2025年高考数学考点解密之常用逻辑用语

2025年高考数学考点解密之常用逻辑用语

一.选择题（共10小题）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024•济南二模）下列命题是真俞题的是（

A.5>2且7>8B.3>4或3<4

A.〃和q都是真命即B.和q都是真命即

C.〃和r/都是真命题D.T）和r都是真命题

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

二.多选题（共5小题）

12.（2024•海州区校级模拟）下列命题正确的有（

C.异面直线C/和cq所成的角为定值

B./（x）恰有2个零点

C.fCr）既有最大信，又有最小佰

三.填空题（共5小题）

19.（2024•安徽模拟）已知下列命题：

其中所有真命题的序号是.

四.解答题（共5小题）

（1）若命题夕为假命题，求实数〃的取值范围；

（2）若命题〃和q有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.

（1）若q是真命题，求实数。的取值范围：

（2）若〃，,中有一个为真命题.一个为假命题，求实数〃的取值范围.

（1）若〃=1，且〃且^为真，求实数x的取值范围：

（2）非〃是非夕的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

2025年高考数学解密之常用逻辑用语

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

【答案】A

【考点】求全称量词命题的否定

【专题】简易逻辑：定义法；对应思想：逻辑推理

【分析】根据命题的否定的定义求解.

故选：A.

【点评】本题考查命题的否定，属于基础题.

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【考点】充分条件与必要条件

【专题】整体思想：不等式；数学运算：综合法

故选：B.

【点评】本题考查充分必要条件，考查了集合的包含关系，属于基础题.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【考点】充分条件与必要条件

【专题】简易逻辑；综合法；整体思想.综合题；逻惧推理

【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.

所以充分性成立：

所以必要性不成立；

故选：A.

【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，涉及基本不等式的应用，属于基础题.

4.（2024•济南二模）下列命期是真命题的是（）

A.5>2且7>8B.3>4或3<4

【答案】B

【考点】四种命题

【专题】简易逻辑：综合法；逻辑推理：整体思想

【分析】根据真命题的定义判断.

【解答】解：对于4,7>8不成立，所以5>2且7>8是假命题，粒4错误：

对于4,3<4成立，所以3>4或3<4是真命题，故3正确：

对于C,9,,7是假命题，故C错误；

故选：B.

【点评】本题主要考查了命题真假的判断，属于基础题.

A.〃和夕都是真命题B.-y，和夕都是真命题

C.〃和F都是真命题D.力和F都是真命题

【答案】13

【考点】复合命题及其真假；全称量词命题的否定

【专题】计算题；简易逻辑；转化思想：数学运算；综合法

【分析】判断命题的真假，命题的否定的真假，即可得到选项.

所以一P和夕都是真命题.

故选：B.

【点讨】本题考查命题的真假的判断，命题的否定命题的真假的判断，是基础题.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【考点】充分条件与必要条件

【专题】简易逻辑；综合法；数学运算：转化思想；计算题；不等式

【分析】根据题意，利用不等式的性质与基本不等式，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题佗答

案.

故选：B.

【点评】本题主要考查基本不等式的应用、充要条件的定义与判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基

础题.

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【考点】充分条件必要条件的判断

【专题】对应思想；转化法：简易逻辑

故选：A.

【点评】本题以不等式为载体，考查了充分必要条件的判断，充分利用不等式的基本性质是推导不等关系,

得出正确结论的重要条件.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【考点】充分条件与必要条件

【专题】转化思想；数学运算：计算翘：综合法；简易逻辑

故选：A.

【点评】本题主要考查的知识点是不等式的基本性质、充要条件的定义与判断，同时考查了逻辑推理能尢,

属于基础题.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【考点】充分条件与必要条件

【专题】简易逻辑；综合法；转化思想；计算题；数学运算

【分析】根据题意对两个条件进行化简，结合充要条件的定义判断出正确答案.

故选：B.

【点评】本题主要考查充分必要条件的定义与判断，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】A

【考点】充分条件与必要条件

【专题】综合法；简易逻辑；整体思想：综合题；逻辑推理

【分析】利用构造函数法，结合导数以及充分和必要条件等知识确定正确答案.

