2025年高考数学三轮复习之常用逻辑用语

2025年高考数学三轮复习之常用逻辑用语

一.选择题（共8小题）

I.（2025•咸阳模拟）设xER,则“x=-1”是“复数z=（A+1）+（，-1）i为实数”的（）

A.充分必要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2025•咸阳模拟）已知命题p：3A>0,?>X,则命题〃的否定为（）

A.王。（），B,?>XC.VX>0,D.V.V>0,

3.（2024秋•师宗县校级期末）台题“力区N,户+1>宗，，的否定是（）

A.3//GN,〃3+]43"B.V/?EN,

C.3/?eN,/+]=3"D.V〃6N,，AH>3"

4.（2025•广东模拟）“x>2”是"-2%>0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.（2025•荷泽一模）已知｛，“｝是无穷数列，m=3,则“对任意的，小〃EN*,都有所+”=所+劭”是“｛劭｝

是等差数列”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.（2024秋•双清区校级期末）自题“V.隹R,的否定是（）

A.VxeR,B.V.veR,A?<XC.mxWR,fwxD.3xGR,x^<x

7.（2024秋•山西期末）设命题p：m.YO,『+1=0,则命题〃的否定是（）

A.弘20,f+1W0B.3.r<0,A1^0

C.V.r>O,f+lHOD.VA<0,A1^0

8.（2024秋•许昌期末）已知”，〃是实数，则成立的一个充分不必要条件是（

A.Va>VbB.a2>b2C.\a\>\b\D.a3>b3

二,多选题（共4小题）

（多选）9.（2025•重庆模拟）下列说法正确的是（）

A.数据I,2,2,5,5,5,7,9,11的众数和第6（）百分位数都为5

B.样本相关系数「越大，成对样本数据的线性相关程度也越强

C.若随机变量?服从二项分布2（6.则方差£）（2§）=?

D.若随机变量X服从正态分布N（0,1）,MP（|X|<1）=2P（X>1）

（多选）10.（2024秋•仁寿县校级期末）下列四个命题中是真命题的是（）

A.一切实数均有相反数

B.3.V6N,使得方程如+1=0无实数根

C.梯形的对角线相等

D.有此三角形不是等腰三角形

（多选）11.（2024秋•郴州期末）下列说法正确的是（）

A.命题“Vx>0,的否定形式是"AWO,

B.函数y=21og”（3・x）+1（。>0且aWl）的图象过定点（2,1）

C.方程&尸一X=2的根所在区间为（—1,-1）

D.若命题“W&R,$+2。什什2Ko恒成立"为假命题，则“aV-1或4,2”

（多选）12.（2024秋•景德镇期末）下列说法正确的有（）

A.函数/'（%）=+VFHT既是奇函数也是偶函数

B.函数/（%）=（%-1）法|为偶函数

C.函数/=俨（4一％）’°是定义在R上的奇函数且有最大值4

,x（44-X）,x<0

ox4-1

D.函数/"⑶=/。。?I今与I为偶函数且值域为（0,+8）

三,填空题（共4小题）

13,（2024秋•广东校级期末）已知命题p：1V0,则命题〃的否定是

14.（2024秋•丰满区校级期末）命题：“V.隹R,fWx-1"的否定是.

15.（2024秋•梅河口市校级期末）已知命题:“SER,/-1=（加+加2”，为真命题，则m的取值为

16.（2024秋•阜阳校级期末）命题“女>1,f-G+2V0”的否定是

四,解答题（共4小题）

17.（2024秋•蚌埠期末）已知集合A={.v|4-〃WxW2加+1},集合B=-x-2W0}.

（1）若〃?=4,求4U4：

（2）设p：.恺4,q：xWB,若〃是q的必要不充分条件，求实数〃，的取值范围.

18.（2024秋•龙岗区校级期末）已知命题p：3.u）e[-2,1],焉+2&-7n20是真命题.

（1）记实数，〃取值范围的集合为A,求集合4

（2）关于x的不等式/〃（x+〃）W0的解集为8,且xWA是尤B的必要条件，求实数〃的取值范围.

