声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asinωt．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数y=Asinωt中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是f(x)=sinx+1sin2x2+1sin3x+1sin4x+，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是()．34A．函数f(x)=sinx+1sin2x+1sin3x+1sin4x++1sin100x具有奇偶性234100B．函数f(x)=sinx+1sin2x+1sin3x+14sin4x在区间−ππ上单调递增，8823C．若声音甲对应函数近似为f(x)=sinx+1sin2x+1sin3x+1sin4x，则声音甲的响度342不一定比纯音h(x)=1sin2x的响度大2D．若某声音乙对应函数近似为g(x)=sinx+1sin2x，则声音乙一定比纯音2h(x)=1sin3x更低沉25.欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min，若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为(A．30(B．30()．))3−1米6−2米C．203米D．303米6.已知函数f(x)=lg(()+f(b−4)=2，则9x2+1−3x)+1，正实数a，b满足f2a4b+a2的最小值为()．a2ab+bA．1B．2C．3D．4)．−5π，9π上所有零点之和为(7.8.函数f(x)=π+(x−π)sinx在区间22A．2πB．4πC．6πD．8πωx+ππ，2π上是增函已知函数f(x)=4sinωx⋅sin22+2cos24ωx(ω>0)在区间−23数，且在0，上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是([π])．34B．3，5D．1，3[C．1，+∞)A．0，4224二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于△ABC，下列说法正确的是()．A．若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形B．tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanCC．若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB恒成立D．若sinA+cosA=5，则△ABC为钝角三角形5log2x，0<x<210.已知函数f(x)=，若存在x1，x2，x3，x4，满足x1<x2<x3<x4，πsinx，2≤x≤104fx()=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则x1x2x3x4的值可以为()．1A．20B．24C．28D．32<11.若110a<10A．4a+5−b<4b+5−a>(cosbb<10，则()．B．lna>sinb−sinab(C．cosa)a)bD．algb>blga三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知sinα−cosα=1，0≤α≤π，则sin2α+π=____________．5413.求值：cos50°()3−tan10°=____________．14.设y=m(m>0)与f(x)=4sin(2x+ϕ)图象的相邻3个公共点自左向右依次为A，B，C，若5AB=7BC，则m的值为____________．四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分13分）25，tanβ=1π，且α，β∈0，．2已知cos(α+β)=57⑴求cos2β−2sin2β+sinβcosβ⑵求2α+β的值．的值；16.（本题满分15分）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，那么t分钟后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式θ(t)=θ0+(θ1−θ0)e−kt求得，其中k是常数，现有刚泡好的茶水温度是100℃，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃．⑴求k的值（计算结果精确到0.01）；⑵经验表明，当室温是15℃时，刚泡好的茶水温度是95℃，自然冷却至60℃时引用口感最佳，刚刚泡好的茶水大约要放置几分钟才能达到最佳饮用口感？（计算结果精确到0.1）参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.09917.