云南省元江县第一中学2026届高二数学第一学期期末监测试题含解析

云南省元江县第一中学2026届高二数学第一学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（）A. B.C. D.2．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（）A.外切 B.内切C.相交 D.相离3．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为()A. B.C. D.4．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.5．如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为，的面积为，并向正方形中随机投掷个点，用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率为附表：A. B.C. D.6．数学家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线方程是（）A. B.C. D.7．有下列三个命题:①“若，则互为相反数”的逆命题;②“若，则”的逆否命题;③“若，则”的否命题.其中真命题的个数是A.0 B.1C.2 D.38．已知F为椭圆C：=1(a>b>0)右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，则椭圆C的离心率为（）A. B.C.-1 D.-19．“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（）A. B.C. D.11．已知命题P：，，则命题P的否定为（）A.， B.，C.， D.，12．内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为___________.14．已知曲线表示焦点在轴上的双曲线，则符合条件的的一个整数值为______.15．已知长方体的棱，则异面直线与所成角的大小是________________.（结果用反三角函数值表示）16．在的展开式中，含项的系数为______（结果用数值表示）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）p：函数在区间是递增的；q：方程有实数解.（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若“”为真，“”为假，求m的取值范围.18．（12分）已知椭圆C：，斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点且（1）求椭圆C的离心率；（2）求直线l的方程19．（12分）若函数在区间上的最大值为9，最小值为1.（1）求a，b的值；（2）若方程在上有两个不同的解，求实数k的取值范围.20．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD，点F为棱PD的中点，二面角的余弦值为.（1）求PD的长；（2）求异面直线BF与PA所成角的余弦值；（3）求直线AF与平面BCF所成角的正弦值.21．（12分）已知两动圆：和：，把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，取曲线上的相异两点、满足：且点与点均不重合.（1）求曲线的方程；（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；22．（10分）某企业计划新购买台设备，并将购买的设备分配给名年龄不同（视为技术水平不同）的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同.若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且关于的线性回归方程为（1）试预测一名年龄为岁的技工使用该设备所产生的经济效益；（2）试根据的值判断使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强弱（，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性不强）；（3）若这批设备有两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是，.若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加；若工序出现故障，则生产成本增加万元；若工序出现故障，则生产成本增加万元；若两道工序都出现故障，则生产成本增加万元.求这批设备增加的生产成本的期望参考数据：，参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据题意，在中，设，则，进而根据椭圆定义得，进而可得离心率.【详解】在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，结合椭圆的定义，在焦点三角形中根据边角关系求解.2、A【解析】求得两圆的圆心和半径，再根据圆心距与半径之和半径之差的关系，即可判断位置关系.【详解】对圆，其圆心，半径；对圆，其圆心，半径；又，故两圆外切.故选：A.3、C【解析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围【详解】，，当且仅当时取等号，故故选：C4、C【解析】将方程有解，转化为方程有解求解.【详解】解：因为方程有解，所以方程有解，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以实数a的取值范围为，故选：C5、D【解析】每个点落入中的概率为，设落入中的点的数目为，题意所求概率为故选D6、B【解析】根据的三个顶点坐标，先求解出重心的坐标，然后再根据三个点坐标求解任意两条垂直平分线的方程，联立方程，即可算出外心的坐标，最后根据重心和外心的坐标使用点斜式写出直线方程.【详解】由题意可得的重心为．因为，，所以线段的垂直平分线的方程为．