19.（2024秋•玉溪期末）写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：

（1）Vw£N,y/m2+1WN；

（2）存在一个六边形A8CDE",其内角和不等于720°.

20.（2024秋•仁寿县校级期末）已知集合八={川〃-lWxW2a+3},B=b|-lWxW4},全集U=R.

（1）当4=1时，求（CuA）Cl8：

（2）若“尤B”是“XG4”的必要条件，求实数。的取值范围.

【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解.

【解答】解：命题p：3x>0,?>X,

则命题〃的否定为：Vx>0,9Wx.

故选：C.

【点评】本题主要考查存在量词命题的否定，属「基础题.

3.(2024秋•师宗县校级期末)俞题“最WN,的否定是()

A.力尼N,7+]43"B.切怎N,枕+]43〃

C.3/?GN,〃3+|=3〃D.V/?EN,

【考点】求存在量词命题的否定.

【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解.

【答案】B

【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.

【解答】解：原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题，所以原命题的否命题为：“MEN,/

W3"”.

故选：B.

【点评】本题考查了存在量词命题的否定为全称量词命题，是基础题.

4.(2025•广东模拟)“x>2”是“小-2%>0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件必要条件的判断.

【专题】方程思想；综合法；简易逻辑；运算求解.

【答案】A

【分析】可先求解不等式“，・2匕>0"，再由充要条件的定义进行判断即可.

【解答】解：由题，解不等式x2-Zr>0,可得x>2或xVO,

因为｛小>2｝是｛小>2或xVO｝的真子集，

所以“x>2”是一2-以>0”的充分不必要条件,

故选:A.

【点评】本题考查了充分条件，必要条件，充要条件，属于基础题.

5.（2025•荷泽一模）已知｛〃“｝是无穷数列，切=3,则“对任意的，〃，尤N*,都有加+劭”是“｛〃〃｝

是等差数列”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充要条件的判断.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象.

【答案】A

【分析】根据充分性和必要性的判断，直接论证即可.

【解答】解：对任意的〃?，尤N*,都有所+〃=所+”〃，

令〃?=1,可以得到“/】="+用,因此｛〃〃｝是公差为m=2的等差数列：

若〃〃=2〃+1,则43=7,42=5,41=3,可得42+1#〃1+42,

故“对任意的机，怔N’,都有是"｛〃”｝是等差数列”的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题.

6.（2024秋•双清区校级期末）自题，.隹R,的否定是（）

A.V.vGR,B.V.VGR,C.S.VGR,D.3.VGR,A^<,.X

【考点】求全称量词命题的否定.

【专题】函数思想：定义法；简易逻辑：逻楫思维.

【答案】C

【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可.

【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

命题“W.xtR,A3>AW的否定是：S.veR,

故选：C.

【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于

基础题.

7.（2024秋•山西期末）设命题尸：八<0,/+]=（）,则命题〃的否定是（）

A.3x^0,f+1W0B.3x<0,7+1WO

C.VGO,f+1关0D.VA<0,『+IWO

【考点】存在量词命题的否定.

【专题】转化思想：转化法；简易逻辑；运算求解.

【答案】D

【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解.

【解答】解：命题P：丸V0,/+1=0,

则命题〃的否定是：Vx<0,W+1N0.

故选：D.

【点评】本题主要考查特称命题的否定，是基础题.

8.（2024秋•许昌期末）已知a,b是实数,则“。>力”成立的一个充分不必要条件是（〕

A.y/a>VbB.a2>b2C.同〉依D.a3>b3

【考点】充分不必要条件的应用；等式与不等式的性质.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；运算求解.

【答案】4

【分析】利用充分不必要条件的定义，结合不等式的性质逐项判断.

【解答】解：对于A,由得a>b,当a=-l,〃=-2时，a>b,但仿，VK没有意义，即由

〃>人推不出论〉正，4是；

对于8C,取a=-2,b=\,满足/>房，外而。<48c不是；

对于Z）,330a£>不是.

