山东省聊城市2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题（解析版）

2025—2026学年度第一学期期中教学质量检测高二数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名､座号､考生号､县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液､胶带纸､修正带.不按以上要求作答的答案无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】根据直线方程，判断直线倾斜角即可.【详解】由题意可知直线垂直于轴，所以倾斜角为.故选：B.2.空间中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）A. B.C.或 D.与斜交【答案】C【解析】【分析】根据向量与的数量积为零，判断，再根据线面平行的判定定理可得，或者.【详解】根据和得：；因为，可得，所以；为平面的法向量，所以或者.故选：C.3.直线与直线平行，则的值为（）A.6 B. C.6或 D.1或【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行的判定方法，列方程求解即得.【详解】由题意，可得，解得.故选：B.4.甲､乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验估计乙获胜的概率.用计算机产生之间的随机数，当出现或3时，表示此局乙获胜，当出现其他数字时，表示此局甲获胜.以3个随机数为一组代表比赛三局的结果.根据以下产生的20组随机数估计乙获胜的概率为（）977864191925271932812458569683431257394027556488730145537908A.0.3 B.0.35 C.0.4 D.0.45【答案】B【解析】【分析】根据古典概型概率公式计算乙获胜的概率即可.【详解】总共有组样本数据，经统计当出现或3时，表示此局乙获胜的数据共有7组，则乙获胜的概率.故选：B5.若圆与坐标轴的交点是一个等腰直角三角形的三个顶点，则的值为（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由圆的方程，分别令，，求得A，B，C三个顶点的坐标即可求解.【详解】由圆，令，得，解得或；令，得，解得或；则不妨设，结合题意可知等腰直角三角形的直角顶点A为原点，则可得，解得，故选：D6.在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，将题设中的和分别用线性表示，再根据向量数量积的运算律计算即得.【详解】如图，设，依题意，连接，因，又，则.故选：A.7.有3双不同颜色的手套，如果从中随机取出2只，取出的手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的概率为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式，通过列举法，写出所有可能的情况，求出结果即可.【详解】设3双不同颜色的手套分别为，其中左手为，右手为，则随机取出两个由15种不同的情况，分别为，符合条件的有6种情况，分别为，则取出的2只手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的概率为；故选：C.8.已知三点，动点满足，若，则线段（为原点）长度的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，由题分析可知点为的中点，得，根据化简可得，从而可知点在以为圆心，为半径的圆上，再结合点到圆上点距离最值求解.【详解】设，由，，得点为的中点，则.又，，则，，因此，即，点在以为圆心，为半径的圆上，线段长度的最大值为.故选：D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则（）A.B.与相互对立C.与相互独立D.与互斥【答案】AC【解析】【分析】求出可判断A；根据对立事件的定义可判断B；根据独立事件的定义可判断C；根据互斥事件的定义可判断D.【详解】掷两枚质地均匀的硬币，样本空间为：{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，事件“第一枚正面向上”，即{（正，正），（正，反）}事件“第二枚反面向上”，即{（正，反），（反，反）}，则，得，故A正确；由于事件A和事件B能同时发生，所以与不为互斥事件，也不为对立事件，故B、D错误；事件“第一枚正面向上且第二枚反面向上”，即{（正，反）}，则，则，所以与相互独立，故C正确，故选：AC.10.已知圆，圆，直线.（）A.直线过定点B.当时，直线被圆截得的弦长为C.当时，圆与圆有两个公共点D.当时，过圆上的点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点使四边形为正方形【答案】ABD【解析】【分析】利用直线过定点可判断A,利用垂径定理和勾股定理求弦长可判断B，利用两圆心距和半径可判断C，利用圆上到点到定点的距离范围可判断D．【详解】对于A，由直线恒过定点,故A正确；对于B，由原点到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为，故B正确；对于C，由圆，所以圆与圆的圆心距为，圆与圆的半径分别为，所以，即两圆内切，只有一个公共点，故C错误；对于D，圆，假设存在点使四边形为正方形，则，由此可得：，根据圆上动点到原点的距离的取值范围是：，而，所以圆上存在点，故D正确；故选：ABD.11.四边形为正方形，平面.（）A平面B.点到的距离为C.点到平面的距离为D.点在线段上（不含端点），则与平面所成角的正弦值的范围为【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质、空间点到直线和点到面的距离公式、空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】因为四边形为正方形，平面，所以建立如图所示的空间直角坐标系，.A：设平面的法向量为，，，，所以有，显然，CE不在平面内，所以平面，因此本选项正确；B：，，于是，所以点到的距离为，所以本选项不正确；C：设平面的法向量为，，，，所以有，点到平面的距离为，所以本选项说法正确；D：，设，，设与平面所成角为，，设，，二次函数的对称轴为，所以当时，有，于是有，于是有，所以本选项说法正确，故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知事件与事件相互独立，，则__________.