湖南省A佳经典联考试题2026届数学高三第一学期期末预测试题含解析

湖南省A佳经典联考试题2026届数学高三第一学期期末预测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（）．A． B．C．或 D．或3．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（）A． B．C． D．4．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数5．集合的子集的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．86．已知与之间的一组数据：12343.24.87.5若关于的线性回归方程为，则的值为（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.57．已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（）A． B．C． D．8．若复数满足（是虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．9．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则10．下列不等式正确的是（）A． B．C． D．11．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（）A． B． C． D．12．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，且，则抛物线的方程是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是同一球面上的四个点，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积为______.14．“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________．15．若，则________，________.16．的展开式中项的系数为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，三棱锥中，，，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函数.（1）求的极值；（2）若，且，证明：.19．（12分）若不等式在时恒成立，则的取值范围是__________.20．（12分）设函数（其中），且函数在处的切线与直线平行.（1）求的值；（2）若函数，求证：恒成立.21．（12分）已知正项数列的前项和.（1）若数列为等比数列，求数列的公比的值；（2）设正项数列的前项和为，若，且.①求数列的通项公式；②求证：.22．（10分）已知函数．（Ⅰ）求在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：在上存在唯一的极大值；（Ⅲ）直接写出函数在上的零点个数．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由抛物线的焦点得双曲线的焦点，求出，由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为，由焦半径公式，联立求解.【详解】解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，．抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，，又，，则双曲线的离心率为．故选：．【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．2、D【解析】

先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数，则由题可知，所以在时为增函数；由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；又，即即又为开口向上的偶函数所以，解得或故选：D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.3、C【解析】

令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．【详解】令，则，，，，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．4、C【解析】

根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【详解】解：是奇函数，是偶函数，，，，故函数是奇函数，故错误，为偶函数，故错误，是奇函数，故正确．为偶函数，故错误，故选：．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．5、D【解析】

先确定集合中元素的个数，再得子集个数．【详解】由题意，有三个元素，其子集有8个．故选：D．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有个元素的集合其子集有个，其中真子集有个．6、D【解析】

利用表格中的数据，可求解得到代入回归方程，可得，再结合表格数据，即得解.【详解】利用表格中数据，可得又，．解得故选：D【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.7、A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.8、A【解析】

由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.9、B【解析】

根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A选项，若，，，，则或与相交；故A错；B选项，若，，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确；C选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错；D选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错；故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.10、D【解析】

根据，利用排除法，即可求解．【详解】由，可排除A、B、C选项，又由，所以．故选D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11、A【解析】

执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，；第2次循环：满足判断条件，；第3次循环：满足判断条件，；不满足判断条件，输出计算结果，故选A．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12、B【解析】

利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程.【详解】设抛物线的焦点为F,设点，由抛物线的定义可知，线段AB中点的横坐标为3，又，，可得，所以抛物线方程为.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求得等边三角形的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】设是等边三角形的外心，则球心在其正上方处.设，由正弦定理得.所以得三棱锥外接球的半径，所以外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.14、【解析】

分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列，同时它们内部也全排列．【详解】第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为．故答案为：1．【点睛】本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法．15、【解析】

根据诱导公式和二倍角公式计算得到答案.【详解】，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于简单题.16、40【解析】

根据二项定理展开式，求得r的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得所以，解得所以系数【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见详解；（2）【解析】

（1）取中点，根据，利用线面垂直的判定定理，可得平面，最后可得结果.（2）利用建系，假设长度，可得，以及平面的一个法向量，然后利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】（1）取中点，连接，如图由，所以由,平面所以平面，又平面所以（2）假设，由，，.所以则，所以又，平面所以平面，所以，又，故建立空间直角坐标系，如图设平面的一个法向量为则令，所以则直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面垂直、线线垂直的应用，还考查线面角，学会使用建系的方法来解决立体几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.18、（1）极大值为；极小值为；（2）见解析【解析】

（1）对函数求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值;（2）构造函数,求导并判断单调性可得,从而在上恒成立,再结合,,可得到,即可证明结论成立.【详解】（1）函数的定义域为,,所以当时,;当时,,则的单调递增区间为和,单调递减区间为.故的极大值为;的极小值为.（2）证明:由（1）知,设函数,则,,则在上恒成立,即在上单调递增,故,又,则,即在上恒成立.因为,所以,又,则,因为,且在上单调递减,所以,故.【点睛】本题考查函数的单调性与极值,考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键,属于难题.19、【解析】

原不等式等价于在恒成立，令，，求出在上的最小值后可得的取值范围.【详解】因为在时恒成立，故在恒成立.令，由可得.令，，则为上的增函数，故.故.故答案为：.【点睛】本题考查含参数的不等式的恒成立，对于此类问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，本题属于基础题.20、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）求导得到，解得答案.（2）变形得到，令函数，求导得到函数单调区间得到，，得到证明.【详解】（1），，解得.（2）得，变形得，令函数，，令解得，当时，时.函数在上单调递增，在上单调递减，，而函数在区间上单调递增，，，即，即，恒成立.【点睛】本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.21、（1）；（2）①；②详见解析.【解析】

（1）依题意可表示，，相减得，由等比数列通项公式转化为首项与公比，解得答案，并由其都是正项数列舍根；（2）①由题意可表示，，两式相减得，由其都是正项并整理可得递推关系，由等差数列的通项公式即可得答案；②由已知关系，表示并相减即可表示递推关系，显然当时，成立，当，时，表示，由分组求和与正项数列性质放缩不等式得证.【详解】解：（1）依题意可得，，两式相减，得，所以，因为，所以，且，解得.（2）①因为，所以，两式相减，得，即.因为，所以，即.而当时，，可得，故，所以对任意的正整数都成立，所以数列是等差数列，公差为1，首项为1，所以数列的通项公式为.②因为，所以，两式相减，得，即，所以对任意的正整数，都有.令，而当时，显然成立，所以当，时，，所以，即，所以，得证.【点睛】本题考查由前n项和关系求等比数列公比，求等差数列通项公式，还考查了由分组求和表示数列和并由正项数列放缩证