故选：A.

【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题.

二,多选题（共4小题）

（多选）9.（2025•重庆模拟）下列说法正确的是（）

A.数据1,2,2,5,5,5,7,9,11的众数和第60百分位数都为5

B.样本相关系数〃越大，成对样本数据的线性相关程度也越强

C.若随机变量《服从二项分布8（6,1）,则方差。（2f）=3

D.若随机变量X服从正态分布N（0,1）,MP（|X|<i）=2P（X>i）

【考点】命题的真假判断与应用：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；百分位数；样本相关系数.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】AC

【分析】利用众数和第60百分位数的定义判断4,利用相关系数的意义判断8,利用方差的性质判断C,

利用正态曲线的性质判断。即可求解.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,数据中，5出现的次数最多，则数据的众数为5,

由于9X60%=5.4,所以第60百分位数为第6个数据5,A正确；

对于当，•<()时，，・越大成对样本数据的线性相关程度越弱，8错误；

QQ1QQ

对于C,f〜8(6,；),D(f)=6x：x,=.,D(2f)=22D(f)=C正确;

对于D,X〜N(0,1),P(|X|<|)=P(-1<¥<1)=2[1-P(X>1)],O错误.

故选：AC.

【点评】本题考查数据百分位数的计算，涉及二项分布、正态分布的性质，属于基础题.

(多选)10.(2024秋•仁寿县校级期末)下列四个命题中是真命题的是()

A.一切实数均有相反数

B.3AGN,使得方程ar+l=0无实数根

C.梯形的对角线相等

D.有些三角形不是等腰三角形

【考点】存在量词命题的真假判断；全称量词命题的真假判断.

【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；运算求解.

【答案】ABD

【分析】根据全称量词、存在量词命题真假判断方法可逐一判断.

【解答】解：对于A,一切实数均有相反数，故A正确；

对于4,当x=0时，方程or+1=0无实数根，故B正确；

对于C,只有等腰梯形的对角线相等，故C错误；

对于至少有两条边相等的三角形才是等腰三角形，故D正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查全称量词、存在量词命题真假判断方法，属于基础题.

(多选)11.(2024秋•郴州期末)下列说法正确的是()

A.命题i(Vx>0,f的否定形式是"3.^0,x27<1”

B.函数尸21。■(3-幻+1(心0且〃为)的图象过定点(2,1)

C.方程&尸一X=2的根所在区间为（—1,-1）

D.若命题uV.vGR,，+2办+〃+22（）恒成立"为假命题，则“〃V-1或。>2"

【考点】命题的真假判断与应用；求解函数零点所在区间；全称量词命题的否定.

【专题】计算题：方程思想；转化思想：综合法；简易逻辑；运算求解.

【答案】BCD

【分析】八选项，全称量词命邈的否定是存在星词命题，把任意改为存在，把结论否定，H错误；6选

项，由对数函数的特征得到图象过定点（2,I）,B正确；C选项，由零点存在性定理和函数单调性得

到C正确；。选项，先得到玉ER,/+2ar+〃+2V0成立为真命题，由根的判别式得到不等式，求出答

案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,命题“Vx>0,f_.仑1”的否定形式是“%>0,A错误；

对于从函数y=21og〃（3-XJ+1,

令3-x=l,故工=2,此时y=l,故该函数的图象过定点（2,I）,8正确；

对于C,令力（%）=$尸_%_2,显然其在R上单调递减，

又/?（-1）=2+1-2=1>0,<-1）=V2+1-2<0,

故做工）=&尸一%-2的零点在（-1,一》内，

故方程&尸一％=2的根所在区间为（一1,-1）,C正确：

对于D,命题“VxGR,』+2依+”+220恒成立"为假命题，

则命题4<3AGR,f+2o¥+a+2Vo成立”为真命题，

故A=4/-4（。+2）>0,解得〃V・1或。>2,。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查命题真假的判断，涉及对数函数的性质，属于基础题.