【答案】【解析】【分析】根据事件与事件相互独立，由求解可得.【详解】因为事件与事件相互独立，且，所以，故答案：13.以和轴上一点为顶点的三角形的面积为5，则的纵坐标为__________.【答案】或【解析】【分析】求出，根据的面积为5，算出点P到的距离d．求出的方程，设点，利用点到直线的距离公式解出m的值，即可得到答案．【详解】∵点，∴，设点P到的距离为d，∵的面积为5，∴，得，∵直线的方程为，即，设P的坐标为，∴，解得或，∴的纵坐标为或．故答案为：或．14.如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，且是棱的中点，设平面，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】利用空间向量基本定理，以为一组基底，分别表示和向量，再根据向量与共线的条件求出参数即可.【详解】以为一组基底，所以，，由已知点在平面内，即与共面，可设，又因为为的中点，所以，所以，由与共线，设，所以，即，解得，所以，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程､演算步骤.、15.在某闯关游戏中，每位参赛者有两次闯关机会，如果第一次闯关成功，则获得奖品，且不再进行第二次闯关；否则进行第二次闯关，第二次闯关成功则获得奖品，若两次都没成功则没有奖品.已知甲每次闯关成功的概率都是0.8，乙每次闯关成功的概率都是0.5，假设甲､乙两人闯关互不影响，且每人每次闯关是否成功相互独立.（1）甲第二次闯关获得奖品的概率；（2）乙获得奖品的概率；（3）求甲和乙两人中至少一人获得奖品的概率.【答案】（1）（2）（3）0.99【解析】【分析】（1）甲第二次闯关获得奖品意味着甲第一次闯关失败且第二次闯关成功．根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）乙获得奖品有两种情况：第一次闯关成功或者第一次闯关失败但第二次闯关成功．根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（3）“甲和乙两人中至少一人获得奖品”的对立事件是“甲和乙两人都没有获得奖品”．根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得．【小问1详解】设事件“甲第次闯关成功”，，则．甲第二次闯关获得奖品事件为且与相互独立，所以甲第二次闯关获得奖品的概率为．【小问2详解】设事件“乙第次闯关成功”，，则.设事件“乙获得奖品”，事件“乙未获得奖品”，则，乙获得奖品的概率为【小问3详解】事件“甲获得奖品”，则事件“甲未获得奖品”．设事件“甲和乙两人中至少一人获得奖品”，则．故甲和乙两人中至少一人获得奖品的概率0.99．16.已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.（1）求点的坐标；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先设，根据高线过点及中线列式求解；（2）先求出交点，再应用两点间距离及点到直线距离计算面积即可.【小问1详解】设，则的中点，则解得即.故点坐标为.【小问2详解】由边上的高线所在的直线方程为，可设直线的方程为，将代入可得，即，所以直线的方程为因为为直线与的交点，所以联立解得即.则.点到直线的距离为.所以.故的面积为20.17.棱长为2的正方体中，分别为棱上的动点，且.（1）若，求与所成的角的余弦值；（2）证明：平面平面.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得，再利用夹角公式求解；（2）求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，再由证明.【小问1详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图.，.所以，所以.故与所成的角的余弦值为.【小问2详解】设，则，.设平面的一个法向量，由则令，则，所以平面的一个法向量.同理可得平面的一个法向量.因为.所以平面平面.18.已知圆心分别为和的两个圆的半径都是1，过动点分别作圆，圆的切线（分别为切点），使得.（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；（2）直线被轨迹截得的弦长最短时，求的值及最短弦长.【答案】（1），以为圆心，半径为的圆（2），最短弦长为10【解析】【分析】（1）设点的坐标为，结合图形利用切线性质将化成，利用两点之间距离公式化简即得动点的轨迹方程；（2）先求出直线经过的定点，根据圆的性质可知，当时，被圆截得的弦长最短，由此根据斜率建立方程求出参数的值，进而利用弦长公式即可计算弦长.【小问1详解】由得.因为两圆的半径均为1，所以，代入上式可得，.设点的坐标为，则，整理得，即.因此所求的轨迹是以为圆心，半径为的圆.【小问2详解】方程可化为.由，解得，则直线恒过定点.记轨迹的圆心为，当时，直线被圆截得的弦长最短，此时恰为线段的中点.因为，所以直线的斜率为1，即，解得，圆心到直线的距离为，则弦的长为.故当时，直线被轨迹截得的弦长最短，最短弦长为10.19.在三棱锥中，与平面所成的角为.（1）若，如图，过点作平面，分别交于点.①求的值；②若为的中点，为平面内的动点，求周长的最小值.（2）若，求平面与平面所成角的取值范围.【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，①设，由得，解出即可求解；②设点关于平面的对称点为，则，当共线时，有最小值，最小值为，先求的坐标，利用两点间距离公式得，进而求解；（2）以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，点在平面的投影为以为圆心，为半径，设分别求平面与平面的法向量，设平面与平面所成的角为，且，利用向量的夹角公式得，令，则，利用单调性即可求解.【小问1详解】①由，得，过点作，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由，得，，则，.设，则，因为，所以，则，即，解得.故的值为.②设点关于平面的对称点为