带变号Green函数的三阶三点边值问题正解研究：理论与应用

带变号Green函数的三阶三点边值问题正解研究：理论与应用一、引言1.1研究背景与意义常微分方程作为近代数学中应用广泛且重要的分支，在自然科学和工程技术领域发挥着不可或缺的作用。常微分方程边值问题是求常微分方程满足给定边界条件的解的问题，其解的存在性问题一直是微分方程领域的研究热点之一，吸引了众多国内外学者运用非线性泛函分析方法进行深入研究，并取得了丰硕成果。这些成果为解决各种实际问题提供了有力的数学工具，而常微分方程边值问题正解的理论研究，在实际应用中具有更为关键的意义，近年来得到了迅速发展。三阶微分方程在应用数学和物理学的多个领域有着深厚的背景，例如带有固定或变化横截面的屈曲梁的挠度分析、三层梁结构的力学研究、电磁波传播特性的探讨以及地球引力吹积涨潮现象的描述等。随着研究的不断深入，三阶微分方程边值问题正解的存在性逐渐成为研究的重点，相关研究成果也不断涌现。然而，在三阶边值问题的研究中，大部分工作是在Green函数非负的条件下开展的。在Green函数变号的情况下，对边值问题正解存在性的研究相对较少，这为该领域的进一步探索提供了广阔的空间。带变号Green函数的三阶三点边值问题正解的研究，不仅在理论上能够完善常微分方程边值问题的正解理论体系，填补在变号Green函数条件下相关研究的不足，还能为解决实际问题提供更具一般性的数学模型和理论依据。例如在一些复杂的物理系统中，所涉及的微分方程可能会出现变号的Green函数，通过研究这类边值问题的正解，可以更准确地描述和理解物理过程，为工程设计和科学研究提供有力的支持。1.2国内外研究现状在常微分方程边值问题的研究领域中，三阶三点边值问题正解的存在性一直是备受关注的热点。国内外众多学者围绕这一问题展开了深入研究，取得了一系列具有重要理论和实际应用价值的成果。早期，国外学者在三阶微分方程边值问题的研究中发挥了重要引领作用。例如，文献[具体文献1]运用经典的分析方法，对一类简单的三阶边值问题进行了研究，初步探讨了正解存在的条件，但由于方法的局限性，所得结果的适用范围较窄。随着数学理论的不断发展，非线性泛函分析方法逐渐成为研究三阶三点边值问题的有力工具。文献[具体文献2]利用不动点定理，成功地证明了在特定条件下三阶三点边值问题正解的存在性，为后续研究奠定了重要的理论基础。此后，众多学者在此基础上不断拓展和深化研究，通过改进和创新研究方法，得到了更为丰富和精细的结果。国内学者在该领域也取得了丰硕的成果。一些学者专注于研究特定类型的三阶三点边值问题，通过深入分析问题的结构和特点，建立了相应的数学模型，并运用多种数学工具进行求解。例如，文献[具体文献3]针对一类具有特殊非线性项的三阶三点边值问题，采用上下解方法结合单调迭代技巧，不仅证明了正解的存在性，还给出了求解正解的迭代算法，为实际应用提供了可行的计算方法。另一些学者则致力于推广和改进已有的研究成果，将研究范围拓展到更一般的情形。文献[具体文献4]通过引入新的函数空间和算子理论，对三阶三点边值问题进行了更为深入的研究，得到了一些在更弱条件下正解存在的充分条件，进一步完善了该领域的理论体系。然而，大部分已有的研究工作主要集中在Green函数非负的情形。在这种情况下，学者们已经建立了相对完善的理论体系和研究方法，取得了许多重要的成果。例如，通过巧妙地构造合适的算子和运用不动点定理，能够有效地证明正解的存在性和多重性；利用上下解方法和单调迭代技巧，可以得到正解的迭代序列，从而实现对正解的数值计算。相比之下，在Green函数变号的情况下，对三阶三点边值问题正解存在性的研究还面临诸多挑战，相关研究成果相对较少。变号的Green函数使得问题的分析变得更加复杂，传统的研究方法往往难以直接应用。一方面，变号的Green函数会导致积分算子的性质发生变化，使得基于非负Green函数建立的不动点定理和其他分析工具不再适用，需要重新探索和构建新的理论框架。另一方面，变号的Green函数可能会引入一些新的数学现象，如解的振荡性和奇异性，这些都增加了研究的难度和复杂性。尽管如此，仍有部分学者在这一领域进行了勇敢的探索，并取得了一些初步的研究成果。文献[具体文献5]通过对变号Green函数的精细分析，结合特殊的不等式技巧，在一定条件下证明了三阶三点边值问题正解的存在性，但所得到的条件较为苛刻，限制了结果的应用范围。因此，在带变号Green函数的三阶三点边值问题正解的研究方面，仍存在许多有待解决的问题和广阔的研究空间，需要进一步深入探索和研究。1.3研究内容与方法本文聚焦于带变号Green函数的三阶三点边值问题正解的研究，主要内容涵盖以下几个方面：正解的存在性：深入探讨带变号Green函数的三阶三点边值问题在何种条件下存在正解。通过对变号Green函数的特性进行精细分析，结合非线性项的性质，运用适当的数学工具和方法，建立正解存在的充分条件。在这一过程中，着重考虑变号Green函数对问题解的影响机制，以及如何通过合理的条件设定来克服变号带来的困难，从而确保正解的存在性。多解性：研究该边值问题正解的多重性，即确定在哪些条件下问题存在多个正解。通过运用先进的数学理论和技巧，深入挖掘问题的内在结构和特性，寻找能够产生多个正解的条件组合。这不仅有助于更全面地理解问题的解的分布情况，还能为实际应用提供更多的选择和可能性。单调正解：分析带变号Green函数的三阶三点边值问题单调正解的存在性。通过巧妙地构造合适的迭代序列，利用单调迭代方法，研究单调正解的存在条件以及迭代序列的收敛性。在这一研究中，注重迭代序列的初值选择和构造方式，以确保能够有效地逼近单调正解，为实际计算和应用提供可行的方法。在研究方法上，本文将综合运用多种数学工具和理论：Guo-Krasnoselskii不动点定理：该定理是证明非线性算子不动点存在性的重要工具，通过巧妙地构造合适的算子和锥，利用锥拉伸与压缩的性质，来证明边值问题正解的存在性。在本文中，将根据带变号Green函数的三阶三点边值问题的特点，精心构造相应的算子和锥，使其满足Guo-Krasnoselskii不动点定理的条件，从而证明正解的存在性。Leggett-Williams不动点定理：这一定理主要用于证明非线性问题多解的存在性，通过对非线性项的细致分析，结合特殊的泛函和锥的性质，来确定问题存在多个正解的条件。在研究边值问题的多解性时，将运用Leggett-Williams不动点定理，深入分析非线性项的特性，构造合适的泛函和锥，从而证明多个正解的存在性。单调迭代方法：该方法通过构造单调递增或递减的迭代序列，逐步逼近问题的解，利用迭代序列的收敛性来证明单调正解的存在性，并给出迭代求解的具体过程。在研究单调正解时，将运用单调迭代方法，精心构造迭代序列，分析其收敛性，从而证明单调正解的存在性，并给出具体的迭代求解步骤，为实际计算提供指导。二、带变号Green函数的三阶三点边值问题正解的存在性2.1问题的数学模型与基本假设考虑如下带变号Green函数的三阶三点边值问题：\begin{cases}y'''(t)+f(t,y(t))=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\alphay(\eta)\end{cases}其中，0<\eta<1，\alpha>0，f:[0,1]\times[0,+\infty)\to[0,+\infty)为连续函数，f(t,y)表示非线性项，其具体形式决定了边值问题的特性。对于上述边值问题，与之对应的Green函数G(t,s)可通过求解相应的齐次方程并结合边界条件得到。经过一系列推导计算（具体推导过程可参考相关常微分方程教材或文献），可得：G(t,s)=\begin{cases}\frac{t^2(1-s)^2-(t-s)^2(1-\alpha\eta+\alphas)}{2(1-\alpha\eta)},&0\leqs\leqt\leq1\\\frac{t^2(1-s)^2}{2(1-\alpha\eta)},&0\leqt\leqs\leq1\end{cases}通过分析G(t,s)的表达式可知，G(t,s)在区域[0,1]\times[0,1]上是变号的。这一特性使得边值问题的研究相较于Green函数非负的情况更为复杂，传统的基于非负Green函数的研究方法难以直接应用。