【解答】解：依题意，a>\,b>\,

所以甲是乙的允分条件但不是必要条件.

故选：A.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题.

二.多选题（共5小题）

【答案】AC

【考点】充分条件与必要条件

【专题】数学运算；综合法：简易逻辑：转化思想：不等式的解法及应用

故选：AC.

【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

12.（2024•海州区校级模拟）下列命题正确的有（）

【答案】BD

【考点】圆的标准方程：命题的真假判断与应用

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；简易逻辑；逻辑推理：数学运算

【分析】利用圆的方程的体积求解〃?的范围判断A：通过已知条件求解圆的方程，判断4：利用直线与圆

的位置关系判断C:求解公共弦长，判断。即可.

故选：BD.

【点评】木题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系的应用，命题真假的判断，是基础题.

c.异面直线qp和cq所成的角为定值

【考点】命题的真假判断与应用；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角

【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算

【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式，线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，判定人、

B、C、。的结论.

【解答】解：如图所示：

【点评】本题考查的知识要点：止方体的性质，几何体的体积公式，线面平行的判定和性质，异面直线的

夹角，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

B./（X）恰有2个零点

C./（X）既有最大值，又有最小值

【答案】BD

【考点】命题的真假判断与应用：利用导数研究曲线上某点切线方程

【专题】计算题：分类讨论：综合法；导数的概念及应用；数学运算

故选：BD.

【点评】本题主要考查利用导数研究曲线在某一点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

【答案】CD

【考点】充分条件与必要条件

【专题】简易逻辑；综合法；数学运算：转化思想

结合选项可得，符合条件的答案为：CD.

故选：CD.

【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

三.填空题（共5小题）

【考点】求存在量词命题的否定

【专题】简易逻辑；转化思想：数学运算：转化法

【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解.

【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题.

【答案】S，4].

【考点】存在量词命题的否定：命题的真假判断与应用

【专题】计算题：方程思想；转化思想：综合法；简易逻辑：逻辑推理

必有4,4,即〃的取值范围为（Y,4].

故答案为：（一8,41.

【点评】本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定方法，属于基础题.

【考点】求存在量词命题的否定

【专题】综合法：简易逻辑：整体思想：数学抽象

【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即用.

【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题.

19.（2024•安徽模拟）己知下列命题：

其中所有真命题的序号是

【考点】2K：命题的真假判断与应用

【专题】懦：对应思想：48：分析法：5£；简易逻辑

故答案为：②

【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题.

【考点】全称量词命题真假的应用

【专题】转化法：数学运算：转化思想：简易逻辑

【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题.

四.解答题（共5小题）

【考点】充分条件与必要条件；交集及其运算

【专题】简易逻辑；转化法；对应思想：数学运算

（2）根据集合的包含关系得到关于川的不等式，解出即可.

（2）由己知A是4的真子集，

【点评】本题考查了集合的运算，考查充分必要条件，是基础题.

（1）若命题为假命题，求实数〃的取值范围：

（2）若命题〃和^有且只有一个为真命题，求实数，〃的取值范围.

【考点】复合命题及其真假：命题的真假判断与应用

【专题】数学运算；综合法；分类讨论：简易逻辑

【分析】（1）由q真，由判别式求得，〃的取值范围，进而得到夕假的条件：

（2）求得〃真的条件，由〃和夕有且只有一个为真命题，得到〃真夕假，或〃假夕真，然后分别求的小的

取值范围，再取并集即得.

由和夕有且只有一个为其命题，

〃真假，或〃假q真，

【点评】木题考查复合命题的真假判定和含有量词的命题真假判定，涉及一元二次不等式恒成立和能成立

问题，不等式的求解，关键是由〃和g有且只有一个为真命题，得到〃真夕假，或〃假q真，属于中档题.

【考点】充分条件、必要条件、充要条件；交集及其运算

【专题】计算题：转化思想；综合法；简易逻辑：数学运算

【分析】（1）先解一元二次不等式求出A,再利用交集运算求解即可.

，实数。的取值范围为（0,3].