（多选）12.（2024秋•景德镇期末）下列说法正确的有（）

A.函数/•（%）=+存=1既是奇函数也是偶函数

B.函数/（乃=（又一1）隹|为偶函数

C.函数y=『（4一%）’°是定义在R上的奇函数且有最大值4

.x（4+x）,%<0

D.函数/(%)=/。92|追I为偶函数且值域为(。，+8)

【考点】命题的真假判断与应用；复合函数的值域；奇函数偶函数的判断.

【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】AD

【分析】判断函数的奇偶性首先判断函数的定义域，再结合函数奇偶性的定义，即可判断.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于4函数/(%)=小三记+信=1,有匕2二；金，解可得X=±l，函数的定义域为{-1,1},

此时/(公=0,既满足/(-幻=/(x),也满足/(-X)=-/(外，所以函数既是奇函数也是偶函数,

故A正确；

对于3,函数/(%)=(%-1)、原，有山20,解可得7WxVl,函数的定义域为［-1,1),

N1-X

函数的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误；

对于C,函数y=2(4一%)，%之0,

1x(4+%),x<0

有/(0)=0,

设x>0,-x<0,/(-x)=-x(4-x)=-f(x),

设xVO,-x>0,/(-x)=-x(4+x)=-f(x),

对于任意实数x,都有/(-J=-f(.r),则函数是奇函数，

当x>0时，y=v(4-x)=-(x-2)2+4W4,

当xV()时，y=x(4+x)=(x+2)2--4,

所以函数的值域为R，无最大值，故C错误；

1

对于D,函数/'(%)=，。921示一71的定义域是｛木羊。｝，

Z—1

_2X+1_1工2

y=2^T=1+2^T，

当x>0时，y>\,当x<0时，)，V7,

所以t=|法|>1，所以函数/(%)的值域是(0,+8),

/-(-X)=log1I=logIf,所以函数fG)是偶函数，故。正确.

2L—121—幺=W

故选：AD.

【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数的定义域，属于基础题.

三,填空题（共4小题）

13.（2024秋•广东校级期末）已知命题〃：1<0,则命题〃的否定是VxER,』+.v-120.

【考点】求存在量词命题的否定.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑：逻辑思维.

【答案】V.vGR,x^+x-1^0.

【分析】否定命题的结论，把存在量词改为全称量词.

【解答】解：命题〃的否定是/+X-12（）.

故答案为：VxGR,/+x-120.

【点评】本题考查命题的否定.注意命题的否定是否定命题的结论，同时把全称量词与存在量词互换.

14.（2024秋•丰满区校级期末）命题：“V.诧R,-1”的否定是A6R,.

【考点】求全称量词命题的否定.

【专题】对应思想；数学模型法；简易逻辑；逻辑思维.

【答案】3AGR,x1>x-1.

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.

【解答】解：全称命题：“VxWR,-1”的否定为特称命题，即：3AGR,-I.

故答案为：3xER,?>x-1.

【点评】本题考查命题的否定，是基础题.

15.（2024秋•梅河口市校级期末）己知命题：“U.gR,〃/-1=J，为真命题，则，〃的取值为_二

1.

【考点】全称量词命题真假的应用.

【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解.

【答案】7.

【分析】由命题为真命题可知等式恒成立，进而列方程，解方程即可.

【解答】解：由题意可知等式〃P-l=（〃汁〃/）,V恒成立，此时与x的取值无关，

则只需严「%解得加=7,则根的取值为7.

故答案为：-1.

【点评】本题考查了全称量词命题的真假应用，涉及到恒成立问题，属于基础题.

16.（2024秋•阜阳校级期末）命题“触>1,x2-ax+2<0,f的否定是1,x2-or+220.

【考点】求存在量词命题的否定.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解.

【答案】Vx>l,/-ax+220.

【分析】根称特称命题的否定，否定结论，存在量词换成全称量词即可.

【解答】解：由命题否定的定义可知，存在改任意，将结论取反，

贝IJ命题/・ax+2V0”的否定是uV.v>l,f・or+220”.