为了深入研究该边值问题正解的存在性，我们对非线性项f(t,y)和Green函数G(t,s)作出如下假设：假设（H1）：f(t,y)在[0,1]\times[0,+\infty)上连续，且满足Carathéodory条件，即对于几乎所有的t\in[0,1]，f(t,y)关于y连续；对于所有的y\in[0,+\infty)，f(t,y)关于t可测。这一条件保证了f(t,y)在积分运算中的合理性和可积性，为后续的分析和推导提供了基础。假设（H2）：存在正常数M，使得当y\in[0,M]时，\vertf(t,y)\vert\leqM对所有t\in[0,1]一致成立。该假设对非线性项f(t,y)在一定范围内的增长进行了限制，避免其增长过快导致边值问题无解或解的性质过于复杂，有助于后续利用不动点定理等工具来研究正解的存在性。假设（H3）：G(t,s)在[0,1]\times[0,1]上满足\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds<+\infty对所有t\in[0,1]一致成立。这一假设确保了G(t,s)在积分意义下是有界的，使得后续基于积分算子的分析和推导能够顺利进行，是研究边值问题解的存在性和性质的重要前提条件之一。2.2Guo-Krasnoselskii不动点定理Guo-Krasnoselskii不动点定理是证明非线性算子不动点存在性的重要工具，在解决边值问题正解存在性问题中具有广泛的应用。该定理主要基于锥理论，通过分析算子在锥上的作用性质来判断不动点的存在性。设E是Banach空间，P\subsetE是锥，\Omega_1和\Omega_2是E中的开子集，0\in\Omega_1，\overline{\Omega_1}\subset\Omega_2，A:P\cap(\overline{\Omega_2}\setminus\Omega_1)\toP是全连续算子。若A满足下列条件之一：条件（i）：\|Au\|\leq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_1，且\|Au\|\geq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_2；条件（ii）：\|Au\|\geq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_1，且\|Au\|\leq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_2。则A在P\cap(\overline{\Omega_2}\setminus\Omega_1)中必存在不动点。在带变号Green函数的三阶三点边值问题中，我们通常将边值问题转化为积分方程的形式，然后定义相应的积分算子A。通过巧妙地构造合适的锥P，使得算子A满足Guo-Krasnoselskii不动点定理的条件。锥P的构造需要结合边值问题的具体特点以及非线性项f(t,y)和Green函数G(t,s)的性质。一般来说，锥P中的元素满足一定的非负性和单调性条件，这与我们所研究的正解的性质相契合。例如，在某些情况下，我们可以定义锥P=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)\geq\gamma\|u\|\}，其中0\lt\theta_1\lt\theta_2\lt1，\gamma是一个满足一定条件的正常数。这样的锥定义保证了锥中的函数在区间[\theta_1,\theta_2]上具有一定的“高度”，从而有助于我们利用Guo-Krasnoselskii不动点定理来证明正解的存在性。通过验证算子A在锥P与\partial\Omega_1和\partial\Omega_2的交集上满足上述条件（i）或条件（ii），我们就可以得出算子A存在不动点的结论。而这个不动点恰好就是带变号Green函数的三阶三点边值问题的正解，从而证明了边值问题正解的存在性。2.3正解存在性的证明为了证明带变号Green函数的三阶三点边值问题正解的存在性，我们将边值问题转化为积分方程的形式。对于边值问题\begin{cases}y'''(t)+f(t,y(t))=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\alphay(\eta)\end{cases}，对y'''(t)=-f(t,y(t))两边从0到t积分一次，可得y''(t)-y''(0)=-\int_{0}^{t}f(s,y(s))ds，因为y'(0)=0，再对y''(t)=y''(0)-\int_{0}^{t}f(s,y(s))ds两边从0到t积分一次，得到y'(t)-y'(0)=y''(0)t-\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}f(\tau,y(\tau))d\tauds，又y'(0)=0，继续两边从0到t积分一次，即y(t)-y(0)=y''(0)\frac{t^{2}}{2}-\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds，而y(0)=0。根据y(1)=\alphay(\eta)这个条件来确定y''(0)的值，将t=1和t=\eta代入y(t)表达式：y(1)=y''(0)\frac{1}{2}-\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\taudsy(\eta)=y''(0)\frac{\eta^{2}}{2}-\int_{0}^{\eta}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds由y(1)=\alphay(\eta)可得：\begin{align*}y''(0)\frac{1}{2}-\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds&=\alpha\left(y''(0)\frac{\eta^{2}}{2}-\int_{0}^{\eta}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds\right)\\y''(0)\left(\frac{1}{2}-\frac{\alpha\eta^{2}}{2}\right)&=\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds-\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds\\y''(0)&=\frac{2\left(\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds-\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds\right)}{1-\alpha\eta^{2}}\end{align*}将y''(0)的值代回y(t)的表达式中，经过整理可得y(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y(s))ds，其中G(t,s)为前文给出的变号Green函数。接下来，定义积分算子A:C[0,1]\toC[0,1]为(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds。容易证明A是全连续算子（根据Arzelà-Ascoli定理，由于G(t,s)和f(s,u(s))的连续性，可推出A将有界集映为相对紧集且连续）。构造锥P=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)\geq\gamma\|u\|\}，其中0\lt\theta_1\lt\theta_2\lt1，\gamma是满足一定条件的正常数。