抽样方法用样本估计总体-中职高考数学一轮复习（讲）

10.3抽样方法、用样本估计总体

【考点梳理】

1.简单随机抽样

(1)简单随机抽样：•般地，设•个总体含有N个个体，从中逐个丕返回地抽取〃个个体作为样本(〃WN)，

如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相篁，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.

(2)最常用的简单随机抽样方法有两种：抽签法和随机数法.

抽签法(抓阉法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器

中，搅拌均匀后，每次从中抽取L个号签，连续抽取4次，就得到一个容量为〃的样本.

随机数法：随机数法就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.

简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的.

2.系统抽样

(1)一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为〃的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：

①先将总体的N个个体编号.有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；

②确定分段间隔亿对编号进行分段.当《〃是样本容量)是整数时，取仁手，如果遇到汴是整数的情况,

可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除；

③在第I段用鱼(逾1抽样方法确定第一个个体编号KWk)；

④按照一定的规则抽取样本.通常是将/加上间隔注得到第2个个体编号(/+幻,再加k得到第3个个体编

号(叶20,依次进行下去，直到获取整个样本.

(2)当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样,当总体中元素个数较多时，常采用系统抽样.

3.分层抽样

(I)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成互丕交乂的层，然后按照一定的比例，从各层独立地

抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样.

(2)当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法.

(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的.

4.用样本的频率分布估计总体分布

(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分布;另一种是用样本

的数字特征估计总体的数字特征.

(2)在频率分布直方图中，纵轴表示麓频率,数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示.各小长方

形的面积总和等于L

(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.随着样本容量的增加，作图时

所分的组数增加,组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统II•中称之为总体密度曲

线，它能够更加精细地反映M总体在各个范围内取值的百分比.

(4)当样本数据较少时•，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,给

数据的记录和表示都带来方便.

5.用样本的数字特征估计总体的数字特征

(I)众数，中位数，平均数

众数：在一组数据中，出现次数量叁的数据叫做这组数据的众数.

中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的担数)叫做这

组数据的中位数.

平均数：样本数据的算术平均数，即三=%丹+刈+…+x“).

在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相篁.

(2)样本方差，样本标准差

标准差

考点一抽样方法

【例题】（1）某校期末考试后，为了分析该校高一年级800名学生的学习成绩，从中随机抽取了80名学

生的成绩单，就这个问题来说，下列说法中正确的是（）

A.800名学生是样本B.每名学生是个体

C.每名学生的成绩是所抽取的一个样本D.样本容量是80

【答案】D

【解析】800名学生的成绩单是总体，故A错误；每个学生的成绩单是个体，故B错误；80名学生的成绩

单是所抽取的一个样本，故C错误；样本容量是80,故D正确，故选：D.

（2）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（）

A.从某厂生产的300（）件产品中抽取600件进行质量检验

B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验

【答案】B

【解析】选项A中总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法：选项B中总体口的个体数较

小，样本容量也较小，且同厂生产的两箱产品川视为搅拌均匀了，可用抽签法；选项C中甲、乙两厂生产

的两箱产品质量可能差别较大，不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法；选项D中总体中的个体数较大，

不适合用抽签法，故选：B.

（3）某校为了解高一年级学生的生涯规划情况，在高一年级的6个班级中任选2个班级，并在所选班级中

按男女比例抽取样本，则应采用的抽样方法是（）

A.简单随机抽样B.分层抽样

C.先用分层抽样，再用随机数表法D.先用抽签法，再用分层抽样

【答案】D

【解析】先从6个班级中任选2个班级，因为总体容量、样本容量都比较小，所以用抽签法更合理，再在

所选班级中按男女比例抽取样本，因为男、女差异明显，所以用分层抽样更合理，故A,B,C错误，故选：

D.

（4）北京2U22年冬奥会期间，某大学派出了I。。名志愿者，为「解志愿者的工作情况，该大学学生会将

这100名志愿者随机编号为1,2,…，100,再从中利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本进行问

卷调查，若所抽中的最小编号为3,则所抽中的最大编号为（）

A.96B.97C.98D.99

【答案】C

（5）现要完成3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行卫生检查；②科技报告厅有座椅32排，每排

40个座位，有一次报告会恰好坐湖了观众，抽取32位进行座谈；③某中学共有160名教职工，其中教师

120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了解教职工对校务公开方面的意见，抽取一个容量为20的样

本进行调查（）

A.①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样

B.①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样

C.①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样

D.①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样

【答案】A

【解析】对于①总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样；②总体中的个体数较多，而且容易分成均衡的

若干部分，选32人刚好32排，每排选一人，宜用系统抽样；③总体是由差异明显的几部分组成，宜用分

层抽样，故选：A.

（6）某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一700人、高二800人、高三600人中抽取42

人进行问卷调查，则高三抽取的人数是.

