2023-2024学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

第1页（共1页）2023-2024学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务．下列有关航天的4个图标图案中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）3．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27° B．108° C．116° D．128°4．（2分）下列事件中，为必然事件的是（）A．明年农历“大雪”节气那天下雪 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D．掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是75．（2分）若一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．2 B．±2 C．±8 D．6．（2分）做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：抛掷次数n10020050010002000300040005000“正面向上”的次数m38962606201236185724723090“正面向上”的频率0.3800.4800.5200.6200.6180.6190.6180.618下面有3个推断：①当投掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.620，所以“正面向上”的概率是0.620；②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618；③当抛掷次数为10000时，估计出现“正面向上”的次数约为6180次．其中合理的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②7．（2分）如图，点O为线段AB的中点，∠ACB＝∠ADB＝90°，连接OC、OD．则下面结论不一定成立的是（）A．OC＝OD B．∠BDC＝∠BAC C．∠BCD+∠BAD＝180° D．AC平分∠BAD8．（2分）如图，等边三角形ABC的边长为2，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，⊙O的半径为．将△ABC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：①当点C第一次落在⊙O上时，旋转角为30°；②当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为60°．则结论正确的是（）A．① B．② C．①② D．均不正确二、填空题（共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2﹣x＝0的解为．10．（2分）在半径为6的圆中，150°的圆心角所对的弧长是．11．（2分）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程．12．（2分）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是cm．13．（2分）已知二次函数y＝x2+bx，当x＞1时，y随x的增大而增大．写出一个满足题意的b的值为．14．（2分）在关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x可以取任意实数．下表是自变量x与函数y的几组对应值：x…﹣2﹣101234…y…﹣1.15﹣2.45﹣2.75﹣2.05﹣0.352.356.05…根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根中，其中的一个根约等于（结果保留小数点后一位小数）．15．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点C为劣弧上的点．过点C的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA＝8，则△PMN的周长为．16．（2分）平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2﹣1在x轴和x轴下方的部分记作G1，将G1沿x轴翻折记作G2，G1和G2构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是．①图形G关于原点对称；②图形G关于直线y＝x对称；③图形G的面积为S，满足2＜S＜π．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．18．（5分）如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1，点A，B，C分别对应点A1，B1，C1．（1）在图中画出△A1B1C1；（2）△A1B1C1是以点（填“O1”，“O2”或“O3”）为旋转中心，将△ABC时针旋转度得到的．19．（5分）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．20．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣10124…y…830﹣13…（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；（2）直接写出当y＞0时，x的取值范围．21．（5分）如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值．23．（6分）第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，此届亚运会的吉祥物是由如图所示的三个可爱的机器人“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”组成的．现有三张分别印有三个吉祥物的不透明卡片，三张卡片除正面图案不同外，其余均相同．（1）从这三张卡片中随机抽取一张，图案恰好是“宸宸”的概率为；（2）从这三张卡片中随机抽取一张，记住卡片图案后将卡片放回，背面朝上洗匀，然后再从三张卡片中随机抽取一张．用列表或画树状图的方法，求两次抽到的卡片图案相同的概率（印有“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”的三张卡片依次记为A，B，C）．24．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，作DE⊥AC交AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC为等边三角形，AE＝3，求⊙O半径的长．25．（6分）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度OH为1.2m，草坪水平宽度DE＝3m，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，设灌溉车到草坪的距离OD为d（单位：m）．（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC的长；（2）下边缘抛物线落地点B的坐标为；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（m+2，y1），（6，y2）为抛物线y＝x2﹣2mx+n上两个不同的点．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）若y1＜n＜y2，求m的取值范围．27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，0°＜∠BAC＜90°，将线段AC绕点A逆时针旋转α得到线段AD，连接BD，CD．（1）如图1，当∠BAC＝α时，则∠ABD＝（用含有α的式子表示）；（2）如图2，当α＝90°时，作∠BAD的角平分线交BC的延长线于点F．交BD于点E，连接DF．①依题意在图2中补全图形，并求∠DBC的度数；②用等式表示线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段AB绕点P旋转180°以得到⊙O的弦A'B'（A′，B′分别为A，B的对应点），则称线段AB为⊙O以点P为中心的“关联线段”．（1）如图，已知点A（﹣2，﹣1），B（﹣2，0），C（﹣2，1），D（﹣1，1），在线段AC，BD，CD中，⊙O以点P为中心的“关联线段”是；（2）已知点E（﹣4，1），线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标xF的取值范围；（3）已知点E（m，1），若直线y＝﹣x+2m上存在点F，使得线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围．