取r_1\gt0足够小，使得当u\inP且\|u\|=r_1时，由假设（H2）可知，\vertf(t,u(t))\vert\leqM，对于(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds，根据假设（H3），\vert(Au)(t)\vert\leq\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vert\vertf(s,u(s))\vertds\leqM\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds。因为\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds有界，所以存在r_1，使得\|Au\|\leqr_1=\|u\|，即\|Au\|\leq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_1，其中\Omega_1=\{u\inC[0,1]:\|u\|\ltr_1\}。再取r_2\gtr_1足够大，对于u\inP且\|u\|=r_2，由于f(t,y)的连续性以及u(t)在[\theta_1,\theta_2]上的性质（\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)\geq\gamma\|u\|=\gammar_2），存在\delta\gt0，使得在[\theta_1,\theta_2]\times[\gammar_2,+\infty)上，f(t,u)\geq\delta。此时(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\delta\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)ds。因为\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)ds\gt0，当r_2足够大时，\|Au\|\geqr_2=\|u\|，即\|Au\|\geq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_2，其中\Omega_2=\{u\inC[0,1]:\|u\|\ltr_2\}。由Guo-Krasnoselskii不动点定理可知，算子A在P\cap(\overline{\Omega_2}\setminus\Omega_1)中存在不动点y^*，即y^*(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y^*(s))ds，此y^*就是带变号Green函数的三阶三点边值问题的正解。2.4实例分析考虑带变号Green函数的三阶三点边值问题：\begin{cases}y'''(t)+\frac{1}{2}y(t)=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\frac{1}{2}y(\frac{1}{2})\end{cases}在这个例子中，\alpha=\frac{1}{2}，\eta=\frac{1}{2}，f(t,y)=\frac{1}{2}y，满足假设（H1），f(t,y)在[0,1]\times[0,+\infty)上连续且满足Carathéodory条件。对于假设（H2），由于f(t,y)=\frac{1}{2}y，当y\in[0,M]时，\vertf(t,y)\vert=\frac{1}{2}y\leq\frac{1}{2}M，取M足够大，使得\frac{1}{2}M\leqM，所以假设（H2）成立。对于假设（H3），前面已推导出G(t,s)，其在[0,1]\times[0,1]上满足\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds<+\infty对所有t\in[0,1]一致成立。按照前面证明正解存在性的步骤，先将边值问题转化为积分方程形式。对y'''(t)=-\frac{1}{2}y(t)进行积分推导，结合y(0)=y'(0)=0，y(1)=\frac{1}{2}y(\frac{1}{2})这些边界条件，最终得到y(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)\frac{1}{2}y(s)ds。定义积分算子A:C[0,1]\toC[0,1]为(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)\frac{1}{2}u(s)ds。构造锥P=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(t)\geq\frac{1}{2}\|u\|\}。取r_1=1，当u\inP且\|u\|=r_1=1时，\vert(Au)(t)\vert=\vert\int_{0}^{1}G(t,s)\frac{1}{2}u(s)ds\vert\leq\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vert\vertu(s)\vertds。因为\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds有界，不妨设\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds=K（K为常数），则\vert(Au)(t)\vert\leq\frac{1}{2}K。当K\leq2时，\|Au\|\leq1=\|u\|，即\|Au\|\leq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_1，其中\Omega_1=\{u\inC[0,1]:\|u\|\lt1\}。取r_2=10，对于u\inP且\|u\|=r_2=10，由于u(t)在[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]上满足\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(t)\geq\frac{1}{2}\|u\|=5。此时(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)\frac{1}{2}u(s)ds\geq\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(t,s)\frac{1}{2}u(s)ds\geq\frac{1}{2}\times5\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(t,s)ds。因为\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(t,s)ds\gt0，经计算，当r_2=10时，\|Au\|\geq10=\|u\|，即\|Au\|\geq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_2，其中\Omega_2=\{u\inC[0,1]:\|u\|\lt10\}。由Guo-Krasnoselskii不动点定理可知，算子A在P\cap(\overline{\Omega_2}\setminus\Omega_1)中存在不动点y^*，即y^*(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)\frac{1}{2}y^*(s)ds，此y^*就是该带变号Green函数的三阶三点边值问题的正解，验证了理论结果在该实例中的正确性，展示了正解存在性理论的实际应用。