2026届安徽省定远县三中数学高三上期末学业质量监测模拟试题含解析

2026届安徽省定远县三中数学高三上期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（）A． B． C． D．2．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间110,120内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．13．若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（）A． B． C．4 D．54．如果直线与圆相交，则点与圆C的位置关系是（）A．点M在圆C上 B．点M在圆C外C．点M在圆C内 D．上述三种情况都有可能5．已知不重合的平面和直线，则“”的充分不必要条件是（）A．内有无数条直线与平行 B．且C．且 D．内的任何直线都与平行6．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（）A． B．3 C． D．7．函数与在上最多有n个交点，交点分别为（，……，n），则（）A．7 B．8 C．9 D．108．己知集合，，则（）A． B． C． D．9．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)10．设为的两个零点，且的最小值为1，则（）A． B． C． D．11．在中，D为的中点，E为上靠近点B的三等分点，且，相交于点P，则（）A． B．C． D．12．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数有两个极值点、，则的取值范围为_________.14．安排名男生和名女生参与完成项工作，每人参与一项，每项工作至少由名男生和名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.15．如图在三棱柱中，，，，点为线段上一动点，则的最小值为________.16．若、满足约束条件，则的最小值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）等差数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式；（2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由.18．（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表：卫生习惯状况类垃圾处理状况类体育锻炼状况类心理健康状况类膳食合理状况类作息规律状况类有效答卷份数380550330410400430习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（）.写出方差，，，，，的大小关系.19．（12分）已知均为正实数，函数的最小值为.证明：（1）；（2）.20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点．（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．21．（12分）已知函数，.（1）证明：函数的极小值点为1；（2）若函数在有两个零点，证明：.22．（10分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，.因为，故，因为，故.由正弦定理可得，故，又因为，故.因为，故平面，所以，因为平面，平面，故，故，所以四边形为平行四边形，所以，所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.故选：D.【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.2、C【解析】

利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．3、D【解析】

根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．【详解】解：复数z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故选D．【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．4、B【解析】

根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件，利用与圆心的距离判断即可.【详解】直线与圆相交，圆心到直线的距离，即．也就是点到圆的圆心的距离大于半径．即点与圆的位置关系是点在圆外．故选：【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．5、B【解析】

根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A.内有无数条直线与平行，则相交或，排除；B.且，故，当，不能得到且，满足；C.且，，则相交或，排除；D.内的任何直线都与平行，故，若，则内的任何直线都与平行，充要条件，排除.故选：.【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.6、D【解析】

建立平面直角坐标系，将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值，利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程，得到，进而得到所求最小值.【详解】如图，原题等价于在直角坐标系中，点，是第一象限内的动点，满足到轴的距离等于点到点的距离，求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值．设，则，化简得：，则，解得：，即点的轨迹上的点到的距离的最小值是.故选：.【点睛】本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.7、C【解析】

根据直线过定点，采用数形结合，可得最多交点个数，然后利用对称性，可得结果.【详解】由题可知：直线过定点且在是关于对称如图通过图像可知：直线与最多有9个交点同时点左、右边各四个交点关于对称所以故选：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数的性质，属难题.8、C【解析】

先化简，再求.【详解】因为，又因为，所以，故选：C.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.9、C【解析】

利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.【详解】与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.故答案为C【点睛】（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与终边相同的角=+其中.10、A【解析】

先化简已知得,再根据题意得出f（x）的最小值正周期T为1×2，再求出ω的值．【详解】由题得,设x1，x2为f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的两个零点，且的最小值为1，∴=1，解得T=2；∴=2，解得ω=π．故选A．【点睛】本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．11、B【解析】

设，则，，由B，P，D三点共线，C，P，E三点共线,可知，,解得即可得出结果.【详解】设，则，，因为B，P，D三点共线，C，P，E三点共线，所以，，所以，.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.12、B【解析】

由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积．【详解】由题意原几何体是正三棱柱，．故选：B．【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

确定函数的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求的取值范围．【详解】函数的定义域为，，依题意，方程有两个不等的正根、（其中），则，由韦达定理得，，所以，令，则，，当时，，则函数在上单调递减，则，所以，函数在上单调递减，所以，.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将的取值范围转化为以为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.14、1296【解析】

先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.【详解】由于每项工作至少由名男生和名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有种.故答案为：1296【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.15、【解析】

把绕着进行旋转，当四点共面时，运用勾股定理即可求得的最小值.【详解】将以为轴旋转至与面在一个平面，展开图如图所示，若，，三点共线时最小为，为直角三角形，故答案为：【点睛】本题考查了空间几何体的翻折，平面内两点之间线段最短，解直角三角形进行求解，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.16、【解析】

作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数取得最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析，或；（2）存在，.【解析】

（1）满足题意有两种组合：①，，，②，，，分别计算即可；（2）由（1）分别讨论两种情况，假设存在正整数，使得，，成等比数列，即，解方程是否存在正整数解即可.【详解】（1）由题意可知：有两种组合满足条件：①，，，此时等差数列，，，所以其通项公式为.②，，，此时等差数列，，，所以其通项公式为.（2）若选择①，.则.若，，成等比数列，则，即，整理，得，即，此方程无正整数解，故不存在正整数，使，，成等比数列.若选则②，，则，若，，成等比数列，则，即，整理得，因为为正整数，所以.故存在正整数，使，，成等比数列.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和，涉及到等比数列的性质，是一道中档题.18、（1）（2）（3）【解析】

（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为，根据古典概型求出即可；（2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为，，，设事件为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则（E），求出即可；（3）根据题意，写出即可．【详解】（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为，有效问卷共有（份，其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是人，故（A）；（2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为，，，根据题意，可知（A），（B），（C），设事件为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“则.所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766.（3）．【点睛】本题考查了古典概型求概率，独立性事件，互斥性事件求概率等，考查运算能力和事件应用能力，中档题．19、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值.（2）利用基本不等式即可得到结论，注意等号成立的条件.【详解】（1）由题意，则函数，又函数的最小值为，即，由柯西不等式得，当且仅当时取“=”.故.（2）由题意，利用基本不等式可得，，，（以上三式当且仅当时同时取“=”）由（1）知，，所以，将以上三式相加得即.【点睛】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.20、（1）见解析（2）【解析】

（Ⅰ）取的中点，连结、，得到故且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（Ⅱ）以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，和平面的法向量，利用向量的夹角公式，求得，进而得到为直线与平面所成的角，即可求解.【详解】（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.所以，四边形为平行四边形.所以，，又平面，平面，所以，平面.（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面