故答案为：Vx>1,x2-or+220.

【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题.

四,解答题（共4小题）

17.（2024秋•蚌埠期末）已知集合A={.v|4-〃?WxW2m+l},集合B={x|『-»•-2W0}.

（1）若=4,求4U8：

（2）设〃：.诧4,q：xWB,若〃是g的必要不充分条件，求实数〃，的取值范围.

【考点】必要不充分条件的应用；解一元二次不等式；求集合的并集.

【专题】对应思想；定义法；集合；运算求解.

【答案】（1）4UB={M-1&W9}；

（2）[5,+8）.

【分析】（1）根据题意化简集合A,B,进而求并集；

（2）分析可知集合4是集合A的真子集，根据包含关系列式求解即可.

【解答】解：（1）已知集合A={x|4-},集合8={.很2-x-2<0}.

则B={x|?-x-2W0}={M-IWxW2},

当〃?=4时，A={x|0WxW9},

所以4口8=3・1或入£9}.

（2）因为〃是夕的必要不充分条件，可知集合3是集合A的真子集，

则将一：1*二，且等号不同时成立，解得，心5,

所以实数机的取值范闱为[5,+8）.

【点评】本题考查集合间的运算相关知识，属于基础题.

18.（2024秋•龙岗区校级期末）已知命题p：3xoe[-2,1],辞+一m20是真命题.

（1）记实数，〃取值范围的集合为A,求集合A；

（2）关于x的不等式/〃（x+〃）W0的解集为8,且在A是尤B的必要条件，求实数〃的取值范围.

【考点】存在量词命题真假的应用；解一元二次不等式.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；运算求解.

【答案】(1)A={〃?|〃]W3}；

(2){川〃2-2}.

【分析】(I)由己知结合存在性量词命题与最值关系的转化却可求解：

(2)结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解.

【解答】解:(1)命题p：3.roel-2,1J,以+2%o-m/O是真命题,

所以三刈曰-2,1],使得加工与2+2无0,

2

所以X0日-2,I]时，(xo+2XQ)max,

2

根据二次函数的性质可得，当灿=1时，(XO+2XO),Wra=3,

故〃?W3,

所以A={/n|/nW3}；

(2)由不等式历(x+n)WO可得OVx+〃Wl,

解得-〃即B={x|-〃VxW1-〃},

若xEA是xEB的必要条件,则BQA,

所以1・〃W3,即-2,

故实数n的取值范围为{川〃云-2}.

【点评】本题主要考查了存在性量词命题的真假关系应用，逐考查了充分必要条件与集合包含关系的应

用，属于基础题.

19.(2024秋•玉溪期末)写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：

(1)V/??eN>Vm2+1任N；

(2)存在一个六边形A8CDE凡其内角和不等于720°.

【考点】求全称量词命题的否定；求存在量词命题的否定：存在量词命题的真假判断.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解.

【答案】(1〉3///6N,\/m2+16N,真命题；

(2)任意六边形/WCDE/，其内角和等于720。，真命题.

【分析】(I)由全称命题的否定是把存在改为存在，并否定原结论，进而判断真假；

(2)由特称命题的否定是把存在改为任意，并否定原结论，进而判断真假.

【解答】解：(1)V〃?WN,7m3+1£/V的否定为力〃WN,Vm24-16/V,

因为〃?=OWN时，VOr+l=16/V,故为真命题；

(2)存在一个六边形A3C。*',其内角和不等于720”,

则原命题的否定为任意六边形A8CQER其内角和等于7200,易知其为真命题.

【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题.

20.(2024秋•仁寿县校级期末)己知集合A={也-lWxW2a+3},8="|-lWxW4),全集U=R.

(1)当。=1时，求(CuA)CIB；

(2)若是的必要条件，求实数〃的取值范围.

【考点】充分条件与必要条件；交、并、补集的混合运算.

【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；运算求解.

【答案】(1)W-1<x<0).