（本题满分15分）sinx+π3cosx+sin2x1+π−3．4已知f(x)=23()⑴求fx的最小正周期和单调递增区间；π，π上的值域；()⑵求fx在−44()⑶将函数fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数−π+ππ，5π恒成立，求a的取值范()−gx6≥2对任意的x∈gx的图象，若agx326围．18.（本题满分17分）意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾经提出，固定项链的两段，使其在重力的作用下自然下垂，项链所成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，历史上，莱布尼兹等人ex+e−x曾研究并得出了悬链线的方程，其中双曲余弦函数cosh(x)=尤为特殊，与此类2ex−e−x似的还有双曲正弦函数sinh(x)=⑴计算cosh(2)−()（e是自然对数的底数，e≈2.71828）．22cosh21的值；⑵类比两角差的余弦公式，写出两角差的双曲余弦公式cosh(x−y)=____________，并加以证明；⑶判断函数f(x)=2cosh(2x)−4bcosh(x)+4b−2的零点个数，并求出零点．19.（本题满分17分）()若对于实数m，n，关于x的方程f(x+m)+f(x−m)=nfx在函数y=f(x)的定义域D上有实数解x=x0，则称x0为函数fx的“m，n可消点”，若存在实数m，n，对()()任意实数x∈D，x均为函数fx的“m，n可消点”，则称函数fx为“可消函数”，()()()()()此时，有序数对m，n称为函数fx的“可消数对”．⑴若f(x)=x+2是“可消函数”，求函数fx的“可消数对”；()⑵若m，1为函数f(x)=sinxcosx的“可消数对”，求m的值；()⑶若函数f(x)=sin2x的定义域为R，存在实数x0∈0，同时为fx的“π，n1π4()2可消点”与“π，n2可消点”，求n+n22的最小值．2131.【答案】Aα=−3，由诱导公式，cosα−3π2=【解析】由α为第四象限角，sinα=−1−cos252=−sinα=53，故选A．πcosα+2.3.【答案】B13=−12()3【解析】3−22=−22=−2，故选B．【答案】C【解析】由题意fx相邻对称轴间的距离为π，可得T2=π，因此T=π，ω=2π=2，()22T当x=π时，2×π+ϕ=2kπ+π，k∈Z，故ϕ=kπ+π，k∈Z．由0<ϕ<π可得ϕ=π，12122332sin2x+ππ由函数最大值为2可得A=2，因此f(x)=．A选项，f−3=−3，非3最值，故x=−π不是fx的对称轴，A错误．B选项，fx图象向右平移π个单位()()312长度后的解析式为fx−=2sin2x+π6，不关于原点对称，B错误．C选项，令π123，可得2x+π=2kπ+π或2kπ+2π，k∈Z，解得x=kπ或kπ+π，k∈Z，f(x)=3336在0，2上，实根为0，π，π，，2π，共5个，C正确．D选项，fx的单调区π]7π[()66间长度为π2，不可能在长为34π的区间3π，3π上单调递增，D错误．故选C．424.【答案】C【解析】A选项，f(−x)=sin(−x)+1sin(−2x)+1sin(−3x)++1sin(−100x100)23=−sinx−1sin2x−13sin3x−−1sin1x=−f(x)，故f(x)是奇函数，A正确．B选2100100π，ππ44，π，3x∈−3π，3ππ，π，故y=sinx，项，x∈−88时，2x∈−，4x∈−8822y=1sin2x，y=1sin3x，y=1sin4x在−π，π上都是增函数，fx在π，π−上()2348888单调递增，B正确．C选项，由f=sinπ+1sinπ+1sinπ23π+1sin2π=2可得，f(x)432232的最大值f(x)max≥>12，故fx的振幅必然大于h(x)=1sin2x的振幅，即声音甲的()232响度一定大于纯音的响度，C错误．D选项，对于g(x)=sinx+1sin2x，设其最小正周2期为T，则g(π+T)=g(π)=0，即−sinT+1sin2T=0⇒(sinTcosT−1)=0，故2π=−gπ，故T=π不会是sinT=0，故T=kπ，k∈N*，由于g(x)是奇函数，g−22gx的周期，而T=2π显然是gx的周期，故gx的最小正周期为2π，其频率()()()f1=1=1Hz，纯音hx的最小正周期为23π，其频率f2T1=23πHz，声音乙的频率()=T2π()更低，比hx低沉，D正确．故选C．5.【答案】B【解析】甲乙两人的座舱所连的弧所对应的圆心角为θ，则θ=5⋅2π=π，以摩天轮660(中心为原点建立坐标系，设某一时刻甲座舱位于60cosα，60sinα)处，乙座舱位于π6π6π660cosα+，60sinα+处，则两人高度差∆y=60sinα+−sinα=60sinα+π+π−sinα+π−π=120sinπcosα+≤120sinππ12=30(6−2)121212121212米，故选B．