2023-2024学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务．下列有关航天的4个图标图案中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：y＝（x﹣1）2﹣2顶点坐标为（1，﹣2）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．3．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27° B．108° C．116° D．128°【分析】直接由圆周角定理求解即可．【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．4．（2分）下列事件中，为必然事件的是（）A．明年农历“大雪”节气那天下雪 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D．掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7【分析】根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、明年农历“大雪”节气那天下雪，是随机事件，不符合题意；B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；C、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，是必然事件，符合题意；D、掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7，是不可能事件，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．5．（2分）若一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．2 B．±2 C．±8 D．【分析】根据一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，得出Δ＝m2﹣4＝0，解关于m的方程，即可得出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝m2﹣4＝0，解得：m＝±2，故B正确．故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＝0时方程有两个相等的实数解，Δ＜0时，无实数解，Δ＞0时，有两个不相等的实数解．6．（2分）做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：抛掷次数n10020050010002000300040005000“正面向上”的次数m38962606201236185724723090“正面向上”的频率0.3800.4800.5200.6200.6180.6190.6180.618下面有3个推断：①当投掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.620，所以“正面向上”的概率是0.620；②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618；③当抛掷次数为10000时，估计出现“正面向上”的次数约为6180次．其中合理的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②【分析】根据频率估计概率的知识点逐一判断即可．【解答】解：①当投掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.620，所以“正面向上”的概率约为0.620，此推断错误；②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618，此推断正确；③当抛掷次数为10000时，估计出现“正面向上”的次数约为6180次，此推断正确．故选：C．【点评】本题主要考查了频率与概率的知识，解题关键是正确应用相关知识分析判断．7．（2分）如图，点O为线段AB的中点，∠ACB＝∠ADB＝90°，连接OC、OD．则下面结论不一定成立的是（）A．OC＝OD B．∠BDC＝∠BAC C．∠BCD+∠BAD＝180° D．AC平分∠BAD【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出OD＝OC＝OA＝OB，得到点A、D、C、B在以O为圆心，OA长为半径的圆上，由圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC，由圆内接四边形的性质推出∠BCD+∠BAD＝180°，由和不一定相等，得到AC不一定平分∠BAD，【解答】解：∵点O为线段AB的中点，∠ACB＝∠ADB＝90°，∴OD＝AB，OC＝AB，∴OD＝OC＝OA＝OB，∴点A、D、C、B在以O为圆心，OA长为半径的圆上，∵OD＝OC，故A不符合题意；由圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC，故B不符合题意；∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，故C不符合题意；∵和不一定相等，∴∠DAC和∠BAC不一定相等，∴AC不一定平分∠BAD，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质证明点A、D、C、B在以O为圆心，OA长为半径的圆上．8．（2分）如图，等边三角形ABC的边长为2，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，⊙O的半径为．将△ABC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：①当点C第一次落在⊙O上时，旋转角为30°；②当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为60°．则结论正确的是（）A．① B．② C．①② D．均不正确【分析】①当点C第一次落在⊙O上时，连接AO，BO，C'O，可证明△ABO是等腰直角三角形，B、C'、O三点共线，再求出∠CAO＝15°，可得∠CAC'＝30°，②当AC与⊙O相切时，连接CO并延长与AB交于点M，连接AO，先求出∠OAM＝45°，∠BAC'＝135°，∠BAB'＝75°，即可得当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°．【解答】解：①当点C第一次落在⊙O上时，连接AO，BO，C'O，∵AO＝BO＝，AB＝2，∴△ABO是等腰直角三角形，∴AO⊥BO，∴B、C'、O三点共线，∵AB＝AC'，∴∠ABC'＝∠AC'B＝45°，∴∠BAC'＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠CAO＝15°，∴∠CAC'＝30°，故①正确；当AC与⊙O相切时，连接CO并延长与AB交于点M，连接AO，∵△ABC是正三角形，∴CM⊥AB，∵AB＝2，∴AM＝1，∵OA＝，∴OM＝1，∴∠OAM＝45°，∵∠OAC'＝90°，∴∠BAC'＝135°，∵∠C'AB'＝60°，∴∠BAB'＝75°，∴当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°，故②错误，故选：A．【点评】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键．二、填空题（共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2﹣x＝0的解为x1＝0，x2＝1．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程分解得：x（x﹣1）＝0，所以x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（2分）在半径为6的圆中，150°的圆心角所对的弧长是5π．