2026届山西省大同市口泉中学高二上数学期末统考试题含解析

2026届山西省大同市口泉中学高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（）A.30m B.C. D.2．在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）A. B.C.2 D.3．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.∀x∈R，|x|+x2<0 B.∀x∈R，|x|+x2≤0C.∃x0∈R，|x0|+<0 D.∃x0∈R，|x0|+≥04．等差数列中，，则前项的和（）A. B.C. D.5．已知双曲线上点到点的距离为15，则点到点的距离为（）A.9 B.6C.6或36 D.9或216．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|＝()A. B.C.3 D.27．设点P是函数图象上任意一点，点Q的坐标，当取得最小值时圆C：上恰有2个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（）A. B.C. D.8．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为A. B.C. D.9．日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用单位：元为那么净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是（）元/t.A. B.C. D.10．已知等比数列的前项和为，若，，则（）A.20 B.30C.40 D.5011．已知满约束条件，则的最大值为（）A.0 B.1C.2 D.312．有关椭圆叙述错误的是（）A.长轴长等于4 B.短轴长等于4C.离心率为 D.的取值范围是二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．用组成所有没有重复数字的五位数中，满足与相邻并且与不相邻的五位数共有____________个.(结果用数值表示)14．与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是________15．已知等差数列满足，公差，则当的前n项和最大时，___________16．已知是椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，其中.（1）求的值；（2）设（其中、为正整数），求的值.18．（12分）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示：其中一个数字被污损.（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率.（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅.现从观看该节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）年龄（岁）20304050周均学习成语知识时间（小时）2.5344.5由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为55岁观众周均学习成语知识时间.参考公式：，.19．（12分）已知函数为常数，函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图象与直线相切，求实数的值；（3）当时，在上有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）设：函数的定义域为；：不等式对任意的恒成立（1）如果是真命题，求实数的取值范围；（2）如果“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围21．（12分）在中，角、、C所对的边分别为、、，，.（1）若，求的值；（2）若的面积，求，的值.22．（10分）设数列的前项和为，为等比数列，且，（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】在△中有，再应用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【详解】由题设知：，又，△中，可得，在△中，，则.故选：D2、D【解析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则,,,设点,故，，.设设平面的法向量为，则即，取，则.所以点到平面距离.当，即时，距离有最大值为.故选:D.【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.3、C【解析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.故选：C.4、D【解析】利用等差数列下标和性质可求得，根据等差数列求和公式可求得结果.【详解】数列为等差数列，，解得：；.故选：D.5、D【解析】利用双曲线的定义可得答案.【详解】设，，，为双曲线的焦点，则由双曲线定义，知，而所以或21故选：D.6、C【解析】过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，利用抛物线定义以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.