6.【答案】B【解析】f(x)+f(−x)=lg(9x2+1−3x)+lg(9x2+1+3x+2=)(lg9x2+1−9x2)+2=2，这说明f(x)的图象关于点(0，1)对称，类似奇函数，在原点两侧单调性相同，由1于x>0时f(x)=lg+1，y=9x2+1+(3x在0，+∞)上单调递增且函数值9x2+1+3x()恒正，可推出f(x)在(0，+∞)上单调递减，因此fx是减函数．f(2a)+f(b−4)=24b，即2a+b=4，因此4b+⇔f(2a)=2−f(b−4)=f(4−b)⇔2a=−a2=a2ab+ba=164b+ab2ab+)=4b+a≥24b4ba=2，当a=4b即9时取得，故选B．⋅(aaa4b49b=7.【答案】B【解析】f(x)=0⇔sinx=−ππx−πx−π，作出y=sinx和y=−在5π，9π上的图象如图，可知两个图象共有4个交点，因区间−22()此fx在区间上共有4个零点，由小到大记为x1，x2，x3，x4．同时，f(π+x)=π+xsin(π+x)=π−xsinx，f(π−x)=π−xsin(π−x)=π−xsinx，可得()f(π+x)=f(π−x)，故fx的图象关于直线x=π对称，因此x1+x4=x2+x3=2π，故所有零点之和为4π，故选B．8.【答案】Dπ2+2cos2ωx=2sinωx+2sin21−cosωx+【解析】f(x)=4sinωx⋅ωx+2cos2ωx2=2sinωx+2，当x∈−π，2ππω，2πω时ωx−3，由f(x)在区间上单调递增可得，232πω≥−π−322，解得ω≤．当x∈[0，π]时，ωx∈[0，πω]，由f(x)恰好在区间上取得2πω≤π432一次最大值可得π2≤πω<5π，解得1≤ω<52，综上所述，ω∈1，3，故选D．22249.【答案】BCD【解析】A选项，由于2A，2B∈(0，2π)，且至多有一个大于π，因此若sin2A=sin2B，则有2A=2B或2A+2B=π，得A=B或A+B=π，因此△ABC为等腰三角形或直角2三角形，A错误．B选项，在△ABC中，tanC=−tan(A+B)=tantanAAtan+tanB−B1tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，B正确．C选项，若△ABC为锐角三角形，则有，整理得A+B=π−C>π，故A>π−B，且A，π−B∈0，，由y=sinx在0，上单调π2π2222递增可得sinA>sinπ−B=cosB，C正确．D选项，sinA+cosA=1+2sinAcosA()22=1⇒sinAcosA=−2，由A∈(0，π)可得sinA>0，故cosA<0，因此A∈π，π，552△ABC为钝角三角形，D正确．故选BCD．10.【答案】BC【解析】作出fx草图如图，由fx()()=f(x2)可得logx1=log2x2，故x1=x2（舍去）或log2x1+log2x2=0，可得x1x2=1，x3，x4关于直线x=6对称，由图可得2<x3<4，8<x4<10，记t=x4−6=6−x3，t∈(2，4)，x3x4=(6−t)(6+t)=36−t∈(20，32)，故选BC．12211.【答案】ACD【解析】由1<10a<10b<10可得0<a<b<1．A选项，由y=4x是增函数，y=5−x是减函数，可得4a<4b，5−b<5−a，故4a+5−b<4b+5−a，A正确．B选项，此时a<1，b故lna<0，且sinb−sina>0，因此lna<sinb−sina，B错误．C选项，由0<a<b<1bb可得0<cosb<cosa<1，由y=(cosa)x是减函数可得，(cosa)a>(cosa)b，由y=xb是>(cosa>(>b>aabb是减函数可得b，因此b>0，(增函数可得，cosa)b>()(cosbb，因此cosa)a)b)cosbb，C正确．D选项，b由y=x是增函数可得ab<bb，由y=bxa>bb取对数可得algb>blga，D正确．故选ACD．12.【答案】31250【解析】sinα−cosα)=1−2sinαcosα=1，可得sin2α=24，且2α∈(0，π)⇒(22525α∈0，，因此(sinα+cosα)2=1+sin2α=49⇒sinα+cosα=7，故cos2α=cosπ2α2255α=(cosα−sinα)(cosα+sinα)=7，sin2α+π=22(sin2α+cos2α)=312．50−sin225413.【答案】1【解析】cos50°(2cos(10°+30°)cos10°3−tan10°=cos50°⋅3cos10°−sin10°=cos50°⋅)cos10°sin(10°+90°)cos10°=2sin50°cos50°=sin100°=cos10°=1．cos10°=cos10°cos10°14.【答案】6−2()【解析】将fx图象经平移和伸缩变换后变回y=sinx的图象，具体操作为：①所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的1；②所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍；③4向右平移ϕ个单位．