【点评】本题考查了•元二次不等式的解法，交集运算，充要条件的应用，属于中档题.

（1）若是真命题，求实数。的取值范围：

（2）若〃，夕中有一个为真命题.一个为假命题，求实数”的取值范围.

【答案】（1）（一8，3].

【考点】复合命题及其直假

【专题】整体思想：综合法：函数的性质及应用：数学运算

【分析】（1）利用复合函数的单调性即可解出：

（2）分别讨论命题〃，夕的真假，即可解出.

又据题意知，当函数g。）在区间[3,+8）上单调递减时，

所以凡3,即所求实数。的取值范围为（-8,3],

（2）据题设知“〃真，夕假”或“〃假，夕真”，

【点评】本题考查了函数的性质，命题，学生的数学运算能力，属于基础题.

（1）若。=1，且〃且为真，求实数x的取值范围：

（2）非〃是非夕的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】见试题解答内容

【考点】充分条件、必要条件、充要条件：复合命题及其真假

【专题】简易逻辑

【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是绝对

值不等式及对数不等式的解法.

.•若〃且夕为真,

「非〃是非q的充分不必要条件，

实数。的取值范围是（1，2].

【点评】判断充要条件的方法是：

⑤判断命题〃与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题〃与命题夕的

关系.

考点卡片

1.交集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与8的交集，记作4AB.

符号语言：AnB={HxWA,且.隹团.

人HB实际理解为：x是A且是8中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算性质：

①AnB=8AA.②400=0.@A0A=A.④4cBGA,AC\BQB.⑤403=人=人《8.®AQB=0,两个

集合没有相同元素.⑦AH(CuA)=0.⑧Qj(APB)=(CuA)U(CuB).

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用：求交集的方法是：①有限集找相同：②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联

合命题.

2.充分条件与必要条件

【知识点的认识】

I、判断：当命题“若〃则为真时，可表示为〃=心称〃为g的充分条件，，/是〃的必要条件.事实.匕

与“〃等价的逆否命题是''「夕它的意义是：若夕不成立；则〃一定不成立.这就是说，夕对

于〃是必不可少的，所以说9是〃的必要条件.例如：P：42”：Q0.显然问3则等价于.府q,

则在〃一定成立.

2、充要条件：如果既有“p=g”，又有“gnp”，则称条件〃是g成立的充要条件，或称条件g是〃成立的

充要条件，记作“〃=/'.〃与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据：解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一

不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学

生答题时往往混淆二者的关系.判断鼠目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且q=p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件:

②若pnq为假命题且<?=>/>为直命题.则命题p是命题q的必要不充分条件：

③若pnq为真命题且qnp为真命题,则命题〃是命题夕的充要条件：

④若p=q为假命题且qnp为假命题,则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题〃与命题夕所表示的范围，再根据“谁人谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题〃与命题q

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而儿乎年年必考内

容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

3.充分条件必要条件的判断

【知识点的认识】

I、判断：当命题“若〃则，'为真时，可表示为〃=>%称〃为q的充分条件，q是〃的必要条件.

2、充要条件：如果既有“png”，又有“q=p”,则称条件〃是‘成立的充要条件，或称条件q是〃成立的

充要条件，记作“poq”.〃与互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据：解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不

可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生

答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件：

②若pnq为假命题且q=p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件：

③若pnq为真命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的充要条件：

④若p=q为假命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题〃与命题夕所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题〃与命题q

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容,

多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

4.全称量词命题真假的应用

【知识点的认识】

全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.符号：V

应勉练掌握全称命题的判定方法

全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符

号“V”表示.

含有全称量词的命题.“对任意一个托有〃(X)成立”简记成“V.诧p(x)”.

命题全称命题WrEW,〃(x)

表述方①所有的xEW,使〃(T)成立

法②对一切在M,使p(x)成立

③对每一个xWM,使〃(x)成立

④对任给--个x€M,使p(幻成立

⑤若.隹M,则〃(x)成立

【解题方法点拨】在应用全称量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理.例

如，在证明几何命题时，可以先验证全称量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的几何推理和计算.