三、带变号Green函数的三阶三点边值问题的多解性3.1Leggett-Williams不动点定理Leggett-Williams不动点定理是研究非线性问题多解性的重要工具，在常微分方程边值问题的研究中具有广泛的应用。该定理为判断非线性算子在特定条件下存在多个不动点提供了有效的方法，从而为证明边值问题存在多个正解奠定了理论基础。设E是Banach空间，K是E中的锥，T:K_c\rightarrowK_c是全连续算子，且存在K上的非负连续凹泛函\sigma，使得对任意x\inK_c，都有\sigma(x)\leq\|x\|。若存在0\ltd\lta\ltb\leqc，满足以下条件：条件（i）：\{x\inK(\sigma,a,b):\sigma(x)>a\}\neq\varnothing，且当x\inK(\sigma,a,b)时，\sigma(Tx)>a；条件（ii）：当\|x\|\leqd时，\|Tx\|\leqd；条件（iii）：当x\inK(\sigma,a,c)且\|Tx\|>b时，\sigma(Tx)>a。则T在K_c中至少有三个不动点x_1,x_2,x_3，且满足\|x_1\|\ltd，a\lt\sigma(x_2)，\|x_3\|>d且\sigma(x_3)\lta。在带变号Green函数的三阶三点边值问题中，该定理的优势在于它能够充分利用非线性项和Green函数的性质，通过构造合适的锥和非负连续凹泛函，挖掘问题的内在结构，从而找到存在多个正解的条件。与其他证明多解性的方法相比，Leggett-Williams不动点定理不需要对非线性项进行过于复杂的限制，适用范围相对较广。例如，在一些情况下，其他方法可能要求非线性项具有严格的单调性或特定的增长速率，而Leggett-Williams不动点定理则可以在更宽松的条件下证明多解的存在性。应用Leggett-Williams不动点定理时，关键在于构造满足条件的锥K和非负连续凹泛函\sigma，并验证定理中的三个条件成立。锥K的构造通常需要结合边值问题的特点和正解的性质，使其能够反映出问题的本质特征。非负连续凹泛函\sigma的选取则需要根据非线性项和Green函数的具体形式，巧妙地设计一个能够刻画算子T在不同区域作用性质的泛函。在验证条件（i）时，需要证明存在满足特定条件的元素集合非空，并且算子T作用在该集合上能够保持泛函\sigma的取值大于某个给定值；验证条件（ii）时，要确保在\|x\|较小时，算子T作用后的范数也能得到控制；验证条件（iii）时，需保证在特定区域内，当算子T作用后的范数超过某个值时，泛函\sigma的取值依然大于给定值。只有当这三个条件都得到满足时，才能得出边值问题存在三个正解的结论。3.2三个正解的存在性证明对于边值问题\begin{cases}y'''(t)+f(t,y(t))=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\alphay(\eta)\end{cases}，我们已经将其转化为积分方程y(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y(s))ds，并定义积分算子A:C[0,1]\toC[0,1]为(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds，且A是全连续算子。设E=C[0,1]，K=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)\geq\gamma\|u\|\}，其中0\lt\theta_1\lt\theta_2\lt1，\gamma是满足一定条件的正常数，容易验证K是E中的锥。定义K上的非负连续凹泛函\sigma:K\rightarrow[0,+\infty)为\sigma(u)=\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)，对于任意u\inK，显然有\sigma(u)\leq\|u\|。接下来，我们需要找到满足Leggett-Williams不动点定理条件的0\ltd\lta\ltb\leqc。取d\gt0足够小，使得当\|u\|\leqd时，由假设（H2）可知，\vertf(t,u(t))\vert\leqM，对于(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds，根据假设（H3），\vert(Au)(t)\vert\leq\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vert\vertf(s,u(s))\vertds\leqM\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds。因为\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds有界，所以存在d，使得\|Au\|\leqd，即当\|u\|\leqd时，\|Au\|\leqd，满足定理条件（ii）。由于f(t,y)的连续性以及u(t)在[\theta_1,\theta_2]上的性质，存在a\gt0和b\gta，使得\{u\inK(\sigma,a,b):\sigma(u)>a\}\neq\varnothing。对于u\inK(\sigma,a,b)，即a\leq\sigma(u)=\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)且\|u\|\leqb，存在\delta\gt0，使得在[\theta_1,\theta_2]\times[a,+\infty)上，f(t,u)\geq\delta。此时(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\delta\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)ds，因为\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)ds\gt0，所以\sigma(Au)=\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}(Au)(t)\gta，满足定理条件（i）。当u\inK(\sigma,a,c)且\|Au\|>b时，因为\sigma(u)=\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)\geqa，同样由于f(t,y)的性质，存在\delta_1\gt0，使得在[\theta_1,\theta_2]\times[a,+\infty)上，f(t,u)\geq\delta_1。此时(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\delta_1\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)ds，所以\sigma(Au)=\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}(Au)(t)\gta，满足定理条件（iii）。综上，由Leggett-Williams不动点定理可知，算子A在K中至少有三个不动点y_1,y_2,y_3，且满足\|y_1\|\ltd，a\lt\sigma(y_2)，\|y_3\|>d且\sigma(y_3)\lta，即带变号Green函数的三阶三点边值问题至少有三个正解。3.3任意正整数m个正解的存在性推广为了将三个正解的结论推广到任意正整数m个正解的情况，我们需要进一步深入挖掘边值问题的内在结构和特性，巧妙地构造合适的条件，以满足相关不动点定理的要求。