辽宁凌源市2026届数学高三第一学期期末联考模拟试题含解析

辽宁凌源市2026届数学高三第一学期期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则2．设，则（）A． B． C． D．3．已知，如图是求的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A． B．C． D．4．如果实数满足条件，那么的最大值为（）A． B． C． D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A． B． C． D．6．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面7．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（）A．20 B．24 C．25 D．268．如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．9．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．10．设命题：，，则为A．， B．，C．， D．，11．若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60°，则体积为()A． B． C． D．12．已知函数，则下列结论中正确的是①函数的最小正周期为；②函数的图象是轴对称图形；③函数的极大值为；④函数的最小值为．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则函数的极大值为___________．14．已知复数,其中是虚数单位．若的实部与虚部相等,则实数的值为__________．15．在平面直角坐标系xOy中，已知A0,a,B3,a+416．直线是圆：与圆：的公切线，并且分别与轴正半轴，轴正半轴相交于，两点，则的面积为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，为的前n项和，求证：.18．（12分）如图所示，在四面体中，，平面平面，，且.（1）证明：平面；（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.19．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点.（1）证明：平面；（2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值.20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)把的参数方程化为极坐标方程：(2)求与交点的极坐标.21．（12分）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，D，E分别是，的中点，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求证：平面.22．（10分）已知，，为正数，且，证明：（1）；（2）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.2、D【解析】

结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出,,,即可选出答案.【详解】由,即,又,即,,即,所以.故选:D.【点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.3、C【解析】

由于中正项与负项交替出现，根据可排除选项A、B；执行第一次循环：，①若图中空白框中填入，则，②若图中空白框中填入，则，此时不成立，；执行第二次循环：由①②均可得，③若图中空白框中填入，则，④若图中空白框中填入，则，此时不成立，；执行第三次循环：由③可得，符合题意，由④可得，不符合题意，所以图中空白框中应填入，故选C．4、B【解析】

解：当直线过点时，最大，故选B5、D【解析】循环依次为直至结束循环，输出，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6、B【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．7、D【解析】

利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），故选：D.【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.8、C【解析】

分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.【详解】由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设.则.故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.故选：C【点睛】本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、C【解析】

将函数解析式化简，并求得，根据当时可得的值域；由函数在上单调递减可得的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得的取值范围.【详解】依题意，则，当时，，故函数在上单调递增，当时，；而函数在上单调递减，故，则只需，故，解得，故实数的取值范围为.故选：C.【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.10、D【解析】

直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，，则为：，.故本题答案为D.【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.11、D【解析】

设圆锥底面圆的半径为，由轴截面面积为可得半径，再利用圆锥体积公式计算即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为，由已知，，解得，所以圆锥的体积.故选：D【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.12、D【解析】

因为，所以①不正确；因为，所以，，所以，所以函数的图象是轴对称图形，②正确；易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可．当时，，且，令，得，可知函数在处取得极大值为，③正确；因为，所以，所以函数的最小值为，④正确．故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

对函数求导，通过赋值，求得，再对函数单调性进行分析，求得极大值.【详解】，故解得，，令，解得函数在单调递增，在单调递减，故的极大值为故答案为：.【点睛】本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量.14、【解析】

直接由复数代数形式的乘法运算化简,结合已知条件即可求出实数的值.【详解】解：的实部与虚部相等,所以,计算得出.故答案为:【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的概念,属于基础题.15、（-53，【解析】

求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为5，转化为圆心到直线的距离进行求解即可．【详解】解：AB的斜率k=a+4-a3-0=4=3设△ABC的高为h，则∵△ABC的面积为5，∴S=12|AB|h=即h＝2，直线AB的方程为y﹣a=43x，即4x﹣3y+3若圆x2+y2＝9上有且仅有四个不同的点C，则圆心O到直线4x﹣3y+3a＝0的距离d=|3a|则应该满足d＜R﹣h＝3﹣2＝1，即|3a|5得|3a|＜5得-53＜故答案为：（-53，【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，求出直线方程和AB的长度，转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键．16、【解析】

根据题意画出图形，设，利用三角形相似求得的值，代入三角形的面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设，由与相似，可得，解得，再由与相似，可得，解得，由三角形的面积公式，可得的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）利用与的关系即可求解.（2）利用裂项求和法即可求解.【详解】解析：（1）当时，；当，，可得，又∵当时也成立，；（2），【点睛】本题主要考查了与的关系、裂项求和法，属于基础题.18、（1）见证明；（2）【解析】

（1）根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，利用勾股定理得到，利用线面垂直的判定定理证得平面；（2）设，利用椎体的体积公式求得，利用导数研究函数的单调性，从而求得时，四面体的体积取得最大值，之后利用空间向量求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.因为，所以，所以，因为，所以平面.（2）解：设，则，四面体的体积.，当时，，单调递增；当时，，单调递减.故当时，四面体的体积取得最大值.以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，得，同理可得平面的一个法向量为，则.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的性质，线面垂直的判定，椎体的体积，二面角的求法，在解题的过程中，注意巧用导数求解体积的最大值.19、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）取中点，连接，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点到直线的距离即为点到平面的距离，结合垂线段的性质可以确定点到平面的距离最大，最大值为1.以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】（1）证明：取中点，连接，因为四边形为菱形且.所以，因为，所以，又，所以平面，因为平面，所以.同理可证，因为，所以平面.（2）解：由（1）得平面，所以平面平面，平面平面.所以点到直线的距离即为点到平面的距离.过作的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为，此时必过的中点，因为为中点，所以此时，点到平面的距离最大，最大值为1.以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.则所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则即取，则，，所以，所以面与面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了二面角的向量求法，考查了推理论证能力和数学运算能力.20、（1）（2）与交点的极坐标为，和【解析】

（1）先把曲线化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；（2）联立曲线和曲线的方程解得即可.【详解】(1)曲线的直角坐标方程为：，即.的参数方程化为极坐标方程为；(2)联立可得：，与交点的极坐标为，和.【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.21、（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）根据，分别是，的中点，即可证明，从而可证平面；（2）先根据为正三角形，且D是的中点，证出，再根据平