【命题方向】全称量词命题真假的应用在代数和几何题中广泛存在.例如，利用全称量词命题的真假来推

导数的整除性、代数式的恒等关系，或几何图形的某些性质.这类题型要求学生具备扎实的基础知识科逻

辑推理能力.

若命题“V.诧[1,3],为其命题，则”的最小值为.

解：V.ve[l,3],则a>~^—，

x2+l

当庆[1,3]时，—=4,当且仅当x=l时，等号成立，

x5+2后2

故a>1

所以实数a的最小值为2.

2

故答案为：-1.

2

5.全称量词命题的否定

【知识点的认识】

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：Yx£M.p（x）它的否命题w：B.ro^A/,->p（,xo）.

【解题方法点拨】

写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”：（2）

将结论否定，比如符“〉”改为“W”.值得注意的是，全称命题的否定的特称命题.

【命题方向】

这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现.难度一般不大，从考查的数学知识上看，

能涉及高中数学的全部知识.

6.求全称量词命题的否定

【知识点的认识】

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：VxWM,p（x）它的否命题rp：B.xoEM,rp（AO）.

【解题方法点拨】

写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）

将结论否定，比如将“〉”改为“W”.值得注意的是，全称命题的否定的特称命题.

【命题方向】

全称量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在.例如，代数中关二实数性质的全称命题的否定，儿何

中关于图形性质的全称命题的否定等.这类题型要求学生能够灵活运月逻辑思维进行否定命题的改写和判

断.

写出命题“VxWZ,IMWN”的否定：.

解：因为特称命题的否定为全称命题，

所以命题“Vx€Z,kJCN”的否定是w3xGZ,国映”,

故答案为:3.VGZ,k|€N.

7.存在量词命题的否定

【知识点的认识】

・般地，对于含有•个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p：p（AO）它的否命题->p：V.VGA/,~>p（A）.

【解题方法点拨】

写特称命题的否定的方法：（I）更换量词，将存在量词换为全称量词,即将“存在”改为“任意”；（2）

将结论否定，比如将•“>”改为“W”.值得注意的是，特称命题的否定的全称命题.

【命题方向】

这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现.难度一般不大，从考查的数学知识上看，

能涉及高中数学的全部知识.

8.求存在量词命题的否定

【知识点的认识】

一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p：BxoEM,p(.to)它的否命题w：V.veA/,rp(A).

【解题方法点拨】

写特称命题的否定的方法：(I)更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”：(2)

将结论否定，比如将“〉”改为“经”.值得注意的是，特称命题的否定的全称命题.

【命题方向】

存在量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在.例如，代数中关二方程解的存在性命题的否定，几何

中关于图形性质的存在性命题的否定等.这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和

判断.

写出下列存在量词命题的否定：

(1)某箱产品中至少有一件次品；

(2)方程7-8x+15=O有一个根是偶数；

(3)S.vGR,使/+X+1W0.

解：(1)某箱产品中都是正品：

(2)方程』-8x+15=0每一个根都不是偶数：

(3)V.vGR,使f+x+lAO.

9.四种命题

【知识点的认识】

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条

件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命

题的逆命题.

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否

定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中•人命题叫做原命题，另•个叫做原命

题的否命题.

•般地，对于两个命题，如果•个命题的条件和结论恰好是另•个命题的结

论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一

个叫做原命题的逆否命题.

【解题方法点拨】

理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题,判断命题的直假要注意与其它考点的知识、

方法相结合.

【命题方向】高考中•般在选择题中出现以命题的形式考察其它知识点的运用，由于本考点可与高中数学

中多处的考点相结合，故考察类型多样，都是基本概念与基本方法的题.