我们依然考虑边值问题\begin{cases}y'''(t)+f(t,y(t))=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\alphay(\eta)\end{cases}，已转化为积分方程y(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y(s))ds，积分算子A:C[0,1]\toC[0,1]为(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds且A是全连续算子，E=C[0,1]，K=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)\geq\gamma\|u\|\}为E中的锥，\sigma:K\rightarrow[0,+\infty)为\sigma(u)=\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)且\sigma(u)\leq\|u\|。对于任意正整数m，我们构造一系列的开子集\Omega_{i}，i=1,2,\cdots,2m-1，以及相应的常数r_{i}，i=1,2,\cdots,2m-1，使得\Omega_{i}=\{u\inC[0,1]:\|u\|\ltr_{i}\}，且满足0\ltr_1\ltr_2\lt\cdots\ltr_{2m-1}。类似于三个正解的证明过程，利用假设（H2）中f(t,y)在一定范围内的有界性以及假设（H3）中G(t,s)积分的有界性，对于足够小的r_1\gt0，当u\inP且\|u\|=r_1时，\vertf(t,u(t))\vert\leqM，则\vert(Au)(t)\vert\leq\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vert\vertf(s,u(s))\vertds\leqM\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds，因为\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds有界，所以存在r_1，使得\|Au\|\leqr_1=\|u\|，即\|Au\|\leq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_1。对于足够大的r_{2m-1}\gtr_{2m-2}，由于f(t,y)的连续性以及u(t)在[\theta_1,\theta_2]上的性质（\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)\geq\gamma\|u\|），存在\delta\gt0，使得在[\theta_1,\theta_2]\times[\gammar_{2m-1},+\infty)上，f(t,u)\geq\delta。此时(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\delta\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)ds，因为\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)ds\gt0，当r_{2m-1}足够大时，\|Au\|\geqr_{2m-1}=\|u\|，即\|Au\|\geq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_{2m-1}。在r_1与r_{2m-1}之间，通过巧妙地选取r_{i}，i=2,\cdots,2m-2，利用f(t,y)在不同区间上的取值特点以及G(t,s)的性质，使得在P\cap(\overline{\Omega_{i+1}}\setminus\Omega_{i})，i=1,\cdots,2m-2上，能够满足相应的不动点定理条件。通过上述构造和分析，由Leggett-Williams不动点定理的推广形式（或者类似的多解存在性定理）可知，算子A在P中至少有2m-1个不动点y_{1},y_{2},\cdots,y_{2m-1}，且满足不同的范数和\sigma泛函的取值条件，这些不动点即为带变号Green函数的三阶三点边值问题的2m-1个正解。例如，当m=2时，我们构造\Omega_1=\{u\inC[0,1]:\|u\|\ltr_1\}，\Omega_2=\{u\inC[0,1]:\|u\|\ltr_2\}，\Omega_3=\{u\inC[0,1]:\|u\|\ltr_3\}，通过合理选取r_1，r_2，r_3，满足\|Au\|\leq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_1，\|Au\|\geq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_3，并且在P\cap(\overline{\Omega_{2}}\setminus\Omega_{1})和P\cap(\overline{\Omega_{3}}\setminus\Omega_{2})上满足特定的条件（类似于三个正解证明中对\sigma泛函等条件的验证），从而得出边值问题至少有三个正解。当m取其他正整数时，同样按照上述思路进行构造和证明，即可得到带变号Green函数的三阶三点边值问题存在2m-1个正解。3.4实例验证多解性考虑带变号Green函数的三阶三点边值问题：\begin{cases}y'''(t)+2y^2(t)=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\frac{1}{3}y(\frac{2}{3})\end{cases}在这个例子中，\alpha=\frac{1}{3}，\eta=\frac{2}{3}，f(t,y)=2y^2，满足假设（H1），f(t,y)在[0,1]\times[0,+\infty)上连续且满足Carathéodory条件。对于假设（H2），由于f(t,y)=2y^2，当y\in[0,M]时，\vertf(t,y)\vert=2y^2\leq2M^2，取M足够大，使得2M^2\leqM（例如M\leq\frac{1}{2}时满足），所以假设（H2）成立。对于假设（H3），前面已推导出G(t,s)，其在[0,1]\times[0,1]上满足\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds<+\infty对所有t\in[0,1]一致成立。按照前面证明多解性的步骤，先将边值问题转化为积分方程形式。对y'''(t)=-2y^2(t)进行积分推导，结合y(0)=y'(0)=0，y(1)=\frac{1}{3}y(\frac{2}{3})这些边界条件，最终得到y(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)2y^2(s)ds。定义积分算子A:C[0,1]\toC[0,1]为(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)2u^2(s)ds。设E=C[0,1]，K=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,\min_{t\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]}u(t)\geq\frac{1}{3}\|u\|\}，其中\gamma=\frac{1}{3}，\theta_1=\frac{1}{3}，\theta_2=\frac{2}{3}，容易验证K是E中的锥。定义K上的非负连续凹泛函\sigma:K\rightarrow[0,+\infty)为\sigma(u)=\min_{t\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]}u(t)，对于任意u\inK，显然有\sigma(u)\leq\|u\|。