河南省南阳市六校2026届数学高二上期末复习检测模拟试题含解析

河南省南阳市六校2026届数学高二上期末复习检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线，则“”是“双曲线的焦距大于4”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．和的等差中项与等比中项分别为（）A.， B.2，C.， D.1，3．在某次赛车中，名参赛选手的成绩（单位：）全部介于到之间（包括和），将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，···，第五组，其频率分布直方图如图所示.若成绩在内的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为A. B.C. D.4．某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发，沿处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为（）A.1分钟 B.分钟C.2分钟 D.分钟5．在等差数列中，，表示数列的前项和，则（）A.43 B.44C.45 D.466．过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同的两点，则的值为A.2 B.1C. D.47．已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（）A. B.C. D.8．已知双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为（）A.16 B.8C.2 D.19．设是等差数列的前项和，已知，，则等于（）A. B.C. D.10．如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）A.30° B.45°C.60° D.90°11．若构成空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，12．函数在上单调递增，则k的取值范围是（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．六面体的所有棱长都为2，底面ABCD是正方形，AC与BD的交点是O，若，则___________.14．若直线与函数的图象有三个交点，则实数a的取值范围是_________15．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线左支上点满足，则的面积为_________16．已知点，圆：.若过点的圆的切线只有一条，求这条切线方程____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列的前项和满足，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.18．（12分）（1）某校运动会上甲、乙、丙、丁四名同学在100m、400m、800m三个项目中选择，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）若甲、乙、丙、丁四名同学选报100m、400m、800m三个项目，每项均有一人报名，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？（3）若甲、乙、丙、丁名同学争夺100m、400m、800m三项冠军，共有多少种可能的结果？19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，，M，N分别为AB和PC的中点（1）求证：MN//平面PAD；（2）求平面MND与平面PAD的夹角的余弦值20．（12分）已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和21．（12分）如图，在四棱锥S−ABCD中，已知四边形ABCD是边长为的正方形，点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱SD上，且△SAC的面积为1（1）若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；（2）在棱SD上是否存在一点P使得二面角P−AC−D的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由22．（10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的菱形，且，侧棱，，M是PC的中点，设，，（1）试用，，表示向量；（2）求BM的长

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先找出“双曲线的焦距大于4”的充要条件，再进行判断即可【详解】若的焦距，则；若，则故选：A2、C【解析】根据等差中项和等比中项的概念分别求值即可.【详解】和的等差中项为，和的等比中项为.故选：C.3、A【解析】先根据频率分布直方图确定成绩在内的频率，进而可求出结果.【详解】由题意可得：成绩在内的频率为，又本次赛车中，共名参赛选手，所以，这名选手中获奖的人数为.故选A【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会根据频率分布直方图求频率即可，属于常考题型.4、C【解析】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，求得直线和圆的方程，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得的长，进而求得持续监测的时长.【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则，，可得，圆记从处开始被监测，到处监测结束，因为到的距离为米，所以米，故监测时长为分钟故选：C.5、C【解析】根据等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由等差数列中，满足，根据等差数列的性质，可得，所以，则.