福建省南平市建瓯芝华中学2026届数学高二上期末统考试题含解析

福建省南平市建瓯芝华中学2026届数学高二上期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B.C. D.2．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B.C. D.3．如图，平行六面体中，与的交点为，设，则选项中与向量相等的是（）A. B.C. D.4．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝()A.{0，x,1,2} B.{2,0,1,2}C.{0,1,2} D.不能确定5．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线围成的图形的面积是；②曲线上的任意两点间的距离不超过；③若是曲线上任意一点，则的最小值是其中正确结论的个数为（）A. B.C. D.6．已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为（）A.2 B.C. D.88．已知空间向量，且与垂直，则等于（）A.－2 B.－1C.1 D.29．记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（）A.5 B.6C.15 D.1610．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺11．直线平分圆的周长，过点作圆的一条切线，切点为，则（）A.5 B.C.3 D.12．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）A B.C. D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果________14．不等式的解集为，则________15．已知数列满足，，则使得成立的n的最小值为__________.16．展开式中，各项系数之和为1，则实数_______．（用数字填写答案）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆：和圆外一点，过点作圆的切线，切线长为.（1）求圆的标准方程；（2）若圆：，求证：圆和圆相交，并求出两圆的公共弦长.18．（12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（）（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）19．（12分）已知，（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）当时，，求实数a的取值范围20．（12分）等差数列的公差d不为0，满足成等比数列，数列满足.（1）求数列与通项公式：（2）若，求数列的前n项和.21．（12分）已知命题：方程有实数解，命题：，.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若为假命题，且为真命题，求实数的取值范围.22．（10分）分别求满足下列条件的曲线方程（1）以椭圆的短轴顶点为焦点，且离心率为的椭圆方程；（2）过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线方程为，故选：D2、A【解析】函数在区间上单调递增，转化为导函数在该区间上大于等于0恒成立，进而求出结果.【详解】由题意得：在区间上恒成立，而，所以.故选：A3、B【解析】利用空间向量加减法、数乘的几何意义，结合几何体有，进而可知与向量相等的表达式.【详解】连接，如下图示：，.故选：B4、C【解析】集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则.所以.故选C.点睛：集合的交集即为由两个集合的公共元素组成的集合，集合的并集即由两集合的所有元素组成.5、C【解析】结合已知条件写出曲线的解析式，进而作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.【详解】当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：，曲线的图像如下图所示：由上图可知，曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，从而曲线所围成的面积，故①正确；由曲线的图像可知，曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故②错误；因为到直线的距离为，所以，当最小时，易知在曲线的第一象限内的图像上，因为曲线的第一象限内的图像是圆心为，半径为的半圆，所以圆心到的距离，从而，即，故③正确，故选：C.6、A【解析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式、充分性、必要性的定义进行求解判断即可.详解】当时，有，显然由，但是由不一定能推出，故选：A7、C【解析】由斜二测还原图形计算即可求得结果.【详解】在斜二测直观图中，由为等腰直角三角形，，可得，.还原原图形如图：则，则.故选：C8、B【解析】直接利用空间向量垂直的坐标运算即可解决.【详解】∵∴∴，解得，故选：B.9、C【解析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案；【详解】，，，，，，当时，，使的正整数n的最大值为，故选：C10、C【解析】设等差数列，用基本量代换列方程组，即可求解.【详解】由题意，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，记为数列，公差为d，则有，即，解得：，即冬至的日影长为16.1尺.故选：C11、B【解析】根据圆的性质，结合圆的切线的性质进行求解即可.【详解】由，所以该圆的圆心为，半径为，因为直线平分圆的周长，所以圆心在直线上，故，因此，，所以有，所以，故选：B12、C【解析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、132【解析】根据程序框图模拟程序运行，确定变量值的变化可得结论【详解】程序运行时，变量值变化如下：，判断循环条件，满足，，；判断循环条件，满足，，；判断循环条件，不满足，输出故答案为：13214、【解析】由一元二次方程与一元二次不等式之间的关系可知，方程的两根是，所以因此.考点：一元二次方程与一元二次不等式之间的关系.15、11【解析】由题设可得，结合等比数列的定义知从第二项开始是公比为2的等比数列，进而写出的通项公式，即可求使成立的最小值n.【详解】因为，所以，两式相除得，整理得.因为，故从第二项开始是等比数列，且公比为2，因为，则，所以，则，由得：，故故答案为：11.16、【解析】通过给二项式中的赋值1求出展开式的各项系数和，即可求出详解】解：令，得各项系数之和为，解得故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析，公共弦长为【解析】（1）根据切线长公式计算即可得到，然后代入可得圆的方程.（2）联立两圆的方程作差可得直线的方程为，然后利用圆的弦长公式计算即可.【小问1详解】圆的标准方程为，所以圆心为，半径.由勾股定理可得，解得.所以圆的标准方程为.【小问2详解】由题意得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为，，所以圆和圆相交.设两圆相交于，两点，则两圆的方程相减得直线的方程为，圆心到直线的距离.所以，所以两圆的公共弦长为.18、（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）取得中点，连接，可证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又侧棱底面，可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）通过建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式即可得出；（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出【详解】（1）证明：取的中点，连接，，，四边形是平行四边形，，且，，，，又，侧棱底面，，，平面（2）以为坐标原点，、、的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，设与平面所成角为，则，解得，故所求（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，利用向量求线面角、柱体的定义应用和表面积的求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力及化归与转化能力，属于中档题19、（1）（2）【解析】（1）求出函数的导函数，再解导函数的不等式，即可求出函数的单调递减区间；（2）依题意可得当时，当时，显然成立，当时只需，参变分离得到，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；【小问1详解】解：当时定义域为，所以，令，解得或，令，解得，所以的单调递减区间为；【小问2详解】解：由，即，即，当时显然成立，当时，只需，即，令，，则，所以在上单调递减，所以，所以，故实数的取值范围为.20、（1），（2）【解析】（1）根据等比中项的性质及等差数列的通项公式得到方程求出公差，即可求出的通项公式，由，当时，求出，当时，两式作差，即可求出；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；【小问1详解】解：由已知，又，所以故解得（舍去）或∴∵①故当时，可知，∴，当时，可知②①②得∴又也满足，故当时，都有；【小问2详解】解：由（1）知，故③，∴④，由③④得整理得.21、（1）或；（2）【解析】（1）由方程有实数根则，可求出实数的取值范围.(2)为真命题,即从而得出的取值范围,由（1）可得出为假命题时实数的取值范围.即可得出答案.【详解】解：（1）方程有实