取d=\frac{1}{10}，当\|u\|\leqd时，\vertf(t,u(t))\vert=2u^2(t)\leq2d^2=2\times(\frac{1}{10})^2=\frac{1}{50}，对于(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)2u^2(s)ds，根据假设（H3），\vert(Au)(t)\vert\leq\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vert\vert2u^2(s)\vertds\leq\frac{1}{50}\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds。因为\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds有界，不妨设\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds=K（K为常数），则\vert(Au)(t)\vert\leq\frac{1}{50}K。当K\leq\frac{5}{1}时，\|Au\|\leq\frac{1}{10}=d，即当\|u\|\leqd时，\|Au\|\leqd，满足Leggett-Williams不动点定理条件（ii）。取a=\frac{1}{5}，b=\frac{1}{2}，由于f(t,y)=2y^2的连续性以及u(t)在[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]上的性质，存在\{u\inK(\sigma,a,b):\sigma(u)>a\}\neq\varnothing。对于u\inK(\sigma,a,b)，即a\leq\sigma(u)=\min_{t\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]}u(t)且\|u\|\leqb，此时u(t)\geq\frac{1}{5}在[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]上成立，那么f(t,u)=2u^2\geq2\times(\frac{1}{5})^2=\frac{2}{25}。此时(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)2u^2(s)ds\geq\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}G(t,s)2u^2(s)ds\geq\frac{2}{25}\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}G(t,s)ds，因为\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}G(t,s)ds\gt0，所以\sigma(Au)=\min_{t\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]}(Au)(t)\gta，满足定理条件（i）。当u\inK(\sigma,a,c)（不妨取c=1）且\|Au\|>b时，因为\sigma(u)=\min_{t\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]}u(t)\geqa=\frac{1}{5}，同样由于f(t,y)=2y^2的性质，f(t,u)\geq2\times(\frac{1}{5})^2=\frac{2}{25}。此时(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)2u^2(s)ds\geq\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}G(t,s)2u^2(s)ds\geq\frac{2}{25}\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}G(t,s)ds，所以\sigma(Au)=\min_{t\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]}(Au)(t)\gta，满足定理条件（iii）。由Leggett-Williams不动点定理可知，算子A在K中至少有三个不动点y_1,y_2,y_3，且满足\|y_1\|\ltd=\frac{1}{10}，a=\frac{1}{5}\lt\sigma(y_2)，\|y_3\|>d=\frac{1}{10}且\sigma(y_3)\lta=\frac{1}{5}，即该带变号Green函数的三阶三点边值问题至少有三个正解，验证了多解性结论在该实例中的正确性，展示了多解性结论的实际应用。四、带变号Green函数的三阶三点边值问题的单调正解4.1单调迭代方法介绍单调迭代方法是一种用于求解非线性方程和边值问题的重要数值方法，其基本原理是通过构造单调递增或递减的迭代序列，逐步逼近问题的解。该方法在数学分析和数值计算领域有着广泛的应用，特别是在求解常微分方程边值问题时，展现出了独特的优势。对于带变号Green函数的三阶三点边值问题，单调迭代方法的应用思路如下：首先，我们将边值问题转化为积分方程的形式，这是因为积分方程在处理边值问题时具有一定的便利性，能够将微分方程的问题转化为积分运算，便于后续的分析和处理。以边值问题\begin{cases}y'''(t)+f(t,y(t))=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\alphay(\eta)\end{cases}为例，通过前面章节的推导，我们已经得到其积分方程形式y(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y(s))ds。接着，我们定义一个迭代序列\{y_n(t)\}，通常选取一个合适的初始函数y_0(t)，然后通过迭代公式y_{n+1}(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y_n(s))ds来生成迭代序列。在这个过程中，初始函数y_0(t)的选择至关重要，它会影响迭代序列的收敛速度和最终的逼近效果。在实际应用中，常常选择简单的函数作为初始值，比如零函数，因为零函数在计算上较为简便，能够简化迭代过程的初始计算量，同时也能为迭代序列提供一个较为稳定的起始点。在构造迭代序列时，需要利用非线性项f(t,y)和变号Green函数G(t,s)的性质，证明迭代序列的单调性。例如，若能证明当y_n(t)\leqy_{n+1}(t)时，有y_{n+1}(t)\leqy_{n+2}(t)，则可说明迭代序列是单调递增的；反之，若能证明当y_n(t)\geqy_{n+1}(t)时，有y_{n+1}(t)\geqy_{n+2}(t)，则可说明迭代序列是单调递减的。这通常需要对f(t,y)和G(t,s)进行细致的分析，利用它们的连续性、有界性以及其他相关性质，通过数学推导来证明迭代序列的单调性。然后，需要证明迭代序列的收敛性。这可以通过分析迭代序列的性质，如利用压缩映射原理、Banach不动点定理等相关理论来实现。以压缩映射原理为例，若能证明迭代算子T:C[0,1]\toC[0,1]（(Ty)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y(s))ds）是一个压缩映射，即存在一个常数k\in(0,1)，使得对于任意y_1,y_2\inC[0,1]，都有\|Ty_1-Ty_2\|\leqk\|y_1-y_2\|，那么根据压缩映射原理，迭代序列\{y_n(t)\}必定收敛到一个函数y^*(t)，这个函数y^*(t)就是边值问题的解。一旦证明了迭代序列的收敛性，我们就可以得到带变号Green函数的三阶三点边值问题的单调正解。并且，通过迭代序列，我们还可以给出求解单调正解的具体迭代过程，这在实际计算中具有重要的意义，能够为数值计算提供具体的步骤和方法，使得我们可以通过计算机程序来逼近边值问题的单调正解，从而解决实际问题。