因为，，所以直线的斜率，线段的中点坐标为，则线段的垂直平分线的方程为．联立，解得，则的外心坐标为，故的欧拉线方程是，即故选：B.7、B【解析】①写出命题的逆命题，可以进行判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性相同，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假【详解】①“若,则互为相反数”的逆命题是，若互为相反数,则；是真命题；②“若,则”，当a=-1,b=-2,时不满足，故原命题为假命题，而原命题和逆否命题真假性相同，故得到命题为假；③“若,则”的否命题是若,则，举例当x=5时，不满足不等式，故得到否命题是假命题；故答案为B.【点睛】这个题目考查了命题真假的判断，涉及命题的否定，命题的否命题，逆否命题，逆命题的相关概念，注意原命题和逆否命题的真假性相同，故需要判断逆否命题的真假时，只需要判断原命题的真假8、D【解析】记椭圆的左焦点为，在中，通过余弦定理得出，，根据椭圆的定义可得，进而可得结果.【详解】记椭圆的左焦点为，在中，可得，在中，可得，故，故，故选：D.9、A【解析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断.【详解】由,得,即或所以,反之,则不然所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选:A10、B【解析】利用余弦型函数的周期公式可求得的值，由结合的取值范围可求得的值.【详解】由已知可得，且，因此，.故选：B.11、B【解析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果【详解】命题：，，则命题的否定为，故选：B12、C【解析】利用余弦定理角化边整理可得.【详解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出右顶点坐标，然后推出的纵坐标，利用已知条件列出方程，求解椭圆的离心率即可【详解】解：椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于，两点，若，可知，不妨设在第一象限，所以的纵坐标为：，可得：，即，可得，，所以故答案为：14、.(答案不唯一)【解析】给出一个符合条件的值即可.【详解】当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故答案为：.(答案不唯一)15、【解析】建立空间直角坐标系，求出异面直线与的方向向量，再求出两向量的夹角，进而可得异面直线与所成角的大小【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系：在长方体中，，，，，，，，，，异面直线与所成角的大小是故答案为：16、12【解析】通过二次展开式就可以得到.【详解】的展开式中含含项的系数为故答案为：12三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】（1）依题意在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，再利用基本不等式计算可得；（2）首先求出命题为真时参数的取值范围，再根据“”为真，“”为假，即可得到真假，或假真，从而得到不等式组，解得即可；【小问1详解】解：为真命题，即函数在区间上是递增的∴在区间上恒成立，∴在区间上恒成立，∵，当且仅当时等号成立，∴的取值范围为.【小问2详解】解：为真命题，即方程有实数解∴即∴或∵“”为真，“”为假∴真假，或假真∴或，解得或，∴的取值范围为或；18、（1）（2）或【解析】（1）将椭圆化为标准方程，求得，进而求得离心率；（2）设直线，，，与椭圆联立，借助韦达定理及弦长公式求得，从而求得直线方程.【小问1详解】由题知，椭圆C：，则，离心率【小问2详解】设直线，，联立，化简得，则，解得，，由弦长公式知，，解得，故直线或19、（1）（2）【解析】（1）令，则，根据二次函数的性质即可求出；（2）令，方程化为，求出的变化情况即可求出.【小问1详解】令，则，则题目等价于在的最大值为9，最小值为1，对称轴，开口向上，则，解得；【小问2详解】令，则，于是方程可变为，即，因为函数在单调递减，在单调递增，且，要使方程有两个不同的解，则与有两个不同的交点，所以.20、（1）（2）（3）【解析】（1）以为轴，为轴，轴与垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，设，，由空间向量法求二面角，从而求得，得长；（2）由空间向量法求异面直线所成的角；（3）由空间向量法求线面角【小问1详解】以为轴，为轴，轴与垂直，由于菱形中，轴是的中垂线，建立如图坐标系，则，，，设，，，，设平面一个法向量为，则，令，则，，即，平面的一个法向量是，因为二面角余弦值为.所以，（负值舍去）所以；【小问2详解】由（1），，，，所以异面直线BF与PA所成角的余弦值为【小问3详解】由（1）平面的一个法向量为，又，，所以直线AF与平面BCF所成角的正弦值为21、（1）；（2）证明见解析，.【解析】（1）设两动圆的公共点为，则有，运用椭圆的定义，即可得到，，，进而得到的轨迹方程；（2），设，，，，设出直线方程，联立方程组，利用韦达定理法及向量的数量积的坐标表示，即可得到定点.【小问1详解】设两动圆的公共点为，则有由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，设方程为，则，，所以曲线的方程是：【小问2详解】由题意可知：，且直线斜率存在，设，，设直线：，联立方程组，可得，，，因为，所以有，把代入整理化简得，或舍，因为点与点均不重合，所以直线恒过定点22、（1）元；（2）使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强；（3）0.13万元.【解析】（1）直接把代入线性回归方程即得解；（2）先求出，再代公式求出相关系数比较即得解；（3）设增加的生产成本为ξ（万元），则ξ的可能取值为0，2，3，5，求出对应的概率即得解.小问1详解】解：当时，.所以预测一名年龄为岁的技工使用该设备所产生的经济效益为元.【小问2详解】解：由题得，所以，所以.因为，所以与线性相