2026届浙江省杭州市第四中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2026届浙江省杭州市第四中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题:，命题:则是的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要2．如图，是函数的部分图象，且关于直线对称，则（）A. B.C. D.3．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.4．已知平面，的法向量分别为，，则（）A. B.C.，相交但不垂直 D.，的位置关系不确定5．已知函数满足对于恒成立，设则下列不等关系正确是（）A. B.C. D.6．已知不等式只有一个整数解，则m的取值范围是（）A. B.C. D.7．如图，M为OA的中点，以为基底，，则实数组等于（）A. B.C. D.8．设双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上第一象限内的点，若的三个内角分别为、、且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.9．已知直线和互相平行，则实数（）A. B.C.或 D.或10．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形11．一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数m的值为（）A.5 B.6C.7 D.812．已知是函数的导函数，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________14．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为45°的直角梯形（如图所示），则该椭圆的离心率为_____.15．函数的图象在处的切线方程为，则___________.16．已知存在正数使不等式成立，则的取值范围_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右两个焦点为、，动点P满足（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由18．（12分）在等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d<0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求数列的前n项和Sn的最大值及相应的n值19．（12分）如图，四边形是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线的截面），线段是该半圆柱的一条母线，点为线的中点（1）证明：；（2）若，且点到平面的距离为1，求线段的长20．（12分）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了1000件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，若该工厂认定产品的质量指数不低于6为优良级产品，产品的质量指数在内时为优等品.（1）用统计有关知识判断甲、乙两条生产线所生产产品的质量哪一条更好，并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从该工厂样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，求抽取到的2件产品都是甲生产线生产的概率.21．（12分）如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使得直线平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由22．（10分）已知：，，：，，且为真命题，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：若，则或，即或，所以是的必要不充分条件故选：B2、C【解析】先根据条件确定为函数的极大值点，得到的值，再根据图像的单调性和导数几何意义得到和的正负即可判断.【详解】根据题意得，为函数部分函数的极大值点，所以，又因为函数在单调递增，由图像可知处切线斜率为锐角，根据导数的几何意义，所以，又因为函数在单调递增，由图像可知处切线斜率为钝角，根据导数的几何意义所以.即.故选：C.3、A【解析】设，对实数的取值进行分类讨论，求得，解不等式，综合可得出实数的取值范围.【详解】设，其中.①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则，解得，此时不存在；②当时，，解得；③当时，即当时，函数在区间上单调递减，则，解得，此时不存在.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.4、C【解析】利用向量法判断平面与平面的位置关系.【详解】因为平面，的法向量分别为，，所以，即不垂直，则，不垂直，因为，即即不平行，则，不平行，所以，相交但不垂直，故选：C5、A【解析】由条件可得函数为上的增函数，构造函数，利用函数单调性比较的大小，再根据函数的单调性确定各选项的对错.【详解】设，则，∵，∴，∴函数在上为增函数，∵，∴，故，所以，C错，令()，则，当时，，当时，∴函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，∴，∴，即，∴，故，所以，D错，，故，所以，A对，，故，所以，B错，故选：A.6、B【解析】依据导函数得到函数的单调性，数形结合去求解即可解决.【详解】不等式只有一个整数解，可化为只有一个整数解令，则当时，，单调递增；当时，，单调递减，则当时，取最大值，当时，恒成立，的草图如下：，，则若只有一个整数解，则，即故不等式只有一个整数解，则m的取值范围是故选：B7、B【解析】根据空间向量减法的几何意义进行求解即可.【详解】，所以实数组故选：B8、B【解析】设点，其中，，求得，且有，，利用两角和的正切公式可求得的值，进而可求得的值，即可得出该双曲线的渐近线的方程.【详解】易知点、，设点，其中，，且，，且，，，所以，，，因为，所以，，则，因此，该双曲线渐近线方程为.