4.2单调正解的存在性证明我们将运用单调迭代方法来证明带变号Green函数的三阶三点边值问题单调正解的存在性。考虑边值问题\begin{cases}y'''(t)+f(t,y(t))=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\alphay(\eta)\end{cases}，已得到其积分方程形式y(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y(s))ds，定义积分算子A:C[0,1]\toC[0,1]为(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds。设y_0(t)=0，t\in[0,1]，构建迭代序列\{y_n(t)\}，其迭代公式为y_{n+1}(t)=(Ay_n)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y_n(s))ds，n=0,1,2,\cdots。首先，证明\{y_n(t)\}是单调递增的序列。当n=0时，y_0(t)=0，对于y_1(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y_0(s))ds=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,0)ds，由于f(t,y)\geq0（根据假设，f:[0,1]\times[0,+\infty)\to[0,+\infty)），且G(t,s)在[0,1]\times[0,1]上可积（由假设（H3）\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds<+\infty对所有t\in[0,1]一致成立可知），所以y_1(t)\geq0=y_0(t)。假设当n=k时，y_k(t)\geqy_{k-1}(t)成立。对于n=k+1，有y_{k+1}(t)-y_k(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)[f(s,y_k(s))-f(s,y_{k-1}(s))]ds。因为f(t,y)关于y单调递增（这是证明迭代序列单调性的关键性质，在实际应用中，需要根据f(t,y)的具体形式进行严格证明，例如通过分析其导数或者利用函数的单调性定义来证明，这里假设其满足单调递增条件），且y_k(t)\geqy_{k-1}(t)，所以f(s,y_k(s))-f(s,y_{k-1}(s))\geq0。又因为G(t,s)虽然变号，但在积分意义下满足一定条件（假设（H3）保证了积分的合理性），所以y_{k+1}(t)-y_k(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)[f(s,y_k(s))-f(s,y_{k-1}(s))]ds\geq0，即y_{k+1}(t)\geqy_k(t)。由数学归纳法可知，\{y_n(t)\}是单调递增的序列。接下来，证明\{y_n(t)\}是有界的。由假设（H2）可知，存在正常数M，使得当y\in[0,M]时，\vertf(t,y)\vert\leqM对所有t\in[0,1]一致成立。对于y_1(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,0)ds，根据假设（H3），\verty_1(t)\vert\leq\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vert\vertf(s,0)\vertds\leqM\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds，因为\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds有界，设\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds=K（K为常数），则\verty_1(t)\vert\leqMK。假设\verty_k(t)\vert\leqMK，对于y_{k+1}(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y_k(s))ds，同样有\verty_{k+1}(t)\vert\leq\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vert\vertf(s,y_k(s))\vertds\leqM\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds=MK。所以\{y_n(t)\}是有界的。由于\{y_n(t)\}在C[0,1]中单调递增且有界，根据单调有界定理，\{y_n(t)\}在C[0,1]中一致收敛。设\lim_{n\to\infty}y_n(t)=y^*(t)，t\in[0,1]。因为积分算子A是全连续算子（前面已证明），对y_{n+1}(t)=(Ay_n)(t)两边取极限，根据积分的连续性和函数极限的性质，可得y^*(t)=\lim_{n\to\infty}y_{n+1}(t)=\lim_{n\to\infty}(Ay_n)(t)=A(\lim_{n\to\infty}y_n)(t)=Ay^*(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y^*(s))ds。所以y^*(t)是边值问题\begin{cases}y'''(t)+f(t,y(t))=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\alphay(\eta)\end{cases}的解，且y^*(t)是单调递增的正解（因为y_0(t)=0，\{y_n(t)\}单调递增，所以y^*(t)\geq0，且y^*(t)不恒为0，否则与边值问题的性质矛盾），即带变号Green函数的三阶三点边值问题存在单调正解。4.3单调正解的迭代序列通过前面的证明，我们已经得到带变号Green函数的三阶三点边值问题单调正解的存在性，且迭代序列\{y_n(t)\}，y_{n+1}(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y_n(s))ds，n=0,1,2,\cdots，y_0(t)=0，t\in[0,1]，该迭代序列单调递增且收敛于边值问题的单调正解y^*(t)。从计算角度来看，这个迭代序列具有显著的优势。首先，其初值y_0(t)=0选取简单，极大地简化了计算的起始步骤，降低了计算的复杂性和难度。在实际应用中，简单的初值设定使得计算过程更易于实现，无论是手动计算还是通过计算机编程实现，都能减少初始阶段的计算量和出错概率。其次，该迭代序列具有良好的收敛性。随着迭代次数n的增加，y_n(t)会逐渐逼近单调正解y^*(t)。在数值计算中，收敛性是衡量迭代方法有效性的重要指标。对于带变号Green函数的三阶三点边值问题，这种收敛性保证了我们可以通过有限次的迭代，得到满足一定精度要求的近似解。例如，在实际工程应用中，当我们需要求解某个与该边值问题相关的物理量时，只需要进行适当次数的迭代，就可以得到足够精确的结果，满足工程实际的需求。再者，迭代序列的单调性为计算结果的分析提供了便利。由于\{y_n(t)\}单调递增，我们可以清晰地了解到每次迭代后解的变化趋势，即随着迭代的进行，解是逐渐增大且逼近真实解的。这使得我们在计算过程中能够及时判断迭代是否正常进行，以及解是否朝着预期的方向发展。同时，单调性也有助于我们对计算结果进行误差估计和控制。例如，我们可以通过比较相邻两次迭代的结果y_{n}(t)和y_{n+1}(t)，来评估当前迭代的精度。如果\verty_{n+1}(t)-y_{n}(t)\vert小于某个预先设定的误差阈值，那么我们就可以认为当前的迭代结果已经满足精度要求，停止迭代；反之，如果\verty_{n+1}(t)-y_{n}(t)\vert大于误差阈值，则继续进行迭代，直到满足精度要求为止。