1

(2)(・8,-4)U[0,

【分析】(1)利用集合的补集、交集运算求解.

(2)由题意可知AC8,再对4分A=0和AW0两种情况讨论，分别求出。的取值范围，最后取并集即

可.

【解答】解：(1)当〃=1时，集合A={x|0WxW5},8={x|-lWxW4},

CuA={x|xV0或x>5},

(CuA)-IWXVO}.

(2)•:“X6B”是的必要条件，・・・AGB,

①若A=0,贝Jia-l>2a+3,：,a<-4,

②若AW0，则”IN-1，解得0字a[,

2a+3<4

综上所述，实数〃的取值范围为(-8,-4)U[0,*.

【点评】本题主要考查了集合的基本元素，考查了集合间的包含关系，属于基础题.

考点卡片

1.求集合的并集

【知识点的认识】

由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做4与8的并集，记作AUB.

符号语言:AUB={4x€A或XEB].

八U6实际理解为：①人仅是A中元素；®仅是6中的元素；③人是八且是6中的元素.

运算性质：

①4UB=BLM.②AU0=A.③AU4=A.④AUB34,AU8NB.

【廨题方法点拨】

定义并集：集合A和集合8的并集是所有属于A或属于8的元素组成的集合，记为AU&元素合并：将

A和〃的所有元素合并，去重，得到并集.

【命题方向】

己知集合4={x£N|一狂％<当，B={.VGZ|.V2<3},则AU5=()

解：依题意，71={xG/V|-i<r<1}={0,1,2},B={%GZ|-V3<x<V3}={-1,0,1},

所以43A={-I,0,1,2}.

2.交、并、补集的混合运算

【知识点的认识】

集合交换律AAB=BGA,

集合结合律(AGB)nC=AC(8AC),(AUB)UC=AU(BUC).

集合分配律AH(4UC)=(AC3)U(ACC),AU(BAO=(AUB)n(AUC).

集合的摩根律Cu(AH。)=CuAUCuaCu(AUB)=CuAGCu〃.

集合吸收律AU(AA8)=A,AP(AUB)=A.

集合求补律AUCuA=U,AnCuA=0.

【辞题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答.

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属

于基础题.

3.充分条件与必要条件

【知识点的认识】

I、判断：当命题“若〃则/'为真时，可表示为〃=%称〃为夕的充分条件，夕是〃的必要条件.事实上，

与“p=/等价的逆否命题是“fqn-'p”.它的意义是：若，/不成立，则〃一定不成立.这就是说，q对

于〃是必不可少的，所以说q是p的必要条件.例如：p：x>2；6/：x>0.显然则xEg.等价于

则人任〃一定成立.

2、充要条件：如果既有“p=g”，又有“q=p”，则称条件〃是q成立的充要条件，或称条件g是〃成立的

充要条件，记作“p=q”.〃与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一

不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学

生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若pnq为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p=q为真命题旦，日,为真命题，则命题〃是命题q的充要条件：

④若pnq为假命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题〃与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谯小谁充分”的原则，判断命题〃与命题9

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内

容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

4.充分条件必要条件的判断

【知识点的认识】

1、判断：当命题“若〃则g”为其时，可表示为png,称〃为q的充分条件，g是〃的必要条件.

2、充要条件：如果既有“〃=/',又有&=p"，则称条件〃是4成立的充要条件，或称条件g是〃成立的

充要条件,记作“poq”.〃与夕互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不

可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生

答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若p=q为真命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若pnq为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件：

③若pnq为真命题且q=p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若〃为假命题且qnp为假命题，则命题〃是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题〃与命题，/所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谗小谁充分”的原则，判断命题〃与命题q

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，

多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

5.充要条件的判断

【知识点的认识】

充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件.即若P成立，则。成立，若。成立，则P也成立.用

符号表示为尸=Q.充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的.

【解题方法点拨】

要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P=Q和Q=P.如果两者都成立，则尸和Q互为充要条

件.通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断.对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推

理的正确性.