【分析】利用弧长公式计算即可．【解答】解：弧长＝＝5π，故答案为：5π．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝，属于中考常考题型．11．（2分）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程301（1+x）2＝500．【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，依题意得：301（1+x）2＝500．故答案为：301（1+x）2＝500．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．（2分）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是cm．【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【解答】解：已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM＝30度，因而OM＝OA•cos30°＝cm．正六边形的边心距是cm．【点评】连接正六边形的中心与各个顶点，正六边形被半径分成六个全等的正三角形．13．（2分）已知二次函数y＝x2+bx，当x＞1时，y随x的增大而增大．写出一个满足题意的b的值为﹣2（答案不唯一）．【分析】依据题意，由二次函数y＝x2+bx的对称轴是直线x＝﹣，又抛物线开口向上，从而当x＞﹣时，y随x的增大而增大，再结合当x＞1时，y随x的增大而增大，可得b的范围，进而可以得解．【解答】解：由题意，二次函数y＝x2+bx的对称轴是直线x＝﹣，又抛物线开口向上，∴当x＞﹣时，y随x的增大而增大．又当x＞1时，y随x的增大而增大，∴﹣≤1．∴b≥﹣2．故可取b＝﹣2．故答案为：﹣2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．14．（2分）在关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x可以取任意实数．下表是自变量x与函数y的几组对应值：x…﹣2﹣101234…y…﹣1.15﹣2.45﹣2.75﹣2.05﹣0.352.356.05…根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根中，其中的一个根约等于2.2（结果保留小数点后一位小数）．【分析】依据题意，观察表格中的数据可以写出一个符合题意的值，注意本题答案不唯一，但要接近x＝2．【解答】解：由表格可知，当x＝2时，y＝﹣0.35＜0，当x＝3时，y＝2.35＞0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于2.2，故答案为：2.2．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出一个符合要求的即可，本题答案不唯一．15．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点C为劣弧上的点．过点C的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA＝8，则△PMN的周长为16．【分析】由切线长定理可得出答案．【解答】解：∵PA，PB，MN是⊙O的切线，PA＝8，∴MA＝MC，NC＝NB，PA＝PB＝8，∴△PMN的周长＝PM+MC+NC+PN＝PM+MA+NB+PN＝PA+PB＝16．故答案为：16．【点评】此题考查学生掌握切线长定理，掌握经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等是解本题的关键．16．（2分）平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2﹣1在x轴和x轴下方的部分记作G1，将G1沿x轴翻折记作G2，G1和G2构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是①③．①图形G关于原点对称；②图形G关于直线y＝x对称；③图形G的面积为S，满足2＜S＜π．【分析】根据抛物线的对称性结合图形即可判断①②；观察图形即可判断③．【解答】解：由图形可知，图形G关于原点对称，不关于直线y＝x对称，故①正确，②错误；观察图形，图形G的面积S大于两个△ABC的面积，小于⊙O的面积，所以，图形G的面积满足2＜S＜π，故③正确．故答案为：①③．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5，∴x＝2±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18．（5分）如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1，点A，B，C分别对应点A1，B1，C1．（1）在图中画出△A1B1C1；（2）△A1B1C1是以点O1（填“O1”，“O2”或“O3”）为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90度得到的．【分析】（1）△A1B1C1是以点O1为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90度得到的．（2）利用旋转变换的性质判断即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）△A1B1C1是以点O1为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90度得到的．故答案为：O1，顺，90．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．19．（5分）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．【分析】连接AO，根据垂径定理求得AC＝BC＝9，设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x，OC＝27﹣x，根据勾股定理即可求得x．【解答】解：连接AO，∵CD过圆心，C为AB的中点，∴CD⊥AB，∵AB＝18，C为AB的中点，∴AC＝BC＝9，设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x分米，∵CD＝27，∴OC＝27﹣x，在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，∴92+（27﹣x）2＝x2，∴x＝15（分米），答：拱门所在圆的半径是15分米．【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．20．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣10124…y…830﹣13…（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；（2）直接写出当y＞0时，x的取值范围．【分析】（1）依据题意，观察表格数据，先求出对称轴是直线x＝＝2，顶点坐标为（2，﹣1），从而可设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，又图象过（1，0），计算进而可以得解；（2）依据题意，令y＝x2﹣4x+3＝0，得x＝1或x＝3，又抛物线开口向上，从而y＞0时，x的取值范围是函数图象是x轴上方的部分对应的自变量，进而可以判断得解．【解答】解：（1）由题意，根据表格数据，可得抛物线的对称轴是直线x＝＝2，∴顶点坐标为（2，﹣1）．∴可设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1．又图象过（1，0），∴a﹣1＝0．∴a＝1．∴二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．（2）由题意，令y＝x2﹣4x+3＝0，∴x＝1或x＝3．又抛物线开口向上，∴y＞0时，x的取值范围是函数图象是x轴上方的部分对应的自变量．∴x＜1或x＞3．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．21．（5分）如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．