【答案】12

【变式】（1）某市今年有6万名学生参加高考，为了解6万名学生的高考数学成绩，从中抽取2000名考

生的数学成绩进行统计分析，以下表述中正确的是（）

A.6万名考生是总体B.每名考生的数学成绩是个体

C.2000名考生是总体的样本D.2000名是样本容量

【答案】B

【解析】对于A：总体是6万名考生的高考数学成绩.本选项错；对于B：个体是每名考生的高考数学成绩,

本选项正确;对于C：样本是2000名考生的高考数学成绩,本选项错误；对于D：样本容量是2C00,而非2000

名，故本选项不正确，故选:B.

(2)利用简单随机抽样，从〃个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余二的每个个体

被抽到的机会为!，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为()

4

A—B.Ac.1D.3

718437

【答案】D

(3)某企业有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价没有较大差异.为了解客户的评价，该企业准

备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样(包括抽签法和随机数法)、系统抽样和分层抽样，

则最合适的抽样方法是()

A.抽签法B.随机数法

C.系统抽样D.分层抽样

【答案】C

【解析】由于不同年龄段客户对其服务的评价没有较大差异，故不适宜用分层抽样，由于总体样本容量较

大，故不适用抽签法和随机数法，适合用系统抽样来抽取样本；故选：C.

(4)从编号1,2,3,…，99的99个零件中，抽取一个样本容量为11的样本，按系统抽样的方法分为

11电，若第一组中抽取的零件编号为3,则第三组中抽取的零件编号为.

【答案】21

(5)在中国共产主义青年团建团100周年之际，某高中学校计划选派60名团员参加“文明劝导”志愿活动，

高一、高二、高三年级的团员人数分别为100,200,300,若按分层抽样的方法选派，则高一年级需要选派

的人数为.

【答案】1。

A.①②都采用简单随机抽样

B.①②都采用分层随机抽样

C.①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样

D.①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样

【答案】C

【解析】①的总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样，②中1000户家庭中收入存在较大差异，层次比

较明显，宜采用分层抽样，故选：C.

考点二用样本估计总体

【例题】（1）在一次连续10次的射击中，甲、乙两名射击运动员所射中环数的平均数一样，但方差不同,

则下列说法中正确的是（)

A.因为他们所射中环数的平均数一样，所以他们水平相同

B.虽然射中环数的平均数一样，但方差较大的，潜力较大，更有发展前途

C.虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较稳定，更有发展前途

D.虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较不稳定，忽高忽低

【答案】C

【解析】由方差的意义可知，方差越小，数据越稳定：反之，方差越大，波动越大，所以C说法正确，故

选：C.

（2）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

则样木数据落在区间［10,40）的频率为（）

A.0.25B.（）.35C.0.45D.0.55

【答案】D

（3）10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设其

平均数为中位数为。，众数为c,则有（）

【答案】D

（4）学校举行演讲比赛，11位评委对甲同学《祖国，我爱你》演讲的评分情况是：

评分7.8899.5

评委人数I235

去掉•个最高分和■个最低分，则甲同学的最终得分为（)

A.8.5B.8.9C.9.0D.9.1

【答案】C

（5）一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量（单位：kg）如下：450,430,460,440,

450,440,470,460,则该组数据的方差为.

【答案】150

（6）某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考

成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）

A.方差B.中位数C.众数D.平均数

【答案】A

【解析】由题意知，本次和上次的月考成绩的平均数、中位数、众数都相差50,根据方差公式知方差不变.

故选:A.

【变式】（1）在某次足球联赛上，红队每场比赛平均失球个数是1.6,全年比赛失球个数的标准差是1.1；

蓝队每场比赛平均失球个数是2.2,全年比赛失球个数的标准差是04则下列说法正确的是（）

A.平均来说，蓝队比红队防守技术好B.蓝队很少失球

C.红队有时表现很差，有时表现又非常好D.蓝队比红队技术水平更不稳定

【答案】C

【解析】因为红队每场比赛平均失球数是1.6,蓝队每场比赛平均失球数是2.2,所以平均说来红队比蓝队

防守技术好，故A错误；因为蓝队每场比赛平均失球数是2.2,全年比赛失球个数的标准差为0.4,所以蓝

队经常失球,故B错误：因为红队全年比赛失球个数的标准差为1.1,蓝队全年比赛失球个数的标准差为0.4,

所以红队有时表现很差，有时表现又非常好，故C正确；因为红队全年比赛失球个数的标准差为1.1,蓝队

全年比赛失球个数的标准差为04所以蓝队比红队技术水平更稳定，故D错误，故选：C.

（2）某校1000名学生的高中历史学业水平考试成绩的频率直方图如图所示，规定90分及以上为优秀等级，

则该校学生优秀等级的人数为（）

A.15B.30C.150D.300

【答案】C

（3）一组数据6,7,8,”，10的平均数为8,则此组数据的方差为（)

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

(4)已知一组数据：21,