5角平分线课件北师大版八年级数学下册

第一章

三角形的证明5角平分线第1课时角平分线的性质与判定

【探究1】角平分线的性质定理的证明探究与应用

我们曾经探索过角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.请你尝试证明这一结论,并与同伴进行交流.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,∴∠PDO=∠PEO=90°.∵∠1=∠2,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.

【探究1】

角平分线的性质定理的证明探究与应用【概括新知】

角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.符号语言表示:∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.说明:应用角平分线的性质定理必须具备的条件:两垂直,一平分.

【探究2】

角平分线的判定定理的证明探究与应用【尝试·思考】

你能写出“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?请你证明自己结论的正确性.

证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△ODP和Rt△OEP中,OP=OP,PD=PE,∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL),∴∠1=∠2,∴OP平分∠AOB.已知:如图,在∠AOB的内部有一点P,且PD⊥OA,PE⊥OB,D,E为垂足,且PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上.

【探究2】

角平分线的判定定理的证明探究与应用【概括新知】

角平分线的判定定理:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.用符号语言表示:∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,∴点P在∠AOB的平分线上.说明:应用角平分线的判定定理必须具备的条件:两垂直,一相等.

【探究2】

角平分线的判定定理的证明探究与应用例(教材例1)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC上,AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长.

【拓展提升】

探究与应用如图,∠1=∠2,AE⊥OB于点E,BD⊥OA于点D,AE与BD相交于点C.求证:AC=BC.

解：∵∠1=∠2，CE⊥OB于E，CD⊥OA于D，∴CD=CE．∠CDA=∠CEB=90°，在△ACD和△BCE中，∠CDA=∠CEB，CD=CE，∠DCA=∠ECB（对顶角相等），∴△ACD≌△BCE（ASA），∴AC=BC．

达标测评

B课堂小结与检测

达标测评2.某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力,拟在两条景观道OM,ON之间(即∠MON内部)的开阔地修建一所红十字救助站P,使其到景观道OM,ON的距离相等,同时到A,B两个休息亭的距离也相等,试确定救助站P的位置.课堂小结与检测解：由题知，点P既在∠MON的角平分线上，又在线段AB的垂直平分线上．

达标测评3.如图,已知BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,若BD=CD.求证:AD平分∠BAC.课堂小结与检测

第一章

三角形的证明5角平分线第2课时角平分线的应用

思考：(1)角平分线的性质.(2)角平分线的性质定理的逆定理.(3)作三角形的三个内角的平分线,你发现了什么?知识关联解

：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

（2）在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

（3）三角形的三个内角的平分线交于一点。

【探究1】角的平分线应用探究与应用例1

(教材例2)如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是

△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)已知CD=4cm,求AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.

【探究1】角的平分线应用探究与应用例1

(教材例2)如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)已知CD=4cm,求AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.解(2)证明:由(1)的求解过程易知Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE(全等三角形的对应边相等).∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.

【探究2】

三角形的内角平分线的性质探究与应用每人都准备一张三角形的纸片,如图,让学生分别折出三个角的平分线,然后观察三条角平分线有什么特点.

结论：

三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.

【探究2】

三角形的内角平分线的性质探究与应用例2

(教材例3)已知:如图,在△ABC中,角平分线BM与角平分线CN相交于点P。求证:∠A的平分线经过点P.证明:如图.过点P分别作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F.∵BM是△ABC的角平分线∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理,PE=PF,∴PD=PE=PF.∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上),即∠A的平分线经过点P.要证明∠A的平分线经过点P,需要什么条件?EDF

【探究2】

三角形的内角平分线的性质探究与应用【概括新知】

三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.

【探究2】

三角形的内角平分线的性质探究与应用【应用】

如图,三条公路两两相交于A,B,C三点,现计划在三条公路围成的区域内修建一个超市,要求这个超市到三条公路的距离相等,问超市应建在何处(使用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).解:如图所示,超市应建在∠A和∠B的

角平分线的交点O处.【拓展提升】

探究与应用1.如图,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 (

)

A.一处 B.二处 C.三处 D.四处D【拓展提升】

探究与应用

2.如图,在△ABC中,O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点,过点O作与BC平行的直线分别交AB,AC于点D,E.已知△ABC的周长为15,BC的长为6,求△ADE的周长.解：连结CO，∵点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，∴∠ABO=∠OBC，CO平分∠ACB。∵DE∥BC，∴∠OBC=∠BOD，∴∠ABO=∠BOD，∴DB=DO，同理可得EO=CE，∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DO+AE+OE=AD+BD+AE+CE=AB+AC，∵△ABC的周长为15，∴AB+AC+BC=15，而BC的长为6，

∴AB+AC=9，∴△ADE的周长为9．

达标测评1.到三角形三边距离相等的点是 (

)A.三条高的交点 B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点 D.不能确定2.如图1,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰是∠B,∠DAC,∠ECA的平分线的交点.上述结论中正确的