【分析】连OC，由C是的中点，∠AOB＝120°，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，则AC＝OA＝OB＝BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．【解答】证明：连OC，如图，∵C是的中点，∠AOB＝120°∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴AC＝OA＝OB＝BC，∴四边形OACB是菱形．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值．【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断；（2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可．【解答】（1）证明：a＝1，b＝m，c＝m﹣1，∵Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（m﹣1）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴该方程总有两个实数根；（2）解：∵该方程两个实数根的和为3，∴﹣m＝3，∴m＝﹣3．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键．23．（6分）第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，此届亚运会的吉祥物是由如图所示的三个可爱的机器人“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”组成的．现有三张分别印有三个吉祥物的不透明卡片，三张卡片除正面图案不同外，其余均相同．（1）从这三张卡片中随机抽取一张，图案恰好是“宸宸”的概率为；（2）从这三张卡片中随机抽取一张，记住卡片图案后将卡片放回，背面朝上洗匀，然后再从三张卡片中随机抽取一张．用列表或画树状图的方法，求两次抽到的卡片图案相同的概率（印有“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”的三张卡片依次记为A，B，C）．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两次抽到的卡片图案相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，从这三张卡片中随机抽取一张，图案恰好是“宸宸”的概率为．故答案为：．（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次抽到的卡片图案相同的结果有3种，∴两次抽到的卡片图案相同的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．24．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，作DE⊥AC交AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC为等边三角形，AE＝3，求⊙O半径的长．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝∠ODB，等量代换得∠ACB＝∠ODB，由平行线的判定得到OD∥AC，进而得到OD⊥DE，即可证得DE是⊙O的切线；（2）根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠A＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，DE2+AE2＝AD2，∴AD＝2DE，∴DE2+32＝4DE2，∴DE＝，∴AD＝2在Rt△ABD中，AB＝2BD，BD2+AD2＝AB2，∴BD2+（2）2＝4BD2，∴BD＝2，∴AB＝4．∴⊙O半径的长为2．【点评】本题考查了切线的性质，等边角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得OD∥AC．25．（6分）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度OH为1.2m，草坪水平宽度DE＝3m，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，设灌溉车到草坪的距离OD为d（单位：m）．（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC的长；（2）下边缘抛物线落地点B的坐标为（2，0）；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为2≤d≤3．【分析】（1）由顶点A（2，1.6）得，设y＝a（x﹣2）2+1.6，再根据抛物线过点（0，1.2），可得a的值，从而解决问题；（2）由对称轴知点（0，1.2）的对称点为（4，1.4），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；（3）根据点B，C坐标以及草坪宽度可得结论．【解答】解：（1）由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点，设y＝a（x﹣2）2+1.6，又∵抛物线过点（0，1.2），∴1.2＝4a+1.6，∴a＝﹣，∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1.6，当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+1.6，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴喷出水的最大射程OC为6m；（2）∵对称轴为直线x＝2，∴点（0，1.4）的对称点为（4，1.4），∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，∴点B的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）；（3）∵OB＝2，OC＝6，DE＝3，∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为2≤d≤3，故答案为：2≤d≤3．【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（m+2，y1），（6，y2）为抛物线y＝x2﹣2mx+n上两个不同的点．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）若y1＜n＜y2，求m的取值范围．【分析】（1）由二次函数的对称轴公式即可解决问题．（2）根据题意列出不等式组即可．【解答】解：（1）由题知，x＝，所以抛物线的对称轴为直线x＝m．（2）将点（m+2，y1），（6，y2）坐标代入函数解析式得，，，又因为y1＜n＜y2，所以﹣m2+n+4＜n＜﹣12m+n+36，解得m＜﹣2或2＜m＜3．所以m的取值范围是：m＜﹣2或2＜m＜3．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用二次函数求不等式的解集及熟知二次函数的性质是解题的关键．27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，0°＜∠BAC＜90°，将线段AC绕点A逆时针旋转α得到线段AD，连接BD，CD．（1）如图1，当∠BAC＝α时，则∠ABD＝90°﹣α（用含有α的式子表示）；（2）如图2，当α＝90°时，作∠BAD的角平分线交BC的延长线于点F．交BD于点E，连接DF．①依题意在图2中补全图形，并求∠DBC的度数；②用等式表示线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可；（2）①根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可；②由等腰三角形的性质可得BE＝DE，AF⊥BD，由等腰直角三角形的性质可得DF＝EF，HF＝FC，由“AAS”可证△ABE≌△ACH，可得CH＝AE，即可求解．【解答】解：（1）∵将线段AC绕点A逆时针旋转α得到线段AD，∴AC＝AD，∠CAD＝α，∴∠BAD＝2α，∵AB＝AC，∴AB＝AD，∴∠ABD＝＝90°﹣α，故答案为：90﹣α；（2）①如图所示：∵AB＝AC＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°+∠BAC，∴∠ABC＝90°﹣，∠ABD＝＝45°﹣，∴