【命题方向】

充要条件的命题方向包括几何图形的判定条件、函数的性质等.伊蚊口，矩形的对角线相等且互相平分是矩

形的充要条件.

“方程7-2x+m=0至多有一个实数解”的一个充要条件是（）

A.

B.1

C.

D.

解：“方程7-2x+〃?=0至多有一个实数解”的充要条件为“(-2)2・4mW0”即“用力”.

故选：A.

6.充分不必要条件的应用

【知识点的认识】

充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件。成立时，条件P不一定成立.用符

号表示为p=Q,但Q”.这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不

可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生

答割时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

若pnq为真命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，

多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

集合A={x|/+(〃+2)x+2a<0},{4r+2v-3<0},若“xWA”是“xW/T的充分不必要条件，则实数

a的取值范围是()

A.{a|-1WaW3}

B.{a|-1«2或2VaW3}

C.{a|2VaW3}

D.{cz|czs>2)

解：因为A={x|』+(a+2)x+2aV0}={x|(x+2)(x+a)<0},B={4r+2.r-3<0}={x\-3<x<1},

若“尤A”是“让B”的充分不必要条件，则且AW0,

当-aV-2时，A={x\-a<x<-2],5={x|-3<x<l},则解得2VaW3,

当・a>・2时,A={x\-2<x<-a],5={x|-3<x<l},贝iJ-aWl,解得・1W〃V2，

所以-lWa<2或2VaW3.

败选：B.

7.必要不充分条件的应用

【知识点的认识】

必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件。必然成立，但条件。成立时，条件Q不一定成立.用符

号表示为gP,但P4Q.这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件

不能完全保证结果成立.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不

可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生

答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

若pnq为假命题且qnP为真命题，则命题〃是命题q的必要不充分条件；

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，

多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

设p：1;q：。近X近〃+1,若q是〃的必要不充分条件，则实数〃的取值范围是()

4(0.1)

8.(0,1]

C.[0,》

D[0,

解：p：~<A<1,q：aWxWa+1，

乂,：P的必要不充分条件是q，

:.pnq，反之则不能，

/.I1>2，

当。=0时，q：0<Wl,满足〃的必要不充分条件是心

11□

当时，q：-<x<满足〃的必要不充分条件是依

2«

故选：D.

8.全称量词命题的真假判断

【知识点的认识】

全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.符号：V

应熟练掌握全称命题的判定方法

全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符

号“V”表示.

含有全称量词的命题.“对任意一个在M,有〃(x)成立”简记成“VxEM,〃(x)”.

命题全称命题V.iWW,p(x)

表述方①所有的xWM，使〃(x)成立

法②对一切xWM,使〃(x)成立

③对每一个xWM,使〃(x)成立

④对任给一个使〃(X)成立

⑤若xWM,则〃(x)成立

【解题方法点拨】判断全称量词命题的真假时，可以从反例入手，寻找一个使得命题不成立的例子.例如，

要判断“所有奇数都是质数”是否为真，只需找到一个奇数不是质数(如9)即可证明该命题为假.

【命题方向】全称量词命题的真假判断常见于代数和几何性质的判定.例如，判断一个数列的全称性质是

否成立，或判断几何图形的某个性质是否对所有相关对象成立.这类题型要求学生能够灵活应用定义和性

质进行验证.

判断下列全称量词命题的真假：

(I)所有素数都是奇数；

(2)VxeR,|x|+l>h

(3)对任意一个无理数x,,也是无理数.

解：（1）2是素数，但2不是奇数，，所有素数都是奇数是假命题；

（2）VxWR,总有因20,，国+121,

AVXGR,IM+121是真命题；

（3）四是无理数，但（&）2=2是有理数，

・•・全称量词命题“对每•个无理数x,』也是无理数”是假命题.

9.全称量词命题真假的应用

【知识点的认识】

全称量词：短语''对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.符号：V

应熟练掌握全称命题的判定方法

全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符

号“V”表示.

含有全称量词的命题.“对任意一个有〃（A）成立”简记成，在M,p（x）”.