此时水平直线y=m的方程变为y=m，设A，B，C变为4A′，B′，C′，易知在伸缩变换过程中，虽然线段长度发生改变，但长度之比保持不变，即A′B′=AB=7．设Ax0，m，则B′x0′()+7π，m，Cx0+2π，m，A′，B′关于′()′′BCBC56某条对称轴对称，可得2x+7π=2kπ+π，解得x0=kπ−π，k∈Z，同时由于m=06124m11π=sinπ6−2，m=6−2．=4sinx0可得sinx0>0，故可取k=1，=sin4121215.【解析】⑴cos2β−2sin2β+sinβcosβ=cos2β−2sin2β+sinβcosβsin2β+cos2β1−2β=+17=27=1−2tan2β+tan49．tan2β+11+12549π2(α+β)=55，2⑵由α，β∈0，可得α+β∈(0，π)，故sin(α+β)=1−cos2tan(α+β)tan(α+β)=1．因此tan(2α+2β)==4．21−tan2(α+β)343−171=1tan(2α+2β)−(α+2β)tantanββ=故tan(2α+β)=tan(2α+2β)−β=1+tan241+×37255π>0可得α+β∈0，，且β∈0，，因此222ππ由cos(α+β)=α+β∈−，π2因此2α+β=π．416.【解析】⑴由题意得θ0=25，θ1=100，t=5，θ=50，代入可得50=25+75e−5k整理得e−5k=1，取对数得k=1ln3≈0.22．351⑵由题意得θ0=15，θ1=95，θ=15+80e5ln3⋅t−−1ln3⋅t令θ=60，可得e5=9⇒−1ln3⋅t=ln9=2ln3−4ln216516×(4ln2−2ln3)×(4×0.693−2×1.099)≈2.6分钟．解得t=5≈5ln31.09917.【解析】⑴f(x)=1sinxcosx+3cos2x+1sin2x+π3−22234=1sin2x+3cos2x+1sin2x+π3=1sin2x+π3+1sin2x+π3=sin2x+π3．44222最小正周期T=2π=π．2令2x+π∈2kπ−π，2kπ+π，解得x∈kπ−5π，kπ+π，k∈Z．3221212故fx的增区间为x∈kπ−5π，kπ+π，k∈Z．()1212π，π时2x+π∈−π，5ππ132⑵x∈−，故sin2x+∈−，1．44366π，π上的值域为−1，1．()−即fx在442sinx+π3，原不等式可化为asinx−cosx≥2对任意的x∈π，5π恒成立⑶g(x)=26对任意的x∈π，5π恒成立a>0⇔a2sin2x≥(cosx+2)226(cosx+2)1−cos2x2对任意的x∈π，5π恒成立且a>26a2≥0记t=cosx，t∈−3，0，条件可化为a2≥(t+2)2∈−对任意的t，0成立321−t22y=(t+2)2，t∈−3，0y=t2+4t+4=−1+4t+51−t1−t设，则设1t−2222uu+5u−9u2816u=4t+5，u∈5−23，5，则f(u)=−1+=−1+111−(u−5)2−161619在5−23，3上递减，3，5上递增可得，fu在()()()=−1+5−1u+9，由y=u+uu816()()5−23，3上递减，在3，5上递增2u=5−23即t=−3时，y=42−3=4−3)2(22u=5即t=0时，y=422()(−)3，由题意得a2≥(4−)≥4−3，故a3．因此fu的最大值为4另解：设t=tanx，x∈π，5π⇒t∈1，2+3224122=cos2x−sin2x+2cos2x+2sin2xtan2x+3cosx+sinx=t2+32t222sinxcosx22=22tanx222由对勾函数性质分析可得，当t=2+3时右侧取得最大值为4−318.【解析】e+e−1e2−e−2⑴由定义可得，cosh(1)=，cosh(2)=22(e+e−1)2e2+e−2所以cosh(2)−2cosh2(1)=−=−1．22⑵cosh(x−y)=coshxcoshysinhxsinhy，下证明之．()()−()()(ex+e−xey)(−y)(ex−e−x)(ey−e−y)+e()()−()()=−事实上，coshxcoshysinhxsinhy44x+y+e−x+y+ex−y+e−x−y−ex+y+e−x+y+ex−y−e−x−yx−y+ey−x=e=e=cosh(x−y)．422x+e−2x+⑶由于cosh2(x)=e2=1cosh(2x)+1422ex+e−x因此cosh(2x)=2cosh2(x)−1，设t=cosh(x)=，由均值不等式，t≥12因此y=22t2−1)−4bt+4b−2=4t2−4bt+4b−4=4t−b+1t−1)(()(令y=0，可得t=1或t=b−1，而cosh(x)=1当且仅当x=01()coshx可视为函数u=ex和y=u+的复合，由复合函数单调性，coshx在0，+∞)()(u)上单调递增，在(−∞，0上单调递减若b−1>1即b