10.复合命题及其真假

【知识点的认识】

含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题.若此命题的真假满足真值表，就是复合

命题，否则就是简单命题.逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同.判

断复合命题的真假要根据真值表来判定.【解题方法点拨】

能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是

命题.能判断真假的不等式、集合运算式也是命题.写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，

而要搞清i个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的时象是个体，只须将“是”改成“不是”，将

“不是”改成“是”即可.如果命题研窕的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不足”，将

“不是”改成“是二而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”

“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性

量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题.因此，在表述个

命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常

见关键词及其否定形式附表如下：

关等大小至至至至任任PP

键于于于是能都没多少少多意两且或

词(=)(>)(<)是有有有有有的个QQ

--—•nn

个个个个

否不不不不至至一至至某寸寸

定等大小不不都少少个多少某两或且

词于于于是能是有有都有有个个

(X)(W)(')一两没n-111+\

个个有个个

若原命题，为真，则「。必定为假，坦否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命

题，同真同假.

11.命题的直假判断与应用

【知识点的认识】

判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确〃、q及非〃的真假，然后由真值表判断复

合命题的真假.

注意：“非的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2-2t+l=0的两根都不是实根”，因为“都

是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分.

【解题方法点拨】

I.判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由

真傕表得出复合命题的真假.

2.判断一个“若〃则形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“〃q”，则“若〃

则夕”为真；而要确定“若〃则为假，只需举出一个反例说明即可.

3.判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同

真同假这关系进行转化判断.

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题

形式出现.

12.利用导数研究曲线上某点切线方程

【知识点的认识】

利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对

导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青

睐.我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率：第二告诉的这点其实也就是直线上的

一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来.

【解题方法点拨】

例：已知函数状，求这个函数的图象在点x=l处的切线方程.

解:2=外=|=」1+1=1

又当x=l时，y=0,所以切点为(L0)

・••切线方程为y・0=IX(x-I),

即y=x-1.

我们通过这个例题发现，第•步确定切点：第二步求斜率，即求曲线上该点的导数：第三步利用点斜式求

出直线方程.这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结.

13.异面直线及其所成的角

【知识点的认识】

I、界面直线所成的角：

直线小是异面直线，经过空间任意一点0,作直线〃'，b',并使/〃小/，'//b.我们把直线加

和力'所成的锐角（或直角）叫做异面直线”和人所成的角.异面直线所成的角的范围：0G（0,—当

2

0=90°时，称两条异面直线互相垂直.

2、求异面直线所成的角的方法：

求异而直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平而等手段来转移直线.

3、求异而直线所成的角的方法常用到的知识：

1.余弦定理：在AABC中，有

a2=b2-i-c2-2bccosA，

b2=a24-c2-laccosB，

c1=a2-i-b2—2abcosC.

i22_2

2.余弦定理的推论：8sA=+，

2bc

"c2一〃

cosB=----------，

lac

a2-i-Z72-c2

cosC=-----------

lab

14.直线与平面所成的角

【知识点的认识】

I、直线和平面所成的角，应分三种情况：

（I）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐知:

（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°：

（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0'.

显然，斜线和平面所成角的范围是（0,匹）：直线和平面所成的角的范围为［0,—1.

22

2、一条直线和一个平而斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为

两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的.具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的

环节:

(I)作--作出斜缱与射影所成的角：

(2)证■・论证所作(或找到的)角就是要求的角：

(3)算--常用解三角形的方法(通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形)求

出角.

(4)答一■回答求解问题.

在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用.在直线与

平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想.

3、斜线和平面所成角的最小性：

斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中•条直线就是斜线本身，另•条直线是

斜线在平面上的射影.在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选

中射膨和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经

过斜足的直线所成的•切角中，它是最小的角.对于已知的斜线来说这个角是唯•确定的，它的大小反映

了斜线关于平面的“倾斜程度根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线

和这个平面内的直线所成的•切角中最小的角.

用空间向量直线与平面所成角的求法：

(I)传统求法：可通过已知条件，在斜线上取•点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过

解直角三角形求得.

(2)向量求法：设直线/的方向向量为平面的法向量为；，直线与平面所成的角为仇；与己的夹角为

年，则有sinB=|cos(p|=.

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15.圆的标准方程

【知识点的认识】

1.圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.定点叫做圆心，定长就是半径.

2.圆的标准方程：

(x-«)2+(y-b)2=/(r>0),

其中圆心C(a,b),半径为r.

特别地，当圆心为坐标原点时，半径为，•的圆的方程为：

/+)2=/.

其中，圆心(小。)是圆的定位条件，半