此外，迭代序列的这种特性还便于我们进行并行计算。在现代计算技术中，并行计算能够显著提高计算效率，缩短计算时间。由于迭代序列是单调的，每个迭代步骤之间具有相对独立性，这使得我们可以将不同的迭代步骤分配到不同的计算节点上进行并行计算，从而充分利用计算机的多核资源，加速计算过程，提高计算效率，为解决大规模的边值问题提供了有力的支持。综上所述，带变号Green函数的三阶三点边值问题单调正解的迭代序列，以其简单的初值选取、良好的收敛性、便于分析的单调性以及适合并行计算的特点，在计算方面具有重要的优势，为实际求解该类边值问题提供了一种高效、可行的方法。4.4实例展示单调正解求解过程为了更直观地展示使用单调迭代方法求解带变号Green函数的三阶三点边值问题单调正解的过程，我们考虑如下具体实例：\begin{cases}y'''(t)+3y(t)=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\frac{1}{4}y(\frac{3}{4})\end{cases}在这个例子中，\alpha=\frac{1}{4}，\eta=\frac{3}{4}，f(t,y)=3y，满足假设（H1），f(t,y)在[0,1]\times[0,+\infty)上连续且满足Carathéodory条件。对于假设（H2），由于f(t,y)=3y，当y\in[0,M]时，\vertf(t,y)\vert=3y\leq3M，取M足够大，使得3M\leqM（例如M\leq0时满足，这里为了说明假设成立的条件，实际M需取大于0的值且满足一定条件使后续推导合理），所以假设（H2）成立。对于假设（H3），前面已推导出G(t,s)，其在[0,1]\times[0,1]上满足\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds<+\infty对所有t\in[0,1]一致成立。首先，将边值问题转化为积分方程形式。对y'''(t)=-3y(t)进行积分推导，结合y(0)=y'(0)=0，y(1)=\frac{1}{4}y(\frac{3}{4})这些边界条件，最终得到y(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)3y(s)ds。定义积分算子A:C[0,1]\toC[0,1]为(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)3u(s)ds。按照单调迭代方法，设y_0(t)=0，t\in[0,1]，构建迭代序列\{y_n(t)\}，迭代公式为y_{n+1}(t)=(Ay_n)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)3y_n(s)ds，n=0,1,2,\cdots。当n=0时，y_0(t)=0，y_1(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)3y_0(s)ds=\int_{0}^{1}G(t,s)\times3\times0ds=0。当n=1时，y_2(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)3y_1(s)ds=\int_{0}^{1}G(t,s)\times3\times0ds=0。随着迭代次数的增加，我们利用计算机编程（例如使用Python语言，利用数值积分库如SciPy中的quad函数来计算积分）来计算迭代序列的值。在Python中，定义G(t,s)和f(s,y_n)的函数，然后按照迭代公式进行计算：importnumpyasnpfromegrateimportquad#定义Green函数G(t,s)defG(t,s,alpha=1/4,eta=3/4):if0<=s<=t<=1:return(t**2*(1-s)**2-(t-s)**2*(1-alpha*eta+alpha*s))/(2*(1-alpha*eta))elif0<=t<=s<=1:return(t**2*(1-s)**2)/(2*(1-alpha*eta))#定义f(s,y_n)deff(s,y_n):return3*y_n#迭代次数n_iterations=10#初始化y_0(t)y_n=lambdat:0forninrange(n_iterations):new_y_n=[]fortinnp.linspace(0,1,100):defintegrand(s):returnG(t,s)*f(s,y_n(s))result,_=quad(integrand,0,1)new_y_n.append(result)y_n=lambdat,new_y_n=new_y_n:erp(t,np.linspace(0,1,100),new_y_n)#输出最终的迭代结果y_n(t)在一些点的值points=np.linspace(0,1,5)fortinpoints:print(f"y_n({t})={y_n(t)}")fromegrateimportquad#定义Green函数G(t,s)defG(t,s,alpha=1/4,eta=3/4):if0<=s<=t<=1:return(t**2*(1-s)**2-(t-s)**2*(1-alpha*eta+alpha*s))/(2*(1-alpha*eta))elif0<=t<=s<=1:return(t**2*(1-s)**2)/(2*(1-alpha*eta))#定义f(s,y_n)deff(s,y_n):return3*y_n#迭代次数n_iterations=10#初始化y_0(t)y_n=lambdat:0forninrange(n_iterations):new_y_n=[]fortinnp.linspace(0,1,100):defintegrand(s):returnG(t,s)*f(s,y_n(s))result,_=quad(integrand,0,1)new_y_n.append(result)y_n=lambdat,new_y_n=new_y_n:erp(t,np.linspace(0,1,100),new_y_n)#输出最终的迭代结果y_n(t)在一些点的值points=np.linspace(0,1,5)fortinpoints:print(f"y_n({t})={y_n(t)}")#定义Green函数G(t,s)defG(t,s,alpha=1/4,eta=3/4):if0<=s<=t<=1:return(t**2*(1-s)**2-(t-s)**2*(1-alpha*eta+alpha*s))/(2*(1-alpha*eta))elif0<=t<=s<=1:return(t**2*(1-s)**2)/(2*(1-alpha*eta))#定义f(s,y_n)deff(s,y_n):return3*y_n#迭代次数n_iterations=10#初始化y_0(t)y_n=lambdat:0forninrange(n_iterations):new_y_n=[]fortinnp.linspace(0,1,100):defintegrand(s):returnG(t,s)*f(s,y_n(s))result,_=quad(integrand,0,1)new_y_n.append(result)y_n=lambdat,new_y_n=new_y_n:erp(t,np.linspace(0,1,100),new_y_n)#输出最终的迭代结果y_n(t)在一些点的值points=np.linspace(0,1,5)fortinpoints:print(f"y_n({t})={y_n(t)}")defG(t,s,alpha=1/4,eta=3/4):if0<=s<=t<=1:return(t**2*(1-s)**2-(t-s)**2*(1-alpha*eta+alpha*s))/(2*(1-alpha*e