2026届福建省泉州市惠安县第十六中学数学高二上期末联考试题含解析

2026届福建省泉州市惠安县第十六中学数学高二上期末联考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若是函数的极值点，则函数（）A.有最小值，无最大值 B.有最大值，无最小值C.有最小值，最大值 D.无最大值，无最小值2．甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行，则甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为（）A. B.C. D.3．2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日4．如图所示，某空间几何体的三视图是3个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则该空间几何体的体积为（）A. B.C. D.5．若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.6．从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球B.取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球C.取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球7．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（）A. B.C D.9．已知向量，若，则（）A. B.5C.4 D.10．“”是“方程表示椭圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（）A. B.C.或 D.或12．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满，则动点P轨迹与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离C.内切 D.外切二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线C的方程为，，，双曲线C上存在一点P，使得，则实数a的最大值为___________.14．动直线，恒过的定点是________15．一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为____.16．已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?18．（12分）已知直线l过点A（﹣3，1），且与直线4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直线l的一般式方程；（2）若直线l与圆C：x2+y2＝m相交于点P，Q，且|PQ|＝8，求圆C的方程19．（12分）（1）证明：；（2）已知：，，且，求证：.20．（12分）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为.（1）求椭圆的焦点坐标；（2）求双曲线的标准方程21．（12分）圆锥曲线的方程是.（1）若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，求的值.22．（10分）一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比（1）分别求2分钟，3分钟后的水温；（2）记n分钟后的水温为，证明：是等比数列，并求出的通项公式；（3）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】对求导，根据极值点求参数a，再由导数研究其单调性并判断其最值情况.【详解】由题设，且，∴，可得.∴且，当时，递减；当时，递增；∴有极小值，无极大值.综上，有最小值，无最大值.故选：A2、A【解析】先求出所有的基本事件，再求出甲、乙相邻，丙、丁不相邻的基本事件，根据古典概型的概率公式求解即可【详解】甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行有种方法，甲、乙相邻，丙、丁不相邻的排法为先将甲、乙捆绑在一起，再与戊进行排列，然后丙、丁从3个空中选2个空插入，则共有种方法，所以甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为，故选：A3、C【解析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为，分析首次达到1万元的值，即得解【详解】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为.因为为增函数，且，所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故选：C4、A【解析】在该空间几何体的直观图中去求其体积即可.【详解】依托棱长为2的正方体得到该空间几何体的直观图为三棱锥则故选：A5、C【解析】函数有两个零点等价于方程有两个根，等价于与图象有两个交点，通过导数分析的单调性，根据图象即可求出求出的范围.【详解】函数有两个零点，方程有两个根，，分离参数得，与图象有两个交点，令，，令，解得当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，且在处取得极大值及最大值，可以画出函数的大致图象如下：观察图象可以得出.故选：C.【点睛】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.6、D【解析】利用互斥事件、对立事件的定义逐一判断即可.【详解】A答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件B答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件C答案中的两个事件不能同时发生，但必有一个发生，既是互斥事件又是对立事件D答案中的两个事件不能同时发生，也可以都不发生，故是互斥而不对立事件故选：D【点睛】本题考查的是互斥事件和对立事件的概念，较简单.7、B【解析】根据向量加法和减法法则即可用、、表示出.【详解】故选：B.8、A【解析】由椭圆的定义可得；利用基本不等式，若，则，当且仅当时取等号.【详解】根据椭圆的定义可知，，即，因为，，所以，当且仅当，时等号成立.故选：A9、B【解析】根据向量垂直列方程，化简求得.【详解】由于，所以.故选：B10、B【解析】根据方程表示椭圆，且2，再判断必要不充分条件即可.【详解】解：方程表示椭圆满足，解得，且2所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B11、C【解析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.【详解】依题意设抛物线方程为因为焦点到准线的距离为4，所以，所以，所以抛物线方程或故选：C12、A【解析】首先求得点的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.【详解】由条件可知，，化简为：，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，圆是以为圆心，为半径的圆，两圆圆心间的距离，所以两圆相交.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】设出，根据条件推出在圆上运动，根据题意要使双曲线和圆有交点，则得答案.【详解】设点，由得：，所以，化简得：，即满足条件的点在圆上运动，又点存在于上，故双曲线与圆有交点，则,即实数a的最大值为2，故答案为：214、【解析】将直线方程转化为，从而可得，即可得到结果.【详解】∵，∴∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直线恒过定点（2，2）故答案为：15、或【解析】点关于轴的对称点为,即反射光线过点,分别讨论反射光线的斜率存在与不存在的情况,进而求解即可【详解】点关于轴的对称点为,（1）设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为,即,因为反射光线与圆相切,所以圆心到反射光线的距离,即,解得,所以反射光线方程为:；（2）当不存在时,反射光线,此时,也与圆相切,故答案为:或【点睛】本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程16、【解析】设点，根据抛物线的定义表示出，将用表示，并逐步转化为一个基本不等式形式，从而求出取最小值时的点的坐标，再根据双曲线的定义及离心率的公式求值.【详解】由题意可得，，，抛物线的准线为，设点，根据对称性，不妨设，由抛物线的定义可知，又，所以，当且仅当时，等号成立，此时，设以为焦点的双曲线方程为，则，即，又，，所以离心率.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将的坐标表达式逐渐转化为一个可以用基本不等式求最值的式子，从而找出取最小值时的点的坐标.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；乙分厂加工件产品的总利润为元，所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件故厂家选择甲分厂承接加工任务【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题18、（1）3x+4y+5＝0（2）x2+y2＝17【解析】（1）由垂直关系得过直线l斜率，由点斜式化简即可求解l的一般式方程；（2）结合勾股定理建立弦心距（由点到直线距离公式求解），半弦长，圆半径的基本关系，解出，即可求解圆C的方程【小问1详解】因为直线l与直线4x﹣3y+t＝0垂直，所以直线l的斜率为，故直线l的方程为，即3x+4y+5＝0，因此直线l的一般式方程为3x+4y+5＝0；【小问2详解】圆C：x2+y2＝m的圆心为（0，0），半径为，圆心（0，0）到直线l的距离为，则半径满足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圆C：x2+y2＝1719、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用分析法证明即可；（2）将与相乘，展开后利用基本不等式可证明所证不等式成立.【详解】（1）要证成立，即证，即证，即证，而显然成立，故成立；（2）已知，，且，则，当且仅当时，等号成立，故.20、（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆方程及其参数关系求出参数c，即可得焦点坐标.（2）由渐近线及焦点坐标，可设双曲线方程为，再由双曲线参数关系求出参数，即可得双曲线标准方程.【小问1详解】由题设，，又，所以椭圆的焦点坐标为.【小问2详解】由题设，令双曲线为，由（1）知：，可得，所以双曲线的标准方程为.21、（1）且（2）【解析】（1）由条件可得，解出即可；（2）由条件可得，解出即可.【小问1详解】若表示焦点在轴上椭圆，则，解得且【小问2详解】若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，则，解得22、（1）2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃；（2）证明见解析，，；（3）在水烧开后4到7分钟饮用最佳.【解析】(1)根据给定条件设第n分钟后的水温为，探求出与的关系即可计算作答.(2)利用(1)的信息，列式变形、推导即可得证，进而求出的通项公式.(