故选：C.6、D【解析】本题首先可以通过直线交抛物线于不同的两点确定直线的斜率存在，然后设出直线方程并与抛物线方程联立，求出以及的值，然后通过抛物线的定义将化简，最后得出结果【详解】因为直线交抛物线于不同的两点，所以直线的斜率存在，设过抛物线的焦点的直线方程为，由可得，，因为抛物线的准线方程为，所以根据抛物线的定义可知，，所以，综上所述，故选D【点睛】本题考查了抛物线的相关性质，主要考查了抛物线的定义、过抛物线焦点的直线与抛物线相交的相关性质，考查了计算能力，是中档题7、D【解析】由已知设抛物线方程为，由题意可得，求出，从而可得抛物线的方程【详解】因为抛物线的准线方程为，所以设抛物线方程为，则，得，所以抛物线方程为，故选：D，8、C【解析】根据双曲线的渐近线方程的特点，结合虚轴长的定义进行求解即可.【详解】因为双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，所以，因此该双曲线的虚轴长为，故选：C9、C【解析】依题意有，解得，所以.考点：等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念.在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算10、D【解析】作出折叠后的正四棱锥，确定线面关系，从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.【详解】由题知，折叠后的正四棱锥如图所示，易知K为的四等分点，L为的中点，M为的四等分点，，取的中点N，易证，则异面直线AK和LM所成角即直线AK和KN所成角，在中，，，故故选：D11、C【解析】根据空间向量共面的条件即可解答.【详解】对于A，由，所以，，共面；对于B，由，所以，，共面；对于D，，所以，，共面，故选：C.12、A【解析】对函数求导，由于函数在给定区间上单调递增，故恒成立.【详解】由题意可得，，，，.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】结合空间向量运算求得.【详解】，.所以.故答案为：14、【解析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由此可求得答案.【详解】解：因为函数，则，所以当或时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，因为直线与函数的图象有三个交点，所以实数a的取值范围是，故答案为：.15、3【解析】由双曲线方程可得，利用双曲线定义，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，双曲线左支上点满足，可得:，则，且，故，所以，故，故答案为：316、或【解析】由题设知A在圆上，代入圆的方程求出参数a，结合切线的性质及点斜式求切线方程.【详解】因为过的圆的切线只有一条，则在圆上，所以，则，且切线斜率，即，所以切线方程或，整理得或.故答案为：或.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由，，可得求出，从而可得的通项公式；（2）由（1）可得，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求得【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，.所以，化简得，解得，所以，（2）由（1）可知，所以，所以【点睛】此题考查等差数列前项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题18、（1）81种；（2）24种；（3）64种【解析】（1）利用分步计数原理可求报名方法总数.（2）利用分步计数原理可求报名方法总数.（3）利用分步计数原理可求报名方法总数.【详解】（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有（种）报名方法（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此100m项目有4种选法，400m项目有3种选法，800m项目只有2种选法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有（种）（3）要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军的得主有4种可能结果，所以共有（种）可能的结果19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）在平面中构造与平行的直线，利用线线平行推证线面平行即可；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，利用向量法即可求得两个平面夹角的余弦值.【小问1详解】取中点为，连接，如下所示：因为为正方形，为中点，故可得//；在△中，因为分别为的中点，故可得//；故可得//，则四边形为平行四边形，即//，又面面，故//面.【小问2详解】因为面面，故可得，又底面为正方形，故可得，则两两垂直；故以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系如下所示：故可得，设平面的法向量为，又则，即，不妨取，则，则，取面的法向量为，故.设平面的夹角为，故可得，即平面MND与平面PAD的夹角的余弦值为.20、（1）（2）【解析】（1）由成等比数列得首项，从而得到通项公式；（2）利用裂项相消求和可得答案.【小问1详解】设数列的公差为，∵成等比数列，∴，即，∴，由题意故，得，即.【小问2详解】，∴21、（1）证明见解析（2）存在，点P为棱SD靠近点D的三等分点【解析】（1）由的面积为1，得到，，由，点P为SD的中点，所以，同理可得，根据线面垂直的判断定理可得平面PAC，再由面面垂直的判断定理可得答案；（2）存在，分别以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，假设在棱SD上存在点P，设，求出平面PAC、平面ACD的一个法向量，由二面角的向量法可得答案.【小问1详解】因为点S在底面ABCD上的射影为O，所以平面ABCD，因为四边形ABCD是边长为的正方形，所以，又因为的面积为1，所以，，所以，因为，点P为SD的中点，所以，同理可得，因为，AP，平面PAC，所以平面PAC，又平面SCD，∴平面平面PAC【小问2详解】存在，连接，由平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，又，可得两两垂直，分别以所在直线为