故选：B.9、C【解析】根据题意，结合两直线的平行，得到且，即可求解.【详解】由题意，直线和互相平行，可得且，即且，解得或.故选：C.10、A【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.【详解】解：由椭圆：，得，则，则，所以且为锐角，因为，所以锐角，所以为锐角三角形.故选：A.11、B【解析】求出样本的中心点，再利用回归直线必过样本的中心点计算作答.【详解】依题意，，则这个样本的中心点为，因此，，解得，所以实数m的值为6.故选：B12、B【解析】求出，代值计算可得的值.【详解】因为，则，因此，.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码概率，故该密码被成功破译的概率故答案为：14、【解析】设圆柱的底面半径为，由题意知，，椭圆的长轴长，短轴长为，可以求出的值，即可得离心率.【详解】设圆柱的底面半径为，依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示从而因此在椭圆中长轴长，短轴长，，故答案为：15、【解析】根据导数的几何意义可得，根据切点在切线上可得.【详解】因为切线的斜率为，所以，又切点在切线上，所以，所以，所以.故答案为：.16、（1，1）【解析】存在性问题转化为最大值，运用均值不等式，求出的最大值，转化成解对数不等式，进而解出【详解】解：∵，由于，则，∴，当且仅当时，即：时，∴有最大值，又存在正数使不等式成立，则，即，∴，即的取值范围为：.故答案为：【点睛】本题考查均值不等式的应用和对数不等式的解法，还涉及存在性问题，考查化简计算能力三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）根据题意用定义法求解轨迹方程；（2）在第一问的基础上，设出直线l的方程，联立椭圆方程，用韦达定理表达出两根之和，两根之积，求出直线l的垂直平分线，从而得到D点坐标，证明出结论.【小问1详解】由题意得：，所以，，而，故动点P的轨迹E的方程为以点、为焦点的椭圆方程，由得：，，所以动点P的轨迹E的方程为；【小问2详解】存，理由如下：显然，直线l的斜率存在，设为，联立椭圆方程得：，设，，则，，要想以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，则点D为AB垂直平分线上一点，其中，，则，故AB的中点坐标为，则AB的垂直平分线为：，令得：，且无论为何值，，点D在线段上，满足题意.18、（1）；（2）当或11时，最大值为55.【解析】（1）根据等差数列的通项公式得方程组，解这个方程组得公差和首项，从而得数列的通项公式n.（2）等差数列的前项和是关于的二次式，将这个二次式配方即可得最大值.【详解】（1）由题设，故（舍，此时）或.故，故.（2）由（1）可得，因为，对称方程为，故当或时，取最大值，此时最大值为.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）先证明，，利用判定定理证明平面，从而得到；（2）设，利用等体积法，由由，解出a.【详解】（1）证明：由题意可知平面，平面∴∵所对为半圆直径∴∴和是平面内两条相交直线∴平面平面∴（2）设，因为，且所以，设，在等腰直角三角形中，取BC的中点E,连结AE,则，取BC1的中点为P，连结DP，∵，∴，又为的中点，∴,∴，即的高为∴，∵，且∴平面，∵平面，且即到平面的距离为1，而由，即解得：，即.【点睛】立体几何解答题(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积，常用的方法有：(1)直接法；(2)等体积法；(3)补形法；(4)向量法.20、（1）甲更好，详细见解析（2）【解析】（1）根据频率分布直方图计算甲、乙两条生产线所生产产品的质量指数的平均数，比较大小即可得答案；（2）由题意可知，甲、乙生产线的样品中优等品件数，利用分层抽样可得从甲生产线的样品中抽取的优等品有件件，记为，从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；列出抽取到的2件产品的所有基本事件，根据古典概型计算即可.【小问1详解】解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：＝3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2＝6.4；乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为：＝3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2＝5.6因为，所以甲生产线生产产品质量的平均水平高于乙生产线生产产品质量的平均水平，故甲生产线所生产产品的质量更好.【小问2详解】由题意可知，甲生产线的样品中优等品有件，乙生产线的样品中优等品有件，从甲生产线的样品中抽取的优等品有件件，记为，从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；从这6件产品中随机抽取2件的情况有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F），（b，c），（b，d），（b，E），（b，F），（c，d），（c，E），（c，F），（d，E），（d，F），（E，F），共15种；其中符合条件的情况有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种.故抽取到的2件产品都是甲生产线生产的概率为：21、（1）证明见解析（2）（3）存在点，使得平面，且【解析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质可证得结论，（2）可证得两两垂直，所以分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，（3）设，然后利用空间向量求解【小问1详解】证明：因为为正方形，所以又因为平面平面，且平面平面，所以平面平面所以；【小问2详解】由（1）可知，平面，所以，因为，所以两两垂直分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）因为，，所以，所以，设平面的一个法向量为，则,即令，则，；所以设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角为的