2023年中考数学备考讲义16讲第七讲基本几何模型

第七讲基本几何模型

对角互补模型

双90°型

（1）条件：①N4O8=NDC£=90°；②OC平分NAOA

结论：①_______________：②________________；③.

（2）当NQCE的一边与4。的延长线相交时，

条件：①N4O8=/OCE=90°；②OC平分NAOB.

结论：①_______________；②；③.

类型训练：

1.如图，正方形A8CQ与正方形OMN尸的边长均为10,点。是正方形A8CO的中心，正

方形OMNP绕（）点、旋转,证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部

分的面积总是一个定值，并求这个定值.

2.矩形人BCZ）中，平分ZADC交8c边于点E,P为DE上的一点、（PEVPD）,

PM工PD,PM交AD边于点M.

（1）若点尸是边CO上一点，满足且点N位于AO边上，如图1所示.

求证：①PN=PF；®DF+DN=y/2DP；

（2）如图2所示，当点尸在CD边的延长线上时，仍然满足建'_LRV,此时点N位于

边的延长线上，如图2所示；试问。/，DN,。尸有怎样的数量关系，并加以证明.

60°,120°型

(1)条件：①N4O3=2/QCE=120°；②OC平分NAOS.

结论：①:②;③1

（2）当NOCE的一边与40的延长线相交时，

条件：①N4O8=2NOCE=120°；②。C平分NAO8.

结论：①；②；③.

1.如图，在菱形/WCQ中，48=4,ZB/1D=12O°,AEAF=6Q°,E、/在菱形的边BC,CQ上.

（1）证明：BE=CF.

（2）当NE4尸绕点A旋转，且点石，产分别在边8C,C。上移动时，请探究四边形人石C/

的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值.

（3）在（2）的情况下，请探究ACE厂的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果

变化，求出其最大值.

（4）在（2）的情况下，四边形AECr的周长是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果

变化，求出其最小值.

2.把两个全等的直角二角板的斜边重合，组成一个四边形A4CQ,以。为顶点作交

边AC、BC于点、M、N.

(1)若回ACO=30°,NMDN=60。,当NMDN绕点D旋转时,AM、MN、8N三条线段之间有何

种数量关系？证明你的结论。

(2)当团ACO+NMON=90。时，AM.MN、8N三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论。

(3)如图3,在(2)的结论下，若将M、N分改在CA、BC的延长线上，完成图3,其余

条件不变，则AM、MM4N之间有何种数量关系？证明你的结论。

图1图2图3

角含半角模型

1.条件：①正方形ABCD；②NE4F=45°.

结论：①:②.

类型训练：

【基础探究】在边长为2的正方形A8C。中，/EAF=45°,点E、”分别在边8C、CD±,

在NEAb绕点A旋转的过程中，XCEF的周长是否发生变化？若不变请求出周长;若改变,

请说明理由.

AA

图①图②

模型训练：

【模型应用】如图，在等腰对ZXABC中，AFLBC,ZDAE=45°,若OF=6,EF=4,求AAOE

的面积.

【变形拓展】如图，等边AABC中，点P、Q在边BC上,HN21Q=30。，若BP=2,QC=3f

求A8的长.

【拓展延伸】问题：如图（1）,点石、尸分别在正方形ABC。的边8C、CD±,ZE4F=45°,

试判断BE、EF、尸。之间的数量关系.

【发现证明】小聪把△A8E绕点A逆时针旋转90。至"DG,从而发现EF=BE+FD,请你利

用图（1）证明上述结论.

【类比引申】

如图（2）,四边形ABCD中，NBADw90°,AB=AD,NB+/O=180。，点、E、”分别在边8C、

CO上，则当NE4尸与NBA。满足关系时，仍有EF=BE+FD.

【探究应用】

如图（3）,在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABC。.已知A8=AD=80米，Z

4=60°,4100120°,NB/VA150。，道路BC、C。上分别有景点石、F,且AE_LA。，DF=（40

6-40）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路E尸的长为米.

一线三等角模型

条件：NABC=N8CE=/4DE（此三个角可以为锐角、直角、钝角）；结论：.

图①图②图③

模型应用：

1.三个角度为锐角应用

【基础应用】如图，将等边三角形48c折叠，使得点C落在边A8上的点。处，折痕为

EF,点E,厂分别在AC和BC上.若AC=8,4。=2,贝ljCE：CF=.

【变式拓展】如图，坐标系中,0（0,0）/（6,6氏）,B（12,0），将△O/W沿直线线CO折

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叠，使点A恰好落在线段0B上的点E处，若6>E=y，则CE：DE=.

2.三个角度为90°应用（"M字模型）

（1）【模型应用】如图，RLAAOA中，O为坐标原点，/AOB=90。，ZB=30°,如果点A在

反比例函数产L（x>0）的图象上运动，那么点8在函数（填函数解析式）的图

X

象上运动.

2

【变式拓展】已知A是双曲线y二士在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于

x

点B,以A8为边作等边三角形A8C,点。在第四象限，已知点。的位置始终在一函数图象上运

动,则这个函数解析式为.

（2）【模型应用】如图，点P是正方形43C。的3c边上的动点，以AP为斜边在正方形

ABCD内作等腰町A4PQ,NAQ尸=90°,AQ=PQ.

①求NAOQ的度数；

②若正方形边长为4,BP=1，求。Q的长.

r

【变式应用】如图,以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰RSCDE,使AD=DE=CE,

NQEC=90。,且点E在平行四边形内部，连接4区3E,则NAE8的度数是.

双子型

全等双子型

如图，△A4C和△CEO均为等边三角形，C为公共点，那么，在卜.图中，我们能得到那些

结论呢？

常见结论：

三知形全等：:线段相等：;角的结论：

稍微变一下形，如下图，AABC和△CEQ均为等腰直角三角形，C为公共点.

常见结论：

三角形全等：:线段相等：：角的结论：

再梢微变一下形，我们把两个等腰直角三角形换成两个正方形，你能找出结论吗？

常见结论：

三角形全等：:线段相等：;角的结论：

我们拓展到一般情况，如下.图，△A8C和△(7左。均为等腰三角形，C为公共点，且满足N

BAC=NDAE.

三角形全等：:线段相等：：角的结论：

相似双子型

上面的结论都是全等，既然全等是特殊的相似，那相似肯定也是有的！如图，△48。和4

CEO均为直角三角形，C为公共点，且满足N84C=NCD£

仿照上面结论，有：三角形相似：；相似比：:

线段关系：;角的结论：.

模型应用：

己知:在△404和△COO中,OA=O8,OC=OD.

⑴如图①，若NAOB=NCOO=60°,求证:①AC=8。②NAP8=60°.

⑵如图②，若NA08=NC0D=a,则4。与3。间的等量关系式为,ZAPB的大小

图①图②

十字架型

【正方形内十字架型】

［新知探究］在正方形"C。中，BF工AE,则常见的结论有那些？

［拓展探究］在正方形4BCD中，E,F,G,，分别为AB,CD,AD,BC边上的点.若E”J_

GH,上述结论是否仍然成立？

［拓展应用］(1)如图，将边长为16°〃的正方形纸片A8C。折叠，使点A落在CO边的中点E

处，点B落在点尸处,折痕为MN,求折痕MN的长.

(2)如图，在R/Z\A8C中，ZABC=90°,BA