形如y＝ax²和y＝ax²＋c(a≠0)的图象与性质课件北师大版数学九年级下册

第二章二次函数2.2.2二次函数的图象与性质北师版

九年级数学（下）导入新课许多桥梁都采用抛物线形设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘制成如图所示的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称．经过测算，中间抛物线的表达式为y＝－x2＋10，你能计算出中间抛物线的最高点离桥面的高度吗？探究新知探究在同一坐标系中作出y＝x2，y＝2x2，y＝x2的图象，并进行比较．①列表：x···－2－1012···y＝x2···41014···y＝2x2···82028···y＝

x2···20.500.52···y=x2②描点；③连线.y=2x2y=x2y=2x2函数，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？开口都向上，对称轴都是y轴.顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点.当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.y=2x2抛物线的开口最小．思考探究新知探究在上述坐标系中接着画出y＝－x2，y＝－2x2的图象．x···－2－1012···y＝－x2···－4－10－1－4···y＝－2x2···－8－20－2－8···y=x2y=2x2①列表：②描点；③连线.y＝－x2y＝－2x2(1)二次函数y＝ax2中的a的符号决定抛物线的开口方向：a＞0开口向上，a＜0开口向下；(2)二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象关于x轴对称．归纳总结y=ax2(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性最值向上向下(0，0)(0，0)y轴(x=0)y轴(x=0)在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小.x=0时，y最小=0x=0时，y最大=0抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说来，|a|越大，抛物线的开口就越小.探究新知探究在同一直角坐标系内作出函数y＝2x2，y＝2x2＋1，y＝2x2－1的图象，并进行比较．x－2－1012y＝2x282028y＝2x2＋193139y＝2x2－171－117①列表：②描点；③连线.y=2x2y=2x2＋1y=2x2－1y=2x2y=2x2＋1y=2x2－1二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位，就得到函数y=2x2+1的图象.将二次函数y=2x2的图象向下平移1个单位，就得到函数y=2x2－1的图象.将二次函数y=2x2＋1的图象向____平移____个单位，就得到函数y=2x2－1的图象.下2抛物线y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？思考抛物线y=ax2+c的图象相当于把抛物线y=ax2的图象____（c＞0）或

（c＜0）平移

个单位.抛物线y=2x2+1，y=2x2-1y=2x2与抛物线有什么关系？y=ax2+cy=ax2y=ax2cy=ax2+c（c＞0）

cy=ax2＋c（c＜0）

向上向下|c|探究新知二次函数y=ax2+c的图象和性质:a的符号a>0a<0图象c>0c<0开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0，c）（0，c）x=0时，y最小值=cx=0时，y最大值=c归纳总结应用举例

例1二次函数①y＝－2x2，②y＝2x2，③y＝x2，④y＝－x2的图象都是抛物线，开口向上的是______，开口大小相同的是______________，关于x轴对称的是__________________．(填序号)①②与③④②③①②与③④二次函数y＝ax2，a＞0，则开口向上；|a|相等，则开口大小相同；a的符号相反，则关于x轴对称．

例2已知直线y＝－2x＋3与抛物线y＝ax2相交于A，B两点，且点A的坐标为(－1，m).(1)求a，m的值；(2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；(3)x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而减小？解：(1)将点A(－1，m)代入y＝－2x＋3，得m＝5；把A(－1，5)代入y＝ax2，得a＝5；(2)y＝5x2；对称轴为y轴；顶点坐标为(0，0)；(3)当x＜0时，y随x增大而减小．探究新知课堂小结二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系开口方向由a的符号决定；c决定顶点位置；对称轴是y轴.增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：c正向上；c负向下.随堂练习1．已知点(－7，y1)，(3，y2)，(－1，y3)都在抛物线y＝ax2＋c(a＞0)上，则(

)A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3C2．(1)函数y＝x2＋3的图象的顶点坐标是_______，开口方向是_______；最____值是____；(2)函数y＝－2x2＋3的图象可由函数y＝－2x2的图象向____平移____个单位长度得到；(3)把函数y＝－3x2的图象向下平移2个单位长度可得到函数______________的图象．(0，3)向上小3上3y＝－3x2－2随堂练习3.二次函数y＝3x2－

的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？画图看一看.解：二次函数与y=3x2的图象都是抛物线，形状相同，只是位置不同.将二次函数的图象向下平移个单位长度，就得到的图象.二次函数与y=3x2的图象都是轴对称图形，它们的对称轴都是y轴（直线x=0），开口都向上，顶点坐标分别是.随堂练习随堂练习4.二次函数

的图象与二次函数的图象有什么关系？解：二次函数与二次函数的图象都是抛物线，形状相同，只是位置不同.将二次函数的图象向上平移1个单位长度，就得到二次函数的图象.随堂练习5.二次函数

y=x2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么相同和不同?解:二次函数y=x2的图象与二次函数y=3x2的图象的同点:图象都是抛物线,抛物线的开口都向上,顶点坐标都是(0,0),都是轴对称图形,对称轴都是y轴(或直线x=0).不同点:两者的开口大小不同,函数y=3x2的图象在函数y=x2的图象的内侧.随堂练习6.二次函数

y=-3x2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，画图看一看.二次函数y=-

x2

的图象与二次函数y=x2的图象呢？随堂练习解:二次函数y=-3x2的图象与二次函数y=3x2的图象都是抛物线,并且形状相同,都是轴对称图形,对称轴都是y轴(或直线x=0),顶点坐标都是(0,0).但它们的开口方向不同,二次函数y=-3x2的图象的开口向下,而二次函数y=3x2的图象的开口向上,二次函数y=-3x2的图象与二次函数y=3x2的图象关于x轴成轴对称，图象如图①所示.随堂练习二次函数y=-x2的图象与二次函数y=x2的图象都是抛物线,并且形状相同,都是轴对称图形,对称轴都是y轴(或直线x=0),顶点坐标都是(0,0).但它们的开口方向不同,二次函数y=-x2的图象的开口向下,而二次函数y=x2的图象的开口向上,它们关于x轴成轴对称,如图②所示.随堂练习7.二次函数y=5x2-3与二次函数y=5x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想，如果需要，画图看一看.二次函数y=-5x2-2的图象与二次函数y=-5x2+3的图象呢?随堂练习解:二次函数y=5x2-3的图象是由二次函数y=5x2的图象向下平移3个单位长度得到的,这两个图象都是抛物线，并且形状相同,顶点坐标不同,都是轴对称图形.二次函数y=5x2-3的图象的开口向上,对称轴是y轴(或直线x=0),顶点坐标是(0,-3);二次函数y=5x2的图象开口向上,对称轴是y轴(或直线x=0),顶点坐标是(0,0).随堂练习二次函数y=-5x2-2的图象可以由二次函数y=-5x2的图象向下平移2个单位长度得到.二次函数y=-