【详解】如图所示：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义应用，意在考查学生的计算能力.7、C【解析】先求出代表的是以为圆心，2为半径的圆的位于x轴下方部分（包含x轴上的部分），数形结合得到取得最小值时a的值，得到圆心C，利用点到直线距离求出圆心C到直线的距离，数形结合求出半径r的取值范围.【详解】，两边平方得：，即点P在以为圆心，2为半径的圆的位于x轴下方部分（包含x轴上的部分），如图所示：因为Q的坐标为，则在直线，过点A作⊥l于点，与半圆交于点，此时长为的最小值，则，所以直线：，与联立得：，所以，解得：，则圆C：，则，圆心到直线的距离为，要想圆C上恰有2个点到直线的距离为1，则.故选：C8、B【解析】设，解集为所以二次函数图像开口向下，且与交点为，由韦达定理得所以的解集为，故选B.9、B【解析】由题意求出函数的导函数，然后令即可求解【详解】因为，所以，则，故选：10、B【解析】根据等比数列前项和的性质进行求解即可.【详解】因为是等比数列，所以成等比数列，即成等比数列，显然，故选：B11、B【解析】作出给定不等式表示的平面区域，再借助几何意义即可求出的最大值.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，其中，，目标函数，即表示斜率为2，纵截距为的平行直线系，作出直线，平移直线到直线，使其过点A时，的纵截距最小，最大，则，所以的最大值为1.故选：B12、A【解析】根据题意求出，进而根据椭圆的性质求得答案.【详解】椭圆方程化为：，则，则长轴长为8，短轴长为4，离心率，x的取值范围是.即A错误，B,C,D正确.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意，先利用捆绑法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.【详解】因为满足与相邻并且与不相邻，则将捆绑，内部排序得，再对和全排列得，利用插空法将和插空得，所以满足题意得五位数有.故答案为：14、平行，相交或者异面【解析】由空间中两直线的位置关系求解即可【详解】由题意与同一条直线都相交的两条直线的位置关系可能是：平行，相交或者异面，故答案为：平行，相交或者异面，15、3【解析】根据公式求出前n项和，再利用二次函数的性质.【详解】因为等差数列，，所以，当时，取到最大值.故答案为：3.16、##【解析】根据题中几何关系，求得点坐标，代入椭圆方程求得齐次式，整理化简即可求得离心率.【详解】根据题意，取点为第一象限的点，过点作的垂线，垂足为，如下所示：因为△为等边三角形，又，故可得则点的坐标为，代入椭圆方程可得：，又，整理得：，即，解得（舍）或.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1），，写出的展开式通项，由可得出关于的方程，解出的值，再利用赋值法可求得所求代数式的值；（2）写出的展开式，求出、的值，即可求得的值.【小问1详解】解：设，，的展开式通项为，所以，，即，，解得，所以，.【小问2详解】解：，，，因此，18、（1）；（2）详见解析.【解析】（1）先根据两个平均值的大小得到的取值范围，再利用古典概型的概率公式进行求解；（2）先利用最小二乘法求出线性回归方程，再利用方程进行预测.试题解析：（1）设被污损的数字为，则的所有可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10种等可能结果，令，解得，则满足“东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的”的取值有0,1,2,3,4,5,6,7共8个，所以其概率为.（2）由表中数据得，，∴，线性回归方程.可预测年龄为55观众周均学习成语知识时间为4.9小时.19、（1）答案见解析；（2）7；（3）【解析】（1）根据题意求得，讨论，，，时解，即可得出函数的单调区间；（2）设切点为则结合，得令通过求导研究单调性解得进而解出的值.（3）由已知可得解析式，观察有，求导得原题意可转化为函数在上有两个不同零点.结合根分布可得，函数的两个极值点为是在上的两个不同零点可得且，代入函数中令通过单调性求出进而可得答案.【详解】解：(1)，令，解得：①当时，由得，由得，在上单调递减，在上单调递增；②当时，由得或由得所以在上单调递减，在上单调递增；③当时，恒成立，所以上单调递增.④当时，由得或由得所以在上单调递减，在上单调递增.综上：①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，在上单调递减，在上单调递增；③当时，在上单调递增.④当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)设切点为则(*)，由可得(**)，联立(*)(**)可得，设则，所以在单调递增，在单调递减，又，所以，所以.（3）由已知可得令由题意知在上有两个不同零点.则，因为函数的两个极值点为，则和是在上的两个不同零点.所以且，所以令则所以在上单调递增，所以有其中，即又恒成立，所以故实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.20、（1）（2）【解析】（1）由对数函数性质，转化为对任意的恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；（2）利用基本不等式，求得当命题是真命题，得到，结合“”为真命题，“”为假命题，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：因为是真命题，所以对任意的恒成立，当时，不等式，显然在不能恒成立；当时，则满足解得，故实数的取值范围为【小问2详解】解：因为，所以，当且仅当时，等号成立若是真命题，则；因为“”为真命题，“”为假命题，所以与一真一假当真假时，所以；当假真时，所以，综上，实数的取值范围为21、（1）（2），【解析】（1）根据同角三角函数的基本关