2025-2026学年吉林省延边州九年级（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年吉林省延边州九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.抛物线y=-x2的顶点坐标是（）A.（-1，0） B.（0，-1） C.（0，0） D.（-1，2）3.下列事件中，是不可能事件的是（）A.射击运动员射击一次，命中靶心 B.买一张彩票，中奖500万

C.任意画一个三角形，其内角和为180° D.明天太阳从西方升起4.已知x=1是方程x2+2x-m=0的一个实数根，则m的值为（）A.1 B.-1 C.3 D.-35.已知⊙O与直线l有2个公共点，若⊙O直径为8cm,则圆心O到直线l的距离可以是（）A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm6.如图，正方形ABCD内接于⊙O，连接OA，OB，OC，OD.若OA=2，则图中阴影部分的面积为（）A.

B.π

C.

D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。7.点（1，2）关于原点的对称点坐标是

.8.若关于x的方程2x2-4x+m=0有实数根，则m的取值范围是

.9.一个二次函数的图象开口向下，经过点（0，1），那么这个二次函数的表达式可以是

.10.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（1，0）.以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为

.

11.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧.若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是

.三、计算题：本大题共1小题，共6分。12.解方程:x(x-2)=x-2.四、解答题：本题共10小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.(本小题6分)

习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某中学为了给学生更加良好的阅读体验，决定加大图书购置经费的投入.前年投入图书购置经费64万元，今年投入图书购置经费100万元.求该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率.14.(本小题6分)

如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC=50°，若∠COD=60°，求∠ABD的度数.15.(本小题7分)

如图是某商场的停车场，现仅剩下“C045”、“C046”、“C047”三个车位.

（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“C047”号车位的概率是______.

（2）分别记这三个车位为A、B、C，张明和王红同时来到该处停车，用画树状图或列表的方法，求两人停车在相邻车位的概率.16.(本小题7分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，0），B（0，4），C（-3，4）.（每个小正方形的边长均为1个单位长度）.

（1）先将△ABC向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度得到△A1B1C1.

（2）请画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2.

（3）连接A1B2、A2B1，则四边形A2B2A1B1的形状为______.17.(本小题7分)

如图，在正方形ABCD内部取一点E，连接AE、BE，使∠AEB=90°.将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AE′，连接E′D，延长E′D交BE的延长线于点F.试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由.18.(本小题8分)

如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，使∠BCD=∠A.

（1）求证：CD是⊙O的切线.

（2）若∠ODC=30°，BD=3，求⊙O的半径.19.(本小题8分)

某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣.经核算，该卫衣进价为40元/件.当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件.为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果.市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件.设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）.

（1）每天可销售______件，每件盈利______元（用含x的代数式表示）.

（2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件羽绒服降价多少元时，平均每天可盈利1050元？

（3）店长希望平均每天能盈利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由.20.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△ODE均为等腰直角三角形，其中∠ACB=∠OED=90°，AC=BC，OE=DE，且△ABC的顶点A（0，4），B（0，-2）.顶点C在第一象限，△ODE的顶点D（-2，0），顶点E在第二象限.

（1）填空：点E的坐标为______，点C的坐标为______.

（2）将△ODE沿水平方向向右平移，得到△O′D′E′，点O，D，E的对应点分别为O′，D′，E′.设OO′=t,△O′D′E′和△ABC的重叠部分的面积为S（S＞0）.用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围.

21.(本小题10分)

青蛙起跳后的运动路线为抛物线.某仿青蛙机器人从水平地面起跳并落回地面，其运动路线的最高点距地面40cm,起跳点与落地点的水平距离为80cm.

如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l,仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.

（1）写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式.

（2）已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变.如图①，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P（0，50）处起跳，落地点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长.

（3）仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于2cm,才能安全通过.如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=45cm,BC=30cm,CD=40cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧30cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.如图③，若团队人员想放置一个平台，使仿青蛙机器人从平台上起跳，且能够刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）.22.(本小题12分)

如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴的正半轴交于点A、与y轴交于点B.点P在该抛物线上运动，设点P的横坐标为m,过点P作PQ⊥y轴于点Q，E（0，-2m-1）在y轴上，以EQ，PQ为邻边作矩形PQEF.

（1）求点A和点B的坐标.

（2）当点Q与点E重合时，求m的值.

（3）当矩形PQEF为正方形时，直接写出m的值.

（4）当抛物线在矩形PQEF内的部分所对应的函数值y随x增大而减小时，直接写出m的取值范围.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】（-1，-2）

8.【答案】m≤2

9.【答案】y=-x2+1（答案不唯一）

10.【答案】（-2，1）

11.【答案】2π

12.【答案】解：x（x-2）=x-2，

x（x-2）-（x-2）=0，

（x-2）（x-1）=0，

∴x-2=0或x-1=0，

∴x1=2，x2=1.

13.【答案】25%．

14.【答案】20°．

15.【答案】

16.【答案】将△ABC向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度得到△A1B1C1，如图1即为所求；

△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2，如图2即为所求；

平行四边形

17.【答案】判断：四边形AEFE′是正方形．

理由：将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AE′，

∴AE=AE′，∠EAE′=90°，

在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAD-∠DAE=∠EAE′-∠DAE，

∴∠BAE=∠DAE'，

在△BAE和△DAE′中，

，

∴△BAE=△DAE′（SAS），

∴∠BEA=∠DE′A，

∵∠AEB=90°，

∴∠DE′A=∠AEB=90°，

∠AEF=180°-∠AEB=90°，

∴∠AEF=∠EAE′=∠FE′A=90°，

∴四边形AEFE′是矩形，

∵AE=AE′，

∴四边形AEFE′是正方形．

18.【答案】如图，AB是⊙O的直径，连接OC，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，

∵OB=OC，

∴∠ABC=∠OCB，

∵∠BCD=∠A，

∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∵OC为⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线

⊙O的半径为3

19.【答案】（20+2x）;（40-x）

每件卫衣降价25元时，平均每天可盈利1050元

不能实现．

由题意列一元二次方程得（40-x）（20+2x）=1500，

整理得x2-30x+3