命题全称命题VxWM.p（x）

表述方①所有的使〃（X）成立

法②对一切xEM,使p（x）成立

③对每一个使〃（x）成立

④对任给一个KWM,使〃（x）成立

⑤若.隹M,则〃（文）成立

【解题方法点拨】在应用全称量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理.例

如，在证明几何命题时，可以先验证全称量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的几何推理和计算.

【命题方向】全称量词命题真假的应用在代数和几何题中广泛存在.例如，利用全称量词命题的真假来推

导数的整除性、代数式的恒等关系，或几何图形的某些性质.这类题型要求学生具备扎实的基础知识和逻

辑推理能力.

若命题3],av2-为真命题，则〃的最小值为.

解：V.rG[l,3],aJ-x+a，。，则aN，

人IA

%111

当x6[l,3]时，21=1--r==当且仅当X=1时，等号成立，

mix+-2rr2

N*

故Q共

所以实数。的最小值为

故答案为:\

10.存在量词命题的真假判断

【知识点的认识】

存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个“、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用

符号"于’表示.

特称命题：含有存在量词的命题.“玉0WM,有〃（.w）成立”简记成“孔oWM,p（刈）”.

“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词.

命题特称命题曲06朋，p（A0）

表述方①存在xoWM,使〃（xo）成立

法

②至少有一个使〃（X0）成立

③某些使〃（x）成立

④存在某一个A06M,使〃（xo）成立

⑤有一个X0WM,使"（.¥0）成立

【解题方法点拨】判断存在审词命题的真假时，可以通过具体实例来验证.例如，要判断“存在一个数是

3的倍数”是否为真，只需找到一个3的倍数（如6）即可证明该命题为真.如果无法找到任何一个符合

条件的对象，则命题为假.

【命题方向】存在量词命题的真假判断常见于代数和几何性质的判定.例如，判断一个方程是否有解，或

判断几何图形的某个性质是否对某些对象成立.这类题型要求学生能够灵活应用定义和性质进行验证.

下列存在量词命题中，为真命题的是（）

A.S.vez,.v2-2A-3=0

B.至少有一个使x能同时被2和3整除

C.3.vGR,|.v|<0

D.有些自然数是偶数

解：选项A：因为方程』-2.3=。的两根为3和-1,所以xEZ,故A正确；

选项8：因为6能同时被2和3整除，且6EZ,故B正确：

选项C：根据绝对值的意义可得320恒成立，不存在x满足E<0,故C错误；

选项。：2,4等既是自然数又是偶数，故。正确；

故选：ABD.

11.存在量词命题真假的应用

【知识点的认识】

存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用

符号"于’表示.

特称命题：含有存在量词的命题.“女0EW,有〃(刈)成立”简记成p(刈)”.

“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词.

命题特称命题mxoW/W,〃(xo)

表述方①存在使p(xo)成立

法②至少有一个AO£M,使〃(xo)成立

③某些xWM,使〃(x)成立

④存在某一个.roWM,使〃(xo)成立

⑤有一个wWM,使〃(刈)成立

【解题方法点拨】在应用存在量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理.例

如，在解决代数问题时，可以先验证存在量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的计算和推导.

【命题方向】存在量词命题真假的应用在代数和几何题中广泛存在.例如，利用存在量词命题的真假来推

导方程的解的存在性、几何图形的某些特性.这类题型要求学生具备扎实的基础知识和逻辑推理能力.

若命题u3we[-1,2],灿-。>0”为假命题，则实数。的取值范围是.

解：“八网・1,2]».ro-a>0"是假命题，

则它的否定命题：1,2],x-cWO”是真命题;

所以2]»恒成立，所以a22,

即实数。的取值范围是[2,+8).

故答案为：|2,+°°).

12.全称量词命题的否定

【知识点的认识】

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：V.vEW,p(x)它的否命题BAOGM,(xo).

【解题方法点拨】

写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”：(2)

将结论否定，比如将改为“W”.值